初中数学资料

中考数学常用公式定理

1、整数(包括：正整数、0、负整数) 和分数(包括：有限小数和无限环循小数) 都是有理数．如：－3，0.231，0.737373…，

，

．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－

，

，0.1010010001…(两个1之

间依次多1个0) ．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a ≥

丨a 丨＝a ；a ≤

丨a 丨＝－a ．如：丨－

丨＝

；丨3.14－π丨＝π－3.14．

3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0．

4、把一个数写成±a ×10的形式(其中1≤a ＜10，n 是整数) ，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5．

22222

5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式) ：①(a ＋b )(a －b ) ＝a －b ．②(a ±b ) ＝a ±2ab ＋b ．③(a ＋

n

b )(a 2－ab ＋b 2) ＝a 3＋b 3．④(a －b )(a 2＋ab ＋b 2) ＝a 3－b 3；a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ，(a －b ) 2＝(a ＋b ) 2－4ab ．

m n m ＋n m n m －n m n mn n n n n

6、幂的运算性质：①a ×a ＝a ．②a ÷a ＝a ．③(a ) ＝a ．④(ab ) ＝a b ．⑤() ＝n ．

⑥a －n ＝

1a

n

，特别：() －n ＝() n ．⑦a 0＝1(a ≠0) ．如：a 3×a 2＝a 5，a 6÷a 2＝a 4，(a 3) 2＝a 6，(3a 3) 3＝27a 9，，5－2＝

＝

，() －2＝() 2＝，(－3.14) º＝1，(

＝丨a 丨，③

＝－a

＝．④

×

－，④

) 0＝1． ＝

(a ＞0，b ≥0) ．如：

(－3) －1＝－

7、二次根式：①(①(3

) 2＝45．②

) 2＝a (a ≥0) ，②

＝6．③a ＜0时，的平方根＝4的平方根＝±2．（平方

根、立方根、算术平方根的概念）

8、一元二次方程：对于方程：ax 2＋bx ＋c ＝0： ①求根公式是x

＝

-b ±

2a

b 2－4ac 叫做根的判别式．

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根．

②若方程有两个实数根x 1和x 2，并且二次三项式ax 2＋bx ＋c 可分解为a (x －x 1)(x －x 2) ． ③以a 和b 为根的一元二次方程是x 2－(a ＋b ) x ＋ab ＝0．

9、一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 的图象是一条直线(b 是直线与y 轴的交点的纵坐标即一次函数在y 轴上的截距) ．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大(直线从左向右上升) ；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小(直线从左向右下降) ．特别：当b ＝0时，y ＝kx (k ≠0) 又叫做正比例函数(y 与x 成正比例) ，图象必过原点．

10、反比例函数y ＝(k ≠0) 的图象叫做双曲线．当k ＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降) ；当k ＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升) ．因此，它的增减性与一次函数相反．

13、锐角三角函数：

1

①设∠A 是Rt △ABC 的任一锐角，则∠A 的正弦：sin A ＝正切：tan A ＝

．并且sin 2A ＋cos 2A ＝1．

，∠A 的余弦：cos A ＝，∠A 的

0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0．∠A 越大，∠A 的正弦和正切值越大，余弦值反而越小． ②余角公式：sin (90º－A ) ＝cos A ，cos (90º－A ) ＝sin A ． ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝，sin45º＝cos45º＝＝1，tan60º＝

．

铅垂高度水平宽度

，sin60º＝cos30º＝， tan30º＝，tan45º

＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝．

l

④斜坡的坡度：i ＝

14、平面直角坐标系中的有关知识：

（1）对称性：若直角坐标系内一点P （a ，b ），则P 关于x 轴对称的点为P 1（a ，－b ），P 关于y 轴对称的点为P 2（－a ，b ），关于原点对称的点为P 3（－a ，－b ）.

（2）坐标平移：若直角坐标系内一点P （a ，b ）向左平移h 个单位，坐标变为P （a －h ，b ），向右平移h 个单位，坐标变为P （a ＋h ，b ）；向上平移h 个单位，坐标变为P （a ，b ＋h ），向下平移h 个单位，坐标变为P （a ，b －h ）. 如：点A （2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A （7，1）. 15、二次函数的有关知识：

1. 定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数. 2. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a

a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h . 特别地，y 轴记作直线x =0. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：

4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：y =ax

b 2a

2

b ⎫4ac -b ⎛

+bx +c =a x +⎪+

2a ⎭4a ⎝

2

2

4ac -b

（-），对称轴是直，∴顶点是

2a 4a

b

2

线x =-

.

2

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h , k ) ，

2

对称轴是直线x =h .

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物线上两点(x 1, y ) 、，则对称轴方程可以表示为：x =(x 2, y ) （及y 值相同）9. 抛物线y =ax 2+bx +c 中，a , b , c 的作用

（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 2中的a 完全一样.

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线

x =-

b 2a

b a

b a

x 1+x 2

2

，故：①b =0时，对称轴为y 轴；b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③>0（即a 、

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.

（3）c 的大小决定抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交点的位置.

当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①c =0，抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴；③c

（1）一般式：y =ax 2+bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

2

b a

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2). 12. 直线与抛物线的交点

（1）y 轴与抛物线y =ax 2+bx +c 得交点为(0, c ). （2）抛物线与x 轴的交点

二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程

ax

2

2

+bx +c =0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔(∆>0) ⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔(∆=0) ⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔(∆

同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点. 当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐 标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.

（4）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程

2

2

组y =kx +n y =ax

2

+bx +c

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方

程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.

0)，B (x 2，0)， （5）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，

2

3

则AB =x 1-x 2

（n ≥3，n 是正整数），外角和等于360º 1、多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(n －2) 180º2、平行线分线段成比例定理：

（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图：a ∥b ∥c ，直线l 1与l 2分别与直线a 、b 、c 相交与点A 、B 、C D 、E 、F ，则有

A B B C

=D E E F

, A B A C

=D E D F

, B C A C

=E F D F

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 如图：△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 、AC 相交与点D 、E ，A D

D B

=

A E

E C

,

A D A B

=

A E A C

=

D E B C

,

D B A B

=

E C A C

c

B B o

＝90，

（1）CD 2=AD ⋅BD （2）AC 2=AD ⋅AB （3）BC 2=

BD ⋅AB 4、圆的有关性质：

A

D

B

（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补．

5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点． 常见结论：（1）Rt △ABC 的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径r =（2）△ABC 的周长为l ，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则S =

12lr

a +b -c

2

；

＊6、弦切角定理及其推论：

（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC 为弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。

11

AC =∠AO C 如果AC 是⊙O 的弦，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，则∠PAC = 22

推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）

如果AC 是⊙O 的弦，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，则∠P A C =∠A B C

＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：

4

相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：PA·PB = PC·PD 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图②，即：PA·PB = PC·PD

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC 2 = PA·PB

8、面积公式：

① ②

③

①S 正△＝×(边长) 2．

②S 平行四边形＝底×高．

③S 菱形＝底×高＝×(对角线的积) ，S ④S 圆＝πR 2． ⑤l 圆周长＝2πR ． ⑥弧长L ＝ ⑦S 扇形

=n πr

2

梯形

=

12

(上底+下底) ⨯高=中位线⨯高

．

=12lr

360

⑧S 圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh ，S 全面积＝S 侧＋S 底＝2πrh ＋2πr 2 ⑨S 圆锥侧＝×底面周长×母线＝πrb ， S全面积＝S 侧＋S 底＝πrb ＋πr 2

5