用函数与方程的思想方法巧解高考题
例谈函数与方程的思想在解高考题中的应用
所谓函数与方程的思想是指把数学问题特别是非函数、非方程的问题用函数、方程的观点(知识)去解决。这种思想方法是解决数学问题的重要思想方法之一,也是高考中主要考查的四种数学思想之一。本文通过以下例题说明这种思想方法在解高考题中的应用,供同学们参考。
一、函数的思想
例1 [1993年全国高考理(29)①] 已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α, β. 证明:如果α
分析:作一次函数f (x )=
∴f (x )=x -2(α+β) ,取4+αβx +2a ,∵α+β=-a , αβ=b , 4+b x 1=2(α+β) -(4+αβ) =-(2-α)(2-β) 0,则有f (x 1)=-1, f (x 2)=1. 由f (x )的单调性知-1=f (x 1)
4+b >0,∴2a
注:本题通过构造一次函数,将不等式问题化为函数问题来解决.
例2 [1994年全国高考理⒇] 在测量某物理量的过程中,因仪
, n ,共n 个数据. 器和观察的误差,使得n 次测量分别得到a 1, a 2,... a
我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其他近似值比较,a 与各数据的差的平方和最小. 依此规定,从a 1, a 2,..., a n 推出的a =_____.
1
分析:此题即求关于a 的二次函数f (a )=∑(a -a i ) 取最小值时
i =1n 2
的a ,将其右边展开,得f (a )=na -2(∑a i ) a +∑a i 2,由此易知当2
i =1i =1n n
1n
a =∑a i 时f (a )最小. n i =1
注:本题先将题目要求转化为函数表达式,再将其化为以a 为主元的二次函数形式,从而顺利解决此实际问题.
例3 [1996年全国高考理⑿] 等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为( ).
A . 130 B . 170 C . 210 D . 260
分析:由等差数列前n 项和公式S n 是关于n 的二次函数,即S n =An 2+Bn (A , B 是常数) ,将S m =30, S 2m =100代入,可解得A =2010,从而求得S 3m =210,故选C . , B =2m m
注:本题根据等差数列的性质,用函数的观点来简捷解决问题.
例4 [1999年全国高考理⒆] 解不等式log a x -20, a ≠1) .
分析:令l o a g x =t ,则原不等式化为3t -2
2131其交点为(, ), (1, 1) . 由图象可知t >1y 1=t -2(t ≥) 和y 2=2t -1(t >) ,3242
或2323x >1或. 当a >1时,得所求的解集是≤t 2
23⎧⎫34⎨x |a ≤x a };当0
23⎧⎫34x |a 注:本题通过换元将问题化为函数问题来解决.
二、方程的思想
例5 [1979年全国高考理一] 若(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0,求证:x , y , z 成等差数列.
分析:按等差数列的定义,即证x -y =y -z . 因此只需证明以x -y , y -z 为根的二次方程[t -(x -y )][t -(y -z )]=0,即t 2+(z -x ) t +(x -y )(y -z ) =0的判别式∆=(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0 , 而这正是题设条件,∴x -y =y -z . 根据定义,x , y , z 成等差数列.
注:本题将所证结论转化为证明二次方程的判别式为零,从而使问题得到简捷解决。
例6 [1998年全国高考理⒇] 在∆ABC 中,a , b , c 分别是角A , B , C 的对边,设a +c =2b , A -C =π
3,求s in B 的值.
a 2+c 2-b 2(a +c ) 2-2ac -b 2
= 分析:由正、余弦定理得cos B = 2ac 2ac
(2b ) 2-2ac -b 23b 2
==-12ac 2ac 3sin 2B =-12sin A sin C 3sin 2B =-1cos(A -C ) -cos(A +C ) 3(1-cos 2B ) 5=-1. 化简得方程 8cos 2B +3cos B -5=0,解得c o B s =或18+cos B 2
3
539,∴sin B =-cos 2B =-() 2=. cos B =-1(舍去)88
注:本题根据正、余弦定理将问题转化为方程问题而得到顺利解决.
例7 [1992年“三南”高考题] 求同时满足下列两个条件的所有复数z :(Ⅰ)z +部都是整数.
分析:设z +10=m ∈R ,则z 2-mz +10=0 ┄① 由条件(Ⅰ)得z
21010是实数,且1
i ┄② 1
由(Ⅱ)知,z 的实部m 是整数,m 只能在2、4、6中取值;2
z 的虚部同时也要为整数,故m 只能取2、6. 将m 值分别代入②,即得满足条件(Ⅰ)(Ⅱ)的复数是1±3i ,3±i .
注:本题通过换元转换为方程问题来解显得比较简捷. 例8 [1998年全国高考理(24)(Ⅲ)] 设曲线C 的方程是y =x 3-x ,将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t , s 单位长度后得曲
t 3线C 1. (Ⅲ)如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,证明s =-t 且4
t ≠0.
分析:易求得曲线C 1的方程为y =(x -t ) 3-(x -t ) +s ,由题设知,
3⎧⎪y =x -x , 方程组⎨ 有且仅有一组解,消去y 整理得3⎪⎩y =(x -t ) -(x -t ) +s .
4
这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 3tx 2-3t 2x +(t 3-t -s ) =0,
t 3∴t ≠0且∆=9t -12t (t -t -s ) =0,即t ≠0且t (t -4t -4s ) =0. ∴s =-t 且4433
t ≠0.
注:本题利用两曲线有唯一公共点的充要条件,将问题最终转化为讨论一元二次方程的有关系数和判别式须满足的条件,从而较简捷、明了地完成了证明.
总之,函数与方程的思想是数学思想中两个最重要的体系,一旦数学问题被纳入到这两个知识体系中,我们立即就会产生如鱼得水的感觉. 因此,同学们要重视这种思想的学习与实践,这样就能不断提高解题能力.
5