10第十讲 二次函数.反函数
第十讲 二次函数、反函数
一、知识概要
外,还要抓住对称轴与所给区间的相对位置。
3、 二次函数与一元一次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化.
①f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图像与x 轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根;
②当_______时,f(x)>0恒成立,当_______时,f(x)≤0恒成立。结论成立的条件是x ∈R 。
5、反函数的定义:
设函数y =f (x )(x ∈A ) 的值域是C ,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x 表示出,得到x=ϕ (y). 若对于y 在C 中的任何一个值,通过x=ϕ(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x=ϕ (y)就表示y 是自变量,x 是自变量y 的
-1-1函数,这样的函数x=ϕ(y) (y∈C) 叫做函数y =f (x )(x ∈A ) 的反函数,记作x =f (y ) , 习惯上改写成y =f (x ) 二、题型展示
例1. 已知二次函数f (x ) 同时满足条件:
(1)f (1+x ) =f (1-x )
(2)f (x ) 的最大值为15
(3)f (x ) =0的两根立方和等于17,求f (x ) 的解析式。
例2. 求函数y =x 2-2ax -1在[0,2]上的值域。
例3集合A={(x,y )|y =x 2+mx +2}, B={(x,y )|x -y +1=0, 且x ∈[0,2]},若A B ≠∅,求实数m 的取值范围。
例4.已知f (x ) =x 2+3x -5,x ∈[t , t +1], 若f (x ) 的最小值为h (t ) ,写出h (t ) 的表达式。
三、题型训练
1. (2002上海春,5)设a >0,a ≠1,函数y =log a x 的反函数和y =log a
A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. y =x 对称 1的反函数的图象关于( ) x D. 原点对称
2. (2001北京春,理4)函数y =
x ≤1)的反函数是( )
A. y =x 2-1(-1≤x ≤0)
C. y=1-x 2(x ≤0) B. y=x 2-1(0≤x ≤1) D. y=1-x 2(0≤x ≤1)
3. (2005全国卷Ⅰ))设b >0,二次函数y =ax 2+bx +a 2-1的图像为下列之一
则
a 的值为( )
(
A )1 (B )-1
|lnx | (C )-1- 2(D )-1+5 2 4. (2005湖北卷)函数y =e -|x -1|的图象大致是 ( )
5. (2005
辽宁卷)函数y =ln(x ( )
e x +e -x e x -e -x e x +e -x e x -e -x y =y =y =-y =-2222A . B . C . D .
6. (2005山东卷))函数y =1-x (x ≠0) 的反函数图像大致是( )
x
(A ) (B ) (C ) (D )
7. (2005上海)若函数f(x)= 1, 则该函数在(-∞,+∞) 上是 ( ) X 2+1
(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值
8. (2005天津卷)设f -11(x ) 是函数f (x ) =(a x -a -x ) (a >1) 的反函数,则使f -1(x ) >1成立的x 的取值范围2
为 ( )
a 2-1a 2-1) , +∞) B .(-∞, A .(2a 2a a 2-1, a ) C .(2a
2D .[a , +∞) 29. (2005江苏卷)已知a , b 为常数,若f (x ) =x +4x +3, f (ax +b ) =x +10x +24, 则5a -b =.
10. (2005湖南卷)设函数f (x ) 的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数f 1(x ) ,f (4)=0,则f 1(4)=. --
11. (2005上海)函数f(x)=log4(x+1)的反函数f -1
x 2
12.(2005江西卷)已知函数f (x ) =(a ,b 为常数)且方程f (x ) -x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4. ax +b
(1)求函数f (x ) 的解析式;
(2)设k>1,解关于x 的不等式;f (x )
四、真题演练
21.(2006年陕西卷)已知函数f (x ) =ax +2ax +4(0
(A )f (x 1) >f (x 2) (B )f (x 1)
A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7
3.(2006年上海卷)函数f (x ) =3x +5, x ∈[0,1]的反函数f -1(x ) =x y =e 4.(2006年全国卷I )已知函数的图象与函数y =f (x )的图象关于直线y =x 对称,则( )
A .f (2x )=e 2x (x ∈R ) B.f (2x )=ln 2 ln x (x >0)
C .f (2x )=2e x (x ∈R ) D.f (2x )=ln x +ln 2(x >0)
5.(2006年江苏卷)设a 为实数,记函数f (x ) =a -x 2++x +-x 的最大值为g (a ) 。
(Ⅰ)设t =+x +-x ,求t 的取值范围,并把f (x ) 表示为t 的函数m (t )
(Ⅱ)求g (a ) (Ⅲ)试求满足g (a ) =g (1
a ) 的所有实数a
附:(参考答案)
题型展示: 例1f (x ) =-6x 2+12x +9 例2 [3-a 4-, 1例3 (-∞, -1 ]
⎧⎪t 2+5t -1(t ≤5-)
⎪2
f (x ) =⎪⎨295
⎪422- )
⎪⎪23
⎩t +3t -5(t >2-)
题型训练:
1. B 2. C 3. B.4. D 5.C 6. B 7.A 8.A 9. 2 10.-2 11.4x -1
例4
x 2
(x ≠2). 12.解:(1)f (x ) =2-x
(2)①当1
②当k =2时, 不等式为(x -2) 2(x -1) >0解集为x ∈(1, 2) ⋃(2, +∞); ③当k >2时, 解集为x ∈(1, 2) ⋃(k , +∞) .
真题演练:
1.B 2. . C 3.(x -5), 1
3x ∈[5, 8] 4.D
12at +t -a ,t ∈[2, 2]的最大值(II )25. (I )t 的取值范围是[2, 2], m (t ) =
⎧⎪a +2
⎪1⎪g (a ) =⎨-a -2a ⎪⎪2⎪⎩1(a >-) 22211或a =1 , (-