逻辑关联词
逻辑关联词
一、知识网络图
⎧⎪
⎧四种命题⎪
命题及其关系⎨⎪
⎩充分条件与必要条件⎪
⎪⎧或→并集⎪⎪⎪
常用逻辑用语⎨简单的逻辑关联词⎨且→交集
⎪⎪非→补集
⎩⎪
⎪⎧⎧全称量词⎪量词⎪⎨⎪全称量词与存在量词⎨⎩存在量词⎪⎪⎪⎩含有一个量词的否定⎩
二、知识点回顾
知识点一、逻辑联结词与四种命题
1、命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题; 2、复合命题的形式:p且q,p或q,非p;
3、复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。
4、四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。
例1、命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)
在其定义域内是减函数,则loga2
A、若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 B、若loga20,a≠1)在其定义域内不是减函数 C、若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 D、若loga20,a≠1)在其定义域内是减函数
22
例2、已知命题p:方程x+mx+1=0有两个不相等的负数根;q:方程4x+4(m-2)x+1=0无
实根.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围.
例3、已知命题p:方程x+mx+1=0有两个不等的负根;命题q:方程4x+4(m-2)x+1=0无实根.若
“p或q”为真,“p且q”为假,求m的取值范围. 知识点二、全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词
2
2
(1)全称量词:对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词,用符号“∀”表示。
(2)存在量词:对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词,用符号“∃”表示。 2.全称命题与特称命题
(1)全称命题:含有全称量词的命题。“对∀x∈M,有p(x)成立”简记成“∀x∈M,p(x)”。 (2)特称命题:含有存在量词的命题。“∃x∈M,有p(x)成立” 简记成“∃x∈M,p(x)”。3. 同一个全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,现列表如下,供参考。 命题 表述 方法
全称命题∀x∈M,p(x) ①所有的x∈M,使p(x)成立 ②对一切x∈M,使p(x)成立 ③对每一个x∈M,使p(x)成立 ④任给一个x∈M,使p(x)成立 ⑤若x∈M,则p(x)成立
4.常见词语的否定如下表所示: 词语 词语的否定 词语 词语的否定
是 不是 且 或
一定是 一定不是 必有一个 一个也没有
都是 不都是 至少有n个 至多有n-1个
大于 小于或等于 至多有一个 至少有两个
小于 大于或等于 所有x成立 存在一个x不成立
例4、命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( ) A.不存在x∈R,x-x+1≤0 B.存在x∈R,x-x+1≥0 C.存在x∈R,x-x+1>0 D. 对任意的x∈R,x-x+1>0
3
2
3
2
3
2
3
2
特称命题∃x∈M,p(x) ①存在x∈M,使p(x)成立 ②至少有一个x∈M,使p(x)成立 ③对有些x∈M,使p(x)成立 ④对某个x∈M,使p(x)成立 ⑤有一个x∈M,使p(x)成立
例5、命题“∃x0”的否定是
知识点三、充分条件与必要条件
1、定义:对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条
件;
2、在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当A⊆B时,p是q的充分条件。B⊆A时,p是q的充分条件。A=B时,p是q的充要条件; 3、当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。
4、.要理解“充分条件”“必要条件”的概念,当“若p则q”形式的命题为真时,就记作p⇒q,称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假5、要理解“充要条件”的概念,对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语等价于”,“当且仅当”,“必须并且只需”,“……,反之也真”等6、.数学概念的定义都可以看成是充要条件,既是概念的判断依据,又是概念所具有的性质7、从集合观点看,若A⊆B,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A、B互为充要条件8、证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).
例6、a
例8、 已知h>0,设命题甲为:两个实数a、b满足a-b
A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
例9、 已知命题甲:a+b≠4, 命题乙:a≠1且b≠3,则命题甲是命题乙的 .
例10、 已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的 ( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 例11、 已知关于x的一元二次方程 (m∈Z)
222
① mx-4x+4=0 ② x-4mx+4m-4m-5=0 求方程①和②都有整数解的充要条件.
22
例12、已知集合A={x|x-3x+2=0},B={x|x-mx+2=0},若A是B的必要不充分条件,求实数m范围。
走近高考:
1、已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的 ( )D.既不充分也不必要条件
2
{}
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2、“
”是“
且
”的
A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 3、下列命题是真命题的为 A.若
B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
11
=,则x=y B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,
D.若x
x2
4、设x∈R,则“x=1的”是“x3=x”
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
5.(2009四川卷文)已知a,b,c,d为实数,且c>d.则“a>b”是“a-c>b-d”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6、下列4个命题
11
p1:∃x∈(0,+∞),()x㏒1/3x
23111
p3:∀x∈(0,+∞),()x>㏒1/2x p4:∀x∈(0,),()x
232
其中的真命题是
(A)p1,p3 ( B)p1,p4 (C)p2,p3 (D)p2,p4 7、.(2009天津卷理)命题“存在x0∈R,2
x
x0
≤0”的否定是
x0
(A)不存在x0∈R, 20>0 (B)存在x0∈R, 2
x
≥0
x
(C)对任意的x∈R, 2≤0 (D)对任意的x∈R, 2>0
8、命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
9.若集合P={1,2,3,4},Q={x0 x 5,x∈R},则: A. x∈R是x∈Q的充分条件,不是x∈Q的必要条件 B. x∈R不是x∈Q的充分条件,是x∈Q的必要条件 Cx∈R是x∈Q的充分条件,又是x∈Q的必要条件.
D.x∈R既不是x∈Q的充分条件,又不是x∈Q的必要条件
答案: 例1、解:逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件,原命题的条件的否定作为结论,故应选(A)。
⎧∆=m2-4>0,
∴m>2. 例2、解:p:⎨
⎩-m
q:∆=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)
∴1
p或q为真,p且q为假, ∴p真,q假或p假,q真.
⎧m>2,⎧m≤2,
或⎨,故m≥3或1
⎩m≤1或m≥3,⎩1
例3、分析:“p或q”为真,则命题p、q至少有一个为真,“p且q”为假,则命题p、q至少有一为假,因此,两命题p、q应一真一假,即命题p为真,命题q为假或命题p为假,命题q为真.
⎧∆=m2-4>0
解: 若方程x+mx+1=0有两不等的负根,则⎨解得m>2,
⎩m>0
2
即命题p:m>2
2
若方程4x+4(m-2)x+1=0无实根,
22
则Δ=16(m-2)-16=16(m-4m+3)<0 解得:1<m<3.即q:1<m<3.
因“p或q”为真,所以p、q至少有一为真, 又“p且q”为假,所以命题p、q至少有一为假,
因此,命题p、q应一真一假,即命题p为真,命题q为假或命题p为假,命题q为真.
⎧m>2⎧m≤2∴⎨ 或⎨
1
解得:m≥3或1<m≤2.
例4、解:命题的否定与否命题不同,命题的否定是将全称量词改为特称量词,或将特称量词改为
全称量词,再否定结论即可,故选(C)。
例5、解:将“存在”改为“任意”,再否定结论,注意存在与任意的数学符号表示法,答案:
∀x
2
例6、解:当∆=2-4a>0,得a
1
时,方程根为x=-1,所以选(B)。 例7、解:x∈P⇒x∈Q反之不然故选A
例8、错解:a-b
故本题应选C.
错因:(1)对充分、必要、充要条件的概念分不清,无从判断,凭猜测产生错误;
(2)不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.
⎧⎧-h
正解:因为⎨, 所以⎨,
⎪⎩-h
两式相减得-2h
即由命题甲成立推出命题乙成立,所以甲是乙的必要条件.
⎧⎪a-2
由于⎨
⎪⎩b-2
同理也可得a-b
因此,命题甲成立不能确定命题乙一定成立,所以甲不是乙的充分条件,故应选B.
例9、错解:由逆否命题与原命题同真同假知,若a=1且b=3则a+b=4成立,所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.
错因 :对命题的否定不正确.a≠1且b≠3的否定是a=1或b=3.
正解:当a+b≠4时,可选取a=1,b=5,故此时a≠1且b≠3不成立( a=1). 同样,a≠1,且b≠3时,可选取a=2,b=2,a+b=4,故此时a+b=4. 因此,甲是乙的既不充分也不必要条件.
注:a≠1且b≠3为真时,必须a≠1,b≠3同时成立. 例10、分析:本题考查简易逻辑知识.
因为p⇒r⇒s⇒q但r成立不能推出p成立,所以p⇒q,但q成立不能推出p成立,所以选A
例11、解:方程①有实根的充要条件是∆=16-4⨯4⨯m≥0,解得m≤1.
22
方程②有实根的充要条件是∆=16m-4(4m-4m-5)≥0,解得m≥-
5. 4
∴-
5
≤m≤1.而m∈Z,故m=-1或m=0或m=1. 4
当m=-1时,①方程无整数解.当m=0时,②无整数解;
当m=1时,①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之,m=1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m=1.
例12解题思路分析:化简条件得A={1,2},A是B的必要不充分条件,即A∩B=B⇔B⊆A
根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2}
2
当B=φ时,△=m-8
∴ -22
⎧∆=0
当B={1}或{2}时,⎨,m无解
1-m+2=0或4-2m+2=0⎩
⎧1+2=m
当B={1,2}时,⎨
1⨯2=2⎩∴ m=3
综上所述,m=3或-22
说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。
走近高考:
1、C ;2、A; 3、答案:A;【解析】由
11
=得x=y,而由x2=1得x=±1,由x=
y,而xy
x
4、A;5、B;
1
6、【解析】取x=,则㏒1/2x=1,㏒1/3x=log32<1,p2正确
2
当x∈(0,
13
1x
)时,()<1,而㏒1/3x>1.p4正确。【答案】D
2
x0
7、【考点定位】本小考查四种命题的改写,基础题。解析:由题否定即“不存在x0∈R,使2
,≤0”
故选择D。 8、【答案】B
解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换,因此逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”。 9、A