悖论的发展
研究性学习结题报告
悖论的发展
课题小组成员:苗佳智* 张义恒 韩向阳 冯东 葛泳琪 单啸雷 江海洋
学校名称:西飞一中
指导教师:路升社
结题时间:
目录
摘
要·····································································(3) 引
言·····································································(4)
第一章 “para+dokein”与“芝诺论”····································(5)
第二章 第一次数学危机——无理数的现································(8)
第三章 第二次数学危机——微积分的善·······························(13)
第四章 罗素悖论与第三次数学机·····································(15)
第五章 当代的悖论系···············································(20)
定
义·························································(20)
原
理·························································(20)
形
式·························································(20)
类
型·························································(20)
第六章 经典数学论·················································(24)
第七章 研究悖论的义···············································(41)
参考
献································································(42)
悖出完危体悖意文
摘要
在数学中有这样的一些话,比如“一滴水等于大海”,“龟兔赛跑,兔子永远追不上乌龟”,“罗素=教皇”……他们在逻辑上看似正确,却与或事实不符,或无法解释,这些话便是悖论。
悖论在数学发展史上又极高的地位,数学上的每一次巨大突破都能看到它的影子,踏对于数学的发展有着举足轻重的作用。研究悖论可以让我们更好地了解数学的发展,更深入的发掘数学中的趣味性与知识性,对我们学习数学有很大帮助。
本文将以时间为线索,介绍历史上有名的悖论,并较为系统的阐述悖论的演变过程,以此来展现出悖论的发展历史。
本文集知识性与趣味性于一体,将对了解数学发展史将有很大帮助。
关键词:悖论 芝诺悖论 数学危机 罗素 逻辑 意义
悖论的发展
引言
是什么力量使数学大师弗雷格12年的刻苦钻研的成果消失殆尽?
是什么力量使罗素变成了“教皇”?
大师呕心沥血12年完成了巨著《算术的基本法则》,却因为一个问题的提出彻底击垮了现代数学的基础而使他的研究失去了本来的意义。发现这个问题的是罗素。罗素为了形象的阐释这个问题,还作出如下的推论:假设2+2=5,两边同时减2再减一即可推出1=2,l两边倒置为2=1,罗素和教皇是两个人,因为2=1,罗素与教皇又是一个人所以罗素是教皇。
这就是悖论,一个几乎可以击毁现代数学大厦支柱的经典数学问题。自1897年罗素悖论出现至今,依然没有解决到令人满意的程度,从某种角度来说,当今的数学还住在一幢危楼中。我们所做的研究是无法修补这支柱上的裂痕的,甚至无法细微的探明这支柱上极细微的缝隙,但我们坚信,我们可以为大家展示这支柱上最为重要的几条裂缝,为大家拉开悖论的一层面纱。或许就像悖论的名称一样,这是一个相互矛盾的问题,解决这个,势必会产生另外一个,也许悖论永远无法从实质上得到解决,但我们所能做的唯有不断探索。在即将展现在您面前的论文中,我们将为您展现我们的探索过程。我们在我们所走过的路上铺设了红地毯,希望我们大家可以从中感受到我们探索的快乐。我们所能谈求出的果实极少,但在求索的过程中的感受颇深,我们将在短短一篇论文中表述我们不多的收获与极多的感受。
探索悖论的道路注定是充满歧路的,是涉及多学科的。因为,悖论已非一个单一的数学问题了,由于它是人类思维逻辑所产生的问题,也就自然而然的随着人类的思维蔓延,可以说,有逻辑的地方,就一定有悖论;于是,哲学界,文学界等领域也就产生了各具特色的矛盾问题,这些也是数学悖论的衍生物。
我们的研究是浅显的,由于知识所限,我们没有办法窥及悖论问题的实质,只是笼统的认识了悖论的表面,这不仅让所有的组员怅然,这样草草的做论文,很无奈,但我们已竭尽全力发掘出了一些东西,我们将在论文中一一呈现。
最后,感谢我们的组员,也谢谢大家,让我们经历了求知的美妙过程。
第一章 “para+dokein”与“芝诺悖论”
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论,那些结论会使我们惊异无比。
实际上,类似于今天的悖论的一些自相矛盾的话语古已有之。比如我们熟知的“两小儿辩日”、“自相矛盾”等故事均属这个范畴。可见我们的祖先对这方面早有研究,并发现了这些话语中揭示不同的地方,所以他们才发明了“para+dokein”这个词。而这些值得我们“多想一想”的话语,便是今天悖论的雏形。在这些古人无法解释的话语中,“芝诺悖论”可以说是其中的代表。
我们应该如何假定一个量,它是无限可分的,还是由非常多的极微小的不可分的部分组成?第一个假定,对大多数人而言,似乎比较合理,但是第二个假定在发现新事物过程中很有用,这使它表面上的一些荒谬之处显得不那么重要。有证据表明,古希腊的数学家们有的使用这个假定,有的使用那个假定。事实上,无论承认那一个假定都将会遇到某些逻辑上的困难。
公元前五世纪,由埃利亚哲学家芝诺想出的四个悖论将这些困难明显的暴露了出来。这就是著名的芝诺悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。
一、运动场问题(英文:The dichotomy paradox)
是芝诺(Zeno)提出的四个悖论中的第一个,又称为两分法悖论。
1、悖论的内容:
因为一运动物体在到达目的地之前,必须先抵达距离目的地之一半的位置。即:若要从A处到达B处,必须先到AB中点C,要到达C,又须先到达AC的中点D。如此继续划分下去,所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。
这就形成了此一物体若要从A移动到B,必须先停留在A的悖论。这样一来,此物体将永远停留在初始位置(或者说物体初始运动所经过的距离近似0),以至这物体的运动几乎不能开始。因此,我们得出了运动不可能开始的结论。
见《庄子天下篇》,庄子提出:“一尺之捶,日取其半,万世不竭。”
2、悖论的解释:
其实此悖论的解释如下:
此悖论在设立时有意忽略了一个事实:那就是从A到B的“运动”必须是一个时间相关的概念而不仅仅是距离的概念。也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真!但是一旦运动起来,必然有一个速度,速度等于经过的距离除以历经的时间。什么时候速度为0呢?
一种情况是距离为0,根本没有要动,另一种情况大家一般会忽略掉,就是经历的时间趋近于无限,不论距离多大,只要是一个固定值,那么速度就是0,于是悖论就成立了。
此悖论虽然没有提及时间,但是却故意掩盖了时间这个因素。
这同最小分割无关,因为在数学上,无限分割是成立的。
物理点结构:
其实这个悖论有一种解释。实际上我们日常也知道任何物体必定能在有限的时间内穿越两个点,因此这个悖论必定有解释。因为空间并不能无限地分割下去,而最小的分割限度是叫做普朗克长度。这个尺度不可以再分割成更小的尺度,因为这已经是空间里面最小的尺度了。
因此,所谓的“一般距离”虽然会越来越小,可是只会小到一个数值后就不能再分割。
二、阿喀琉斯(一译阿基里斯)悖论:
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中,乌龟在前面跑,他在后面追,但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时,乌龟已向前移动一些;阿基里斯再到达乌龟的那个位置时,乌龟又往前跑了一段;……因此,无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置,乌龟都会在他前面。所以,无论阿基里斯跑得多快,他永远追不上乌龟。
三、飞矢不动悖论:
芝诺提出,由于箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置,所以它在这个位置上和不动没有什么区别。中国古代的名家惠施也提出过,“飞鸟之景,未尝动也”的类似说法。
芝诺问他的学生:“一支射出的箭是动的还是不动的?”
“那还用说,当然是动的。”
“确实是这样,在每个人的眼里它都是动的。可是,这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗?”
“有的,老师。”
“在这一瞬间里,它占据的空间和它的体积一样吗?”
“有确定的位置,又占据着和自身体积一样大小的空间。”
“那么,在这一瞬间里,这支箭是动的,还是不动的?”
“不动的,老师”
“这一瞬间是不动的,那么其他瞬间呢?”
“也是不动的,老师。”
“所以,射出去的箭是不动的。”
四、游行队伍悖论:
首先假设在操场上,在一瞬间(一个最小时间单位)里,相对于观众席A,列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。
□□□□ 观众席A
■■■■ 队列B・・・向右移动(→)
▲▲▲▲ 队列C・・・向左移动(←)
B、C两个列队开始移动,如下图所示相对于观众席A,B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。
□□□□
■■■■
▲▲▲▲
而此时,对B而言C移动了两个距离单位。也就是,队列既可以在一瞬间(一个最小时间单位)里移动一个距离单位,也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。
以上便是著名的“芝诺悖论”。它可以说是悖论的先祖和代表之一。芝诺也因此被一些人称为“悖论之父”。实际上,古今中外还有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
第二章 第一次数学危机——无理数的出现
一、第一次数学危机的简介:
从某种意义上来讲,现代意义下的数学(也就是作为演绎系统的纯粹数学)来源于古希腊的毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的时期为公元前500年左右,它是一个唯心主义流派。他们重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文学、音乐称为“四艺”,在其中追求宇宙的和谐及规律性。他们认为“万物皆数”,认为数学的知识是可靠的、准确的,而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得,并不需要观察、直觉及日常经验。
毕达哥拉斯的数是指整数,他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式,但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达,也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。这样一来,就否定了毕达哥拉斯学派的信条:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
不可通约性的发现引起第一次数学危机。有人说,这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的,为此,他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实,而希帕索斯因泄密而被处死。不管怎样,这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战,于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系,这不能不说是数学思想上一次巨大革命,这也是第一次数学危机的自然产物。
回顾以前的各种数学,无非都是“算”,也就是提供算法。即使在古希腊,数学也是从实际出发,应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食,利用影子距离计算金字塔高度,测量船只离岸距离等等,都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学,并没有经历过这样的危机和革命,所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路,形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。
但是,自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础,把数的研究隶属于形的研究,割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究,使算术和代数的发展受到很大的限制,基本理论十分薄溺。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。
二、第一次数学危机的诱因:
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中,不仅要计算单个的对象,还要度量各种量,例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要,就要用到分数。于是,如果定义有理数为两个整数的商,那么由于有理数系包括所有的整数和分数,所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上,标出一段线段作为单位长,如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1,则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数,正整数在0的右边,负整数在0的左边。以q为分母的分数,可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是,每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为,这样能把直线上所有的点用完。但是,毕氏学派大约在公元前400年发现:直线上存在不对应任何有理数的点。特别是,他们证明了:这条直线上存在点p不对应于有理数,这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点,并且因为这些数不可能是有理数,只好称它们为无理数。无理数的发现,是毕氏学派的最伟大成就之一,也是数学史上的重要里程碑。 无理数的发现,引起了第一次数学危机。首先,对于全部依靠整数的毕氏哲学,这是一次致命的打击。其次,无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的,因为与直观相反,存在不可通约的线段,即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的,所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上,这样,他们的关于相似形的一般理论也失效了。
“逻辑上的矛盾”是如此之大,以致于有一段时间,他们费了很大的精力将此事保密,不准外传。但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。泰奥多勒斯指出,面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约,并对每一种情况都单独予以了证明。随着时间的推移,无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。 诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现,它更增加了数学家们的担忧:数学作为一门精确的科学是否还有可能?宇宙的和谐性是否还存在?
在大约公元前370年,这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法,出现在欧几里得《原本》第5卷中,并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理,仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。
三、第一次数学危机的产物:
■第一次数学危机的产物—古典逻辑与欧氏几何学
亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的,他指出了正确的定义原理。亚里士多德继承自己老师柏拉图的观念,把定义与存在区分,由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。另外,定义必须用已存在的定义过的东西来定义,所以必定有些最原始的定义,如点、直线等。而证明存在的方法需要规定和限制。 亚里士多德还指出公理的必要性,因为这是演绎推理的出发点。他区别了公理和公设,认为公理是一切科学所公有的真理,而公设则只是某一门学科特有的最基本的原理。他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。
亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究,得出三段论法,并把它表达成一个公理系统,这是最早的公理系统。他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科,而且对数学证明的发展也有良好的影响。
亚里士多德对于离散与连续的矛盾有一定阐述。对于潜在的无穷(大)和实在的无穷(大)加以区别。他认为正整数是潜在无穷的,因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的,时间在延长上是潜在无穷的,在细分上也是潜在无穷的。
欧几里得的《几何原本》对数学发展的作用无须在此多谈。不过应该指出,欧几里得的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识,构成一个标准化的演绎体系。这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到十九世纪。牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用了欧几里得《几何原本》的体例。 欧几里得的平面几何学为《几何原本》的最初四篇与第六篇。其中有七个原始定义,五个公理和五个公设。他规定了存在的证明依赖于构造。
《几何原本》在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它一直是几何学的标准著作。但是它还存在许多缺点并不断受到批评,比如对于点、线、面的定义是不严格的:“点是没有部分的对象”,“线是没有宽度的长度(线指曲线)”,“面是只有长度和宽度的对象”。显然,这些定义是不能起逻辑推理的作用。特别是直线、平面的定义更是从直观来解释的(“直线是同其中各点看齐的线”)。
另外,他的公理五是“整体大于部分”,没有涉及无穷量的问题。在他的证明中,原来的公理也不够用,须加上新的公理。特别是平行公设是否可由其他公理、公设推出更是人所瞩目的问题。尽管如此,近代数学的体系特点在其中已经基本上形成了。 四、非欧几何学的诞生过程:
欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。尽管它有种种缺点和毛病,毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。尤其是许多哲学家,把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。十八世纪时,大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断,物质世界必然是欧几里得式的,欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的,大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其他的公理和公设都满足了上面的这个条件,唯独平行公设不够简明,象是一条定理。
欧几里得的平行公设是:每当一条直线与另外两条直线相交,在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时,这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。
在《几何原本》中,证明前28个命题并没有用到这个公设,这很自然引起人们考虑:这条啰哩啰嗦的公设是否可由其他的公理和公设推出,也就是说,平行公设可能是多余的。
之后的二千多年,许许多多人曾试图证明这点,有些人开始以为成功了,但是经过仔细检查发现:所有的证明都使用了一些其他的假设,而这些假设又可以从平行公设推出来,所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。
到了十八世纪,有人开始想用反证法来证明,即假设平行公设不成立,企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论,比如“有两条线在无穷远点处相交,而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来,这些结论不合情理,因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚,也很难说是导出矛盾,所以不能说由此证明了平行公设。 从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立,需要在某种程度上解放思想。 首先,要能从二千年来证明平行公设的失败过程中看出这个证明是办不到的事,并且这种不可能性是可以加以证实的;其次,要选取与平行公设相矛盾的其他公设,也能建立逻辑上没有矛盾的几何。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。
要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学,欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学,也就是说,它的存在性只由无矛盾性来决定。虽说象兰伯特等人已有这些思想苗头,但是真正把几何学变成这样一门纯粹数学的是希尔伯特。
这个过程是漫长的,其中最主要的一步是罗巴切夫斯基和波耶分别独立地创立非欧几何学,尤其是它们所考虑的无矛盾性是历史上的独创。后人把罗氏几何的无矛盾性隐含地变成欧氏几何无矛盾性的问题。这种利用“模型”和证明“相对无矛盾性”的思想一直贯穿到以后的数学基础的研究中。而且这种把非欧几何归结到大家一贯相信的欧氏几何,也使得大家在接受非欧几何方面起到重要作用。
应该指出,非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾,只有这样才能说新几何学成立,才能说明第五公设独立于别的公理公设,这是一个起码的要求。
当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾,如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通,也就变得没有
矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西,公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释,这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。
对于罗巴切夫斯基几何学,最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型;德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性,而且有的可以推广到更一般非欧几何,即黎曼创立的椭圆几何学,另外还可以推广到高维空间上。
因此,从十九世纪六十年代末到八十年代初,大部分数学家接受了非欧几何学。尽管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性,但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派,如数理逻辑的缔造者弗雷格,至死不肯承认非欧几何学,不过这已无关大局了。
非欧几何学的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题,从十九世纪八十年代起,几何学的公理化成为大家关注的目标,并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。
五、第一次数学危机的意义:
第一次数学危机表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示。反之,数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战,古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是,几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命,是第一次数学危机的自然产物。
第三章 第二次数学危机——微积分的完善
大家知道,在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机,这就是无理数的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。
到了17世纪的后期,出现了一次崭新的数学分支——数学分析,或称微积分。它在数学领域中占据着主导地位,这种新数学的特点是,非常成功地运用了无限过程的运算,即极限运算,而其中的微分和积分这两个过程则构成了微分学和积分学的核心,并奠定了全部分析学的基础。
微积分诞生之后,数学迎来了一次空前的繁荣时期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下,勇于开拓并征服了众多的科学领域。它们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域,并获得了丰硕的成果。人们用微分学的理论发现了哈蕾彗星,用积分学的理论可以计算任意平面图形的面积,只要知道包围这个图形的曲线方程。在数学本身它们又发展了微分方程的理论,无穷级数的理论,大大地扩展了数学研究的范围。
尽管当时的数学家们知道他们的微积分的概念是不清楚的,证明也是不充分的,但是由于许多结果为经验和观测所证实,使得他们自信他们在缺乏逻辑指出的基础上得出的的微积分的结论是正确的。
于是在微积分的发展过程中,出现了这样的局面:一方面是成果丰硕,另一方面是基础的不稳固,出现了越来越多的谬论和悖论。微积分薄弱的基础遭到了许多数学家和非数学家们的争论和批评。即使是两位微积分的创立者牛顿和莱布尼兹本人也对此学科的基本概念也不满意。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。
当时著名的唯心主义哲学家贝克莱主教(Bishop George Berkeley,1685~1753)对牛顿的导数定义进行了批判。现在我们知道导数的定义是这样的:函数y=f(x)对x的导数定义为极限
∆y∆x→0∆x lim
而当时牛顿的导数定义(他当时称为流数)是这样的:
332233 当x增长为x+t时,幂x成为(x+t)或x+3xt+3xt+t,x与x的增量分别为
t和3x2t+3xt2+t3,这两个增量与x的增量t的比分别为1与3x2+3xt+t2,然后让增量3消失,则它们的最后比将为1与3x,从而x对x的变化率为3x。我们知道这个结果是正确的,但是推导过程确实存在明显的偷换假设的错误:在论证的前一部分假设t是不为0
《贝克莱悖论》。 的,而在论证的后一部分又被取为0 。那么到底t是不是0呢?这就是著名的
不仅当时导数的定义中出现了悖论,在无穷级数的理论中也出现了许多悖论。如级数
232
S=1−1+1−1+1−1+L
那么S=?如果我们把级数以一种方法分组,我们有
S=(1−1)+(1−1)+(1−1)+L=0
如果按另一种方法分组,我们有
S=1−(1−1+1−1+1−1+L)=1−0=1
L.G.格兰迪(Grandi,1671-1742)说,因为0和1是等可能的,所以级数的和应为平均数1/2。
这样的悖论日益增多,数学家们在研究无穷级数的时候,作出许多错误的证明,并由此得到许多错误的结论。
因此在18世纪结束之际,微积分和建立在微积分基础之上的分析的其它分支的逻辑处于一种完全混乱的状态之中。事实上,可以说微积分在基础方面的状况比17世纪更差。数学巨匠,尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的逻辑基础,因为它们是权威,所以它们的错误就被其它的数学家不加批评地接受了,甚至作了进一步的发展。
进入19世纪,数学陷入了更加矛盾的境地。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成就远远超出人们的预料,但是大量的数学结构没有逻辑基础,因此不能保证数学是正确无误的。历史要求给微积分以严格的基础。
第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出,必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。拉格朗日为了避免使用无穷小推理和当时还不明确的极限概念,曾试图把整个微积分建立在泰勒展式的基础上。但是,这样一来,考虑的函数的范围太窄了,而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题,所以,拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。
到了19世纪,出现了一批杰出的数学家,他们积极为微积分的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺,他开始将严格的论证引入到数学分析中。1816年,他在二项展开公式的证明中,明确提出了级数收敛的概念,同时对极限、连续和变量有了较深入的理解。
分析学的奠基人,公认是法国的多产的数学家柯西,柯西在数学分析和置换群理论方面作了开拓性的工作,是最伟大的近代数学家之一。柯西在1821~1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作,在那里,他给出了数学分析一系列基本概念的精确定义。例如,他给出了精确的极限定义,然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。接着,魏尔斯特拉斯引进了精确的“ε−δ”的极限定义。这样,微积分就建立在严格的极限理论的基础上了。今天我们微积分课本中使用的定义,基本上就是柯西的,不过现在写得更加严格一点。
第四章 罗素悖论与第三次数学危机
一、第三次数学危机:
1、简介:
数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年,福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后,康托发现了很相似的悖论。1902年,罗素又发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的,它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则:他给所有不给自己刮脸的人刮脸,并且,只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:"理发师是否自己给自己刮脸?"如果他不给自己刮脸,那么他按原则就该为自己刮脸;如果他给自己刮脸,那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道:"一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了,当本书等待印出的时候,罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合,承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。所以,第三次危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。
2、第三次数学危机产生的背景:
第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初,当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化,促使了数理逻辑这门学科诞生。
十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础,也是产生危机的直接来源。十九世纪末,戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化,推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。
公理化方法是现代数学最重要的方法之一,对于数学基础和数理逻辑的研究也有影响。当时也是现代数学一些新分支兴起的时期,如抽象代数学、点集拓扑学和代数拓扑学、泛函分析、测度与积分理论等学科。这些学科的发展一直与数学基础及数理逻辑的发展有着密切的关系。数学的更新与发展也对数学哲学有许多新的探讨,数学的陈腐哲学观念在当时已经几乎一扫而空了。
3、布拉利—福尔蒂悖论:
1897年,布拉利和福尔蒂提出一个悖论:设W为一切序数所组成的集合。因为W按自然大小顺序成一良序集,故W有一序数Ω。由序数性质,Ω必比W中任一序数都大,但由定义,Ω也出现在W中,从而将有Ω>Ω,这是矛盾的。即推出互相矛盾的命题,所以是悖论。后来就称之为布拉利-福尔蒂悖论,也叫最大序数悖论。由柳洪平创建。
4、康托尔悖论:
有1个元素的集合其子集有2个,有2个元素的集合其子集共有4个,一般地,有n个元素的集合其子集有2n个,n个元素的集合其基数为n,而其所有子集组成的集合的基数为2n ,显然2n>n。因此有“康托尔定理”:任意集合(包括无穷集)的幂集的基数大于该任意集合的基数。
据康托尔集合理论,任何性质都可以决定一个集合,这样所有的集合又可以组成一个集合,即“所有集合的集合”(大全集)。显然,此集合应该是最大的集合了,因此其基数也应是最大的,然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的,那么,“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”,这就是“康托尔悖论”。对这一悖论,康托尔并没有感到害怕,因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”,当然也没有“最大的基数”。
悖论的出现这时并没有引起多大的震动,人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题,只要作适当的修正,集合论仍然会成为数学大厦的基础,康托尔只是利用悖论进行反证,而并没有细究悖论的来源及意义,他没有意识到这种反证之所以可能,是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”,使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了!
二、罗素悖论:
1、简介:
1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论,理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论,在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。
2、定义:
把所有集合分为2类,第一类中的集合以其自身为元素,第二类中的集合不以自身为元素,假令第一类集合所组成的集合为P,第二类所组成的集合为Q,于是有: P={A∣A∈A}
Q={A∣A¢A}(¢:不属于的符号,因为实在找不到)
问,Q∈P 还是 Q∈Q?
这就是著名的“罗素悖论”
3、例子:
世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事:
唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上,成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律:每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题:“你到这里来做什么?”如果回答对了,就允许他在岛上游玩,而如果答错了,就要把他绞死。对于每一个到岛上来的人,或者是尽兴地玩,或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢?一天,有一个胆大包天的人来了,他照例被问了这个问题,而这个人的回答是:“我到这里来是要被绞死的。”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩,还是把他绞死呢?如果应该让他在岛上游玩,那就与他说“要被绞死”的话不相符合,这就是说,他说“要被绞死”是错话。既然他说错了,就应该被处绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢?这时他说的“要被绞死”就与事实相符,从而就是对的,既然他答对了,就不该被绞死,而应该让他在岛上玩。小岛的国王发现,他的法律无法执行,因为不管怎么执行,都使法律受到破坏。他思索再三,最后让卫兵把他放了,并且宣布这条法律作废。这又是一条悖论。
由著名数学家伯特兰·罗素(Russel,1872—1970)提出的悖论与之相似: 在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的:
因为,如果把每个人看成一个集合,这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么,理发师宣称,他的元素,都是村里不属于自身的那些集合,并且村里所有不属
于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
4、影响:
十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称:“………借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦……今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
可是,好景不长。1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂,而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以,罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时,收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现,自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道:“一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
1874年,德国数学家康托尔创立了集合论,很快渗透到大部分数学分支,成为它们的基础。到19世纪末,全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。就在这时,集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果,特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论,它极为简单、明确、通俗。于是,数学的基础被动摇了,这就是所谓的第三次“数学危机”。
罗素的悖论发表之后,接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论): 1理查德悖论 ○
2培里悖论 ○
3格瑞林和纳尔逊悖论。 ○
5、问题的解决:
罗素悖论提出,危机产生后,数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立
新的原则。“这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年,策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外,集合论的公理系统还有多种,如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立,成功排除了集合论中出现的悖论,从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面,罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争,形成了现代数学史上著名的三大数学流派,而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
第五章 当代的悖论体系
前面我们叙述了悖论发展过程中的几个重要事件,而它们也代表了悖论作为一门古老而高深得的学问的发展历程。如今,悖论已发展成了一个独立的学科,拥有了完备的悖论体系,成为了现代数学中不可分割的一部分。
一、定义
悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立,就可推出它的否定命题成立;反之,如果承认这个命题的否定命题成立,又可推出这个命题成立 如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。悖论的定义可以这样表述:由一个被承认是真的命题为前提,设为B,进行正确的逻辑推理后,得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B;反之,以非B为前提,亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。当然非B也是一个悖论。
二、原理
同时假定两个或更多不能同时成立的前提,是一切悖论问题的共同特征。
三、形式
悖论有三种主要形式。
1.一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的(佯谬)。
2.一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了(似是而非的理论)。
3.一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾。
四、类型
悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。
1、时间悖论
有关时间的悖论,最著名的是“芝诺悖论”。 此外还有一些经典的时间悖论:。目前最为著名的“时间悖论”是“祖父悖论”:
某人回到过去,在自己父亲出生前杀害了自己的祖父。既然祖父已死,就不会有其父亲,也不会有他;既然他不存在,又怎么能回到过去,杀死自己的祖父呢?
与之对应的,既然有回到过去的悖论,也会有到达将来的“先知悖论”,表达如下:
某人到达未来,得知将发生的不幸结果A,他在现在做出了避免导致结果A的行动,到达结果B。那么结果A在未来根本没有发生,他又是如何得知结果A的呢?(既A与B不可能相遇的悖论)
就严肃的物理学理论而言,爱因斯坦的“相对论”指出,的确存在不违背已知的物理法则改变时间的可能性。但更多的只是一种科学幻想。为了解决“时间悖论”,也有多种假设,比如比较盛行的“平行宇宙”假说,认为我们的这个世界在宇宙中还有许多相似的“克隆世界”,当某人回到过去时,他就进入了另一个平行世界(即未来因为他的行动已经改变的世界),再也不可能回到原来的世界。
2、统计悖论:
假定有三个人——阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统。民意测验表明,选举人中有2/3愿意选A不愿选B,有2/3愿选B不愿选C。是否愿选A不愿选C的最多? 不一定!如果选举人下表那样排候选人,就会引起一个惊人的逆论。 三分之一的人,对选举人的喜好是:A,B,C; 另外三分之一的人,对选举人的喜好是:B,C,A; 最后三分之一的人,对选举人的喜好是:C,A,B。
所以,有2/3宁愿选A而不愿选B;同样,有2/3宁愿选B而不愿选C;有2/3宁愿选C而不愿选A!
这个悖论可追溯到18世纪,它是一个非传递关系的典型,这种关系是在人们作两两对比选择时可能产生的。人们也许已经很熟悉传递关系的概念。它适用于诸如“高于”、“大于”、“小于”、“等于”、“先于”、“重于”等关系。一般讲,如果有一个关系R使得xRy(即x对y是R关系)、yRz成立时,则xRz成立,这时R就是可传递关系。 选举悖论使人迷惑,是因为我们以为“好恶”关系总是可传递的,如果某人认为A比B好,B此C好,我们自然就以为他觉得A比C好。这条悖论说明事实并不总是如此。多数选举人选A优于B,多数选举人选B优于C,还是多数选举人选C优于A。这种情况是不可传递的!
这条悖论有时称为阿洛悖论,肯尼思·阿洛曾根据这条悖论和其他逻辑理由证明了,一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的,他因此而分享了1972年诺贝尔经济学奖金。
3、几何悖论:
几何悖论所构造的图案使仅存在于2维平面世界里的图形,是一种通过素描,线描等立体绘画手法表现出3维立体世界中不可能存在的图像。
“不可能台阶”是由英国遗传学家列昂尼尔·S·彭罗斯和他的儿子,数学家罗杰尔·彭罗斯发明的,后者于1958年把它公布于众,人们常称这台阶为“彭罗斯台阶”。 在这个台阶里,永远找不到最高阶和最低阶,“不可能台阶”永远没有尽头。。。。。。
4、概率悖论:
概率悖论出自法国数学家莫里斯·克莱特契克,在他的《数学消遣》书中写道: “有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人,让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想:我知道我的领带值多少。我也许会失去它,可是我也可能赢得一条更好的领带,所以这种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢?” 一个比赛怎么会对双方都有利呢? ----------------------------------------------- 错!要不然怎么能有双赢呢?
很容易表明,如果我们做出一个明确的假定来准确地限定条件,它就是一个公正的比赛。当然,如果我们已经得知比赛中的一个人系较便宜的领带,那么我们就知道这个比赛是不公平的。如果无法得到这类消息,我们就可以假定每一个的领带价值从0到任意数量(比如说一百元)的随便多少钱。如果我们按此假定构成一个两人领带价值的矩阵(这是克莱特契克在他的书中列出的),我们就可看出这个此赛是“对称的”,不会偏向任何一个比赛者。
一个比赛(或赌博)怎么会对双方都同时有利呢?
一个理发师只给“不给自己理发的人”理发,那么,他该不该给自己理发呢?给自己理发,违反了自己的规则,不给自己理发,还是违反了自己的规则!
5、逻辑悖论:
最著名的逻辑悖论是伯特纳德·罗素提出的理发师悖论。 一个理发师的招牌上写着:
告示:城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸,我也只给这些人刮脸。 谁给这位理发师刮脸呢?
如果他自己刮脸,那他就属于自己刮脸的那类人。但是,他的招牌说明他不给这类人刮脸,因此他不能自己来刮。如果另外一个人来给他刮脸,那他就是不自己刮脸的人。但是,他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来,没有任何人能给这位理发师刮脸了!
伯特纳德·罗素提出这个悖论,为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如,所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果,所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗?无论你作何回答,你都自相矛盾。
第六章 经典数学悖论
如今的悖论发展已日趋完善。在这发展过程中,我们还发现了许多经典的数学悖论,它们为促进数学的发展做出了很大贡献。
一、钱包悖论
钱包悖论,又称钱包游戏,是概率论中的一个悖论。
A和B两人进行一场赌博。
赌法是:由第三者计算A、B二君钱包里面的钱,钱少者可以赢走钱多者的钱。 A对于这场赌博的想法为:若B君的钱比我少,我可能输掉我现有的钱。但若B君的钱比我多,我赢了,就会得到多于我现有的钱。我能够赢的钱比输的钱多,所以这场赌博对我有利。
而B的想法也是如此。
二人想法的逻辑都正确,但若认为二人的想法都正确,又将做出这场赌博对A、B二人都有利的错误结论。这显然是一个悖论。
1、来源:
钱包悖论源自法国数学家莫里斯·克莱特契克,在他的《数学消遣》书中赌的是领带而非钱。
“有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人,让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想:我知道我的领带值多少。我也许会失去它,可是我也可能赢得一条更好的领带,所以这种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢?”
2、分析:
1克莱特契克的分析: ○
克莱特契克在他的书中指明必须限制条件,这才是一场公平的游戏,例如A,B二人对对方穿领带的习惯一无所知等。
他还假定每一个比赛者带有从0到任意数量(比如说一百元)的钱。以此假定构成两人钱数的矩阵,就可看出这个此赛是“对称的”,不会偏向任何一方。
但他没有指出两个比赛者的想法错在哪里。
2考虑胜算 ○
其实问题就在A,B二人只以“可以赢更多的钱”这点,就做出这场赌博对自己有利的结论,当然是错误的。显然是缺乏思考,对客观事物的复杂程度缺乏认识,才会做出如此乐观的结论。
这场赌博对谁有利的考虑谁可以赢得这场赌博。而不是以“可以赢更多的钱”来判断。 若以谁有胜算来判断,必须注意二点: (1)必须计算期望值。
(2)“钱包里有多少钱”是很随机的。无法有一定的标准。难以论定这场赌博的胜负,但若将“所有人类的钱包里的钱”相加后除以全人类数目,还是可以得出一个平均值。 若钱包里的钱比平均值小,那胜算比较大,反之较小。各国家,各地区人的钱包里的平均值都不一样,全人类太广泛,以国家,地区来分更加有胜算。
但就算是费很大力气来得到这平均值,还是很难确定有胜算的。由此可见A,B二人认为这场赌博对自己有利的结论是做得多么轻易,缺乏思考。
其实最有胜算的方法是知道对方的钱包里有多少钱。 3另一种分析: ○
钱包只有二个,所以钱包里的钱只存在二个数: X,Y,设X>Y。
A有1/2机会是X,1/2机会是Y;B也如是。
如果A的钱是Y,则赢得X;如果A的钱是X,则输掉X;B也如是。 结论:1/2机会赢,1/2机会输。
而A,B想法的问题出在,他们假设了3个数: 设A有X元,B有Y,(YX)。
但实际上只存在2个数,所以这是错误的论证,推理出错误的结论。 3、现实例子
最常见的就是在赌博时,期待“如果赢的话、会赢得比输得更多”。例如玩吃角子老虎机时认为“就算只中樱桃,也是翻五倍!”但问题在于:会中吗?
二、谎言者悖论:
最常见的例子是“我在说谎”这个句子。因若我所说是真(“我在说谎”),那我就不是在说谎;但若我所说是假(“我不在说谎”),那么我就是在说谎了。所以无论这句子是
真或不真,情况都不可能成立。
起源:
西元前6世纪,克利特哲学家艾皮米尼地斯(Epimenides)说了一句很有名的话:“所有克利特人都说谎。”
这句话有名是因为它没有答案。因为如果艾皮米尼地斯所言为真,那么克利特人就全都是说谎者,身为克利特人之一的艾皮米尼地斯自然也不例外,于是他所说的这句话应为谎言,但这跟先前假设此言为真相矛盾;又假设此言为假,那么也就是说所有克利特人都不说谎,自己也是克利特人的艾皮米尼地斯就不是在说谎,就是说这句话是真的,但如果这句话是真的,又会产生矛盾。因此这句话是没有解释的。
三、辛普森悖论:
当人们尝试探究两种变量是否具有相关性的时候,比如新生录取率与性别,报酬与性别等,会分别对之进行分组研究。辛普森悖论是在这种研究中,在某些前提下有时会产生的一种现象。即在分组比较中都占优势的一方,会在总评中反而是失势的一方。该现象于20世纪初就有人讨论,但一直到1951年E.H.辛普森在他发表的论文中,该现象才算正式被描述解释。后来就以他的名字命名该悖论。
请看下面的例子:
一所美国高校的两个学院,分别是法学院和商学院,新学期招生。人们怀疑这两个学院有性别歧视。现作如下统计:
性别 男生 女生 合计
录取 8 51 59
拒收 45 101 146
总数53 152 205
录取比例
15.1% 33.6%
法学院
性别 男生 女生
录取 201 92
拒收 50 9
总数251 101
录取比例 80.1% 91.1%
合计 293 59 352
商学院
根据上面两个表格来看,女生在两个学院都被优先录取。即女生的录取比率较高。现在将两学院的数据汇总:
性别 男生 女生 合计
在总评中,女生的录取比率反而比男生低。
女生单独两个矢量斜率都比男生大,说明它们的比率都比较高。但最后男生总体向量斜率却大于女生
录取 209 143 352
拒收 95 110 205
总数
304 253 557
录取比例 68.8% 56.5%
借助一幅向量图可以更好的了解情况(上图)
这个例子说明,简单的将分组数据相加汇总,是不能反映真实情况的。 就上述例子说,导致辛普森悖论有两个前提。
1、两个分组的录取率相差很大,就是说法学院录取率很低,而商学院却很高。而同时两种性别的申请者分布比重相反。女性申请者的大部分分布在法学院,相反,男性申请者大部分分布于商学院。结果在数量上来说,拒收率高的法学院拒收了很多的女生,男生虽然有更高的拒收率,但被拒收的数量却相对不算多。而录取率很高的商学院录取了很多男生。使得最后汇总的时候,男生在数量上反而占优。
2、有潜在因素影响着录取情况。就是说,性别并非是录取率高低的唯一因素,甚至可能是毫无影响的。至于在学院中出现的比率差,可能是随机事件。又或者是其他因素作用,比如入学成绩,却刚好出现这种录取比例,使人牵强误认为这是由性别差异而造成的。 为了避免辛普森悖论的出现,就需要斟酌个分组的权重,并乘以一定的系数去消除以分组数据基数差异而造成的影响。同时必需了解清楚情况,是否存在潜在因素,综合考虑。
四、生日悖论:
生日悖论是指,如果一个房间里有23个或23个以上的人,那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中,存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人,这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论,从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上,它才称得上是一个悖论。大多数人会认为,23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题, 在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法:生日攻击。
1、对此悖论的解释:
理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所提到的例子,23个人可以产生C(23,2)= 23 × 22/2 = 253 种不同的搭配,而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看,在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。
换一个角度,如果你进入了一个有着22个人的房间,房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50:50了,而是变得非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。
2、概率估计:
假设有 n 个人在同一房间内,如果要计算有两个人在同一日出生的机率,在不考虑特殊因素的前提下,例如闰年、双胞胎,假设一年365日出生概率是平均分布的(现实生活中,出生机率不是平均分布的)。 计算机率的方法是,首先找出p(n)表示 n 个人中,每个人的生日日期都不同的概率。假如n > 365,根据鸽巢原理其概率为0,假设 n ≤ 365,则概率
为
因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365), 第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为
363/365),依此类推。用阶乘可以写成如下形式
p(n)表示 n个人中至少2人生日相同的概率
该图片显示特定 人数对应的2个 人生日一样的概率
n≤365,根据鸽巢原理, n大于365时概率为1。
当 n=23发生的概率大约是0.507。其他数字的概率用上面的算法可以近似的得出来:
n
10 20 30 50 100 200 300 350 ≥366
p(n)
12% 41% 70% 97% 99.99996%
99.[***********]9999999998% 1 − (7 × 10−) 1 − (3 × 10−) 100%
13173
比较 p(n) = 任意两个人生日相同概率 q(n) =和某人生日相同的概率
注意所有人都是随机选出的:作为对比,q(n)表示房间中 n个其他人中与特定人(比如
你)有相同生日的概率:
= 22时概率只有大约0.059,约高于十七分之一。如果n个人中有50%概率存在某当n
人跟你有相同生日, n至少要达到253 。注意这个数字大大高于365/2 = 182.5: 究其原因是因为房间内可能有些人生日相同。
3、论证(非数字方法):
在 Paul Halmos 的自传中,他认为生日悖论仅通过数值上的计算来解释是一种悲哀。为此,Paul Halmos给出了一种概念数学方法的解释,下面就是这种方法(尽管这个方法包含一定的误差)
。 乘积
}-
等于 1-p(n), 因此我们关注第一个n,使得乘积小于1/2,这样我们得到
}-
由平均数不等式得:
}-
(我们首先利用已知的1到n-1所有整数和等于 n(n-1)/2, 然后利用不等式不等式 1
x
-x
最后一个表达式的值会小于0.5。 其中"loge"表示自然对数。这个数略微小于506,运
2
气稍微好一点点就可以达到506,等于n-n,我们就得到n=23。
在推导中,Halmos写道:
“个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾经是一个绝妙的例子,用来演示纯思维是如何胜过机械计算:一两分钟就可以写出这些不等式,而乘法运算则需要更多时间,并更易出错,无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。计算器不能提供的是理解力,或数学才能,或产生更高级、普适化理论的坚实基础。”
然而Halmos的推导只显示至少需要23人保证平等机会下的生日匹配;因为我们不知道给出的不等式有多清晰,因此n=22能够正切的可能也无法确定。
4、泛化和逼近:
生日悖论可以推广一下:假设有n 个,每一个人都随机地从1和特定的N个数中选择出来一个数(N可能是365或者其他的大于0的整数)。
p(n)表示有两个人选择了同样的数字,这个概率有多大?
下面的逼近公式可以回答这个问题
N=365的结果:
泛化:
下面我们泛化生日问题: 给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数, 至少2个数字相同的概率p(n;d) 有多大?
类似的结果可以根据上面的推导得出。
}-
5、反算问题: 反算问题可能是:
对于确定的概率 p ...
... 找出最大的 n(p)满足所有的概率p(n)都小于给出的p,或者 ... 找出最小的n(p) 满足所有的概率p(n)都大于给定的p。 对这个问题有如下逼近公式:
举例 逼近
估计N :=365
p
0.01 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 0.8 0.9 0.95 0.99
n 推广
0.14178 √N 0.32029 √N 0.45904 √N 0.66805 √N 0.84460 √N 1.17741 √N 1.55176 √N 1.79412 √N 2.14597 √N 2.44775 √N 3.03485 √N
n
n↓
2 6 8 [**************]7
p(n↓)
0.00274 0.04046 0.07434 0.16702 0.28360 0.47570 0.68097 0.79532 0.89123 0.94825 0.99012
n↑
3 7 9 13 17 23 30 35 41 47 58
p(n↑)
0.00820 0.05624 0.09462 0.19441 0.31501 0.50730 0.70632 0.81438 0.90315 0.95477 0.99166
注意:某些值被着色,说明逼近 不 总是正确。 6、经验性测试:
生日悖论可以用计算机代码经验性模拟 days := 365; numPeople := 1; prob := 0.0;
while prob
numPeople := numPeople + 1;
prob := 1 - ((1-prob) * (days-(numPeople-1)) / days); print "Number of people: " + numPeople; print "Prob. of same birthday: " + prob; end; 7、应用:
生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2
N/2
次而是只有2次。这一结论被应用到破解密码学散列函数的生日攻击中。
N
生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用,来估计湖里鱼的数量。
8、不平衡概率:
就像上面提到的,真实世界的人口出生日期并不是平均分布的。这种非均衡生日概率问题也已经被解决。[Klamkin 1967]
9、近似匹配:
此问题另外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才能找到2个人生日相同,相差1天,2天等的概率大于50% 。这是个更难的问题需要用到容斥原理。结果(假设生日依然按照平均分布)正像在标准生日问题中那样令人吃惊:
2人生日相差k天
0 1 2 3 4 5 7
#需要的人数 23 14 11 9 8 7 6
只需要随机抽取6个人,找到两个人生日相差一周以内的概率就会超过50%。 五、罪恶问题:
罪恶问题(Problem of evil)是宗教哲学和神学中如何使邪恶或苦难与全知全能全善的神和谐的问题,由古希腊哲学家伊壁鸠鲁提出。罪恶问题又被称为邪恶问题、苦难问题或
伊壁鸠鲁悖论(Epicurean Paradox)。试图解决这一难题的理论称为神义学(en:theodicy)。
1、前提:
在分析罪恶问题前,一些概念必须加以明确定义,这是由于宗教信仰本身的特点所决定的。
神是谁或什么? 什么是恶?
什么是全能(en:omnipotence)?
以及什么是全善(en:omnibenevolence)? 2、表述
伊壁鸠鲁的表述:
如果是上帝想阻止“恶”而阻止不了,那么上帝就是无能的; 如果是上帝能阻止“恶”而不愿阻止,那么上帝就是坏的;
如果是上帝既不想阻止也阻止不了“恶”,那么上帝就是既无能又坏; 如果是上帝既想阻止又能阻止“恶”,那为什么我们的世界充满了“恶”呢? 逻辑表述: 1文句式: ○
神存在(前提)
神全能(前提,或者由“神”的定义得为真) 神全善(前提,或者由“神”的定义得为真)
所有全善的生物都反对任何的恶。(前提,或者由“全善”的定义得为真) 所有全善的生物如果可能会立即消灭任何的恶。(前提) 神反对任何的恶。(由3和4得出的结论) 神可以立即彻底的消灭恶。(由2得出的结论) 神会立即彻底的消灭恶。(由3、5和7得出的结论) 恶存在而且可能永远存在。(前提)
8和9矛盾,因此至少一个前提不成立:或者神不存在,或者神不全善全能,或者神有理由不立即这么做,再或者恶不存在。
2表列式 ○由“全善”的定义得为真: 全善的生物反对任何的恶。
前提:神存在。
由
“神”的定义得为真: 神全善。
结论:
全善的生
神反对任何
物会立即
的恶。
消灭任何的恶。
结论: 神会立即将恶彻底消灭。
前提:恶仍然存在,
而且可能永远存在。
由
“神”的定义得为真: 神全能。
结论: 神可以立即将恶彻底消灭。
结论:三者互相矛盾,因此至少一个前提或定义结论不成立。
可能理由: 神虽然存在, 但并不全善全能。
可能理由:
神有使祂无法将恶消灭的苦衷。
可能理由:
神不存在。 可能理由:
恶不存在。
3、反面意见:
1710年,莱布尼茨提出神义学系统研究罪恶问题,解释为什么神允许恶存在同神的全善不矛盾。
4、恶的定义:
5世纪神学家奥古斯丁针对罪恶问题提出反驳,后来成为最常见的反驳之一。他定义“恶”为善的丧失。所有的“恶”都是与善的事物相对立而言的,例如不和谐、不公平、失去生命或自由等。这一论证被称为对比神义论。但是对比神义论是建立在一个对于道德的形而上学的解释上——善和恶没有道德标准。
奥古斯丁还提出经受苦难有潜在的好处。对此的反驳则是一个全能的神可以给世界这些好处,但不需要世人经受这些苦难。
一种反驳认为,“恶存在”这一判断需要一个道德标准判断善恶。有神论认为是神制订了这个标准,因此如果没有神,则没有办法判断善和恶。但无神论认为善恶不需要神制订标准就可以通过推理进行判断,实际上这一标准就是社会上所有人都同意的一个约定。 还有一些神学理论认为人不知道善和恶的确切意义,神为人准备了一个人可能不理解的善的计划,一切以人的理解判断神是否存在都是短视行为。问题在于这一理论并不是经验性的,从而是不能被证伪的。没有任何证据表明人们不理解善和恶,我们的一切思维和行动都基于我们的感受。根据这些感受我们得出推论,例如认为我们是人有四肢,而事实上我们可能仅仅是做梦的蝴蝶只有翅膀(参见庄周梦蝶)。但既然我们感受不到这些,则我们的推理和我们的感受是自圆其说的。
5、反面意见之谬误:
在最近热门的网络文章《教授与学生》中提到: “恶是善的欠缺”只是提出一个说法来解释“什么是恶”, 而并没有解决“为什么上帝不去解决恶”。
例如,有个人预知了大海啸的发生,并且他有能力阻止此事件的发生, 但是他不去阻止,并且数十万人死亡因此死亡, 我们绝对不会说他是善的,甚至有绝大部分的人会认为此人是恶者,因为有能力却不做。
并且,进一步的说明“神的善或许跟我们的善不同?”的说法。 若神的善与我们认知的善不同,那么许多我们自认为的事情也会不同。 例如文章中提到,神说在审判之后给基督徒永生,而只给他们十天,说这是神定义的永生。 或是把基督徒丢到地狱里,说那是神说的天堂。
也就是说,从定义上去试图解释善恶的矛盾是不太可行的。 六、全能悖论:
全能悖论始见于中世纪,因在基督宗教的教义中,至高无上的神是“全能、全知、全善”的,因此亦称全能上帝悖论。全能悖论不是要否定全能者或证明上帝不存在,而是指出“全能”这观念隐含矛盾,不可能存在着全能上帝,即使上帝存在,亦不会是全能的。
全能悖论可以有很多种问题变化,其中一个常见的问题是:
上帝能创造出他自己举不起的石头吗?
上帝能创造出不可能存在的东西吗?(一般性论述)
依此推论,若果上帝做不出他举不起的石头,他就不是全能。反之,若上帝举不起这块石头,他亦不是全能。
有一个类似的变形,称为万能溶液悖论:“是否存在一种万能溶液,它可以溶解一切物品?”
另一个变形关于人类的品德。上帝是全能的,上帝希望人类善良,因此上帝应当使每个人都变得善良。但现实并不是这样,所以上帝并不是万能的。
依此推论,如果真的存在这种溶液的话,那么,该用什么容器装?反之,如果有容器可以装它,那它就不是万能溶液。当然,从容器角度讨论万能溶液悖论有一定严密性问题,因为“存在该种溶液”与“存在相应的容器来盛装”没有必然联系。
1、悖论概说:
反对“全能论”的人认为,“全能”这概念含有逻辑矛盾,不可能存在着全能者。其理据及推论方式一般如下:
1排中律: ○
无论 X 是什么,如果X能造一块自己举不起的石头,X就不是全能的,因为这样的石头就不是X能举起的(X至少有一块石头举不起,那就是至少有一件事做不出,即有所不能);如果X不能造一块自己举不起的石头,X也不是全能的,因为X造不出这样的一块石头。(X
至少有一块石头造不出,亦就是至少有一件事做不出,亦即有所不能)
所以,无论X能不能造,X都不是全能的。由于“能”和“不能”已穷尽一切有关的可能性(排中律),因此在任何可能的情况下,X都不会是全能的。
2以归谬法反证: ○
先假设“存在全能者X”(命题A),然后可得出两个命题: P:X能造出任何石头 Q:X能举起任何石头
由P可推出R:“X能造出X举不起的石头”,与Q“ X能举起任何石头”产生矛盾(或由Q推出S:“宇宙不存在并且不会出现X举不起的石头”,与P“X能造出任何石头”产生矛盾)。 根据归谬法,由于前提A可推出矛盾命题,即可推出前提A内含矛盾。否定前提A可得出“不存在全能者X”。
2、全能论者的回应:
支持“全能论”的人认为,“全能”这概念不含逻辑矛盾。他们的反驳或反应如下:
全能者超越逻辑矛盾限制,逻辑亦不能拘束全能者 上帝创造宇宙万物,自然是无所不能
偷换问题: 将问题中所无的“全能的”字眼加上,即:“万能/全能的上主能造出他举不起的石头吗?”,然后说“问题有矛盾”。
“石头问题”的目的是在逻辑上否定“全能”的可能性,而不是否定“神”的存在。主语是谁并不重要,无论答“能”或“不能”,那人都不是“全能”的,也就是说“全能”是逻辑上不可能的。
“这块全能者举不起的石头,在逻辑上不可能存在”是“因为上帝是全能的”。但“上帝是全能的”这个预设,正在被质疑。事实上,反全能论已证明“上帝是全能的”为错。用这个错的预设,才能得出“这块全能者举不起的石头,在逻辑上不可能存在”的结论,因犯了‘窃取论点’(begging the question)的谬误,这推论是不健全的。反观上文反全能论的论证,没有先假设“上帝不是全能”。
全能者虽然是无所不能,但亦不能做出不合逻辑的事,如画出“圆的正方形”、造一块自己“举得起并且举不起的石头”等,但这个论点,在李天命的著作《李天命的思考艺术》中已指出这是犯了“乞求论点”(Begging the question, petitio principii)的逻辑谬误。
全能者能够造一块石头,之后再限制自己,使自己不能举起该石头。(回避了“全能者
有所不能”的问题)
重新界定全能二字的定义:即在于没有其他人或物在能力或任何属性超越全能者的前提下,全能者的能力没有限制(并无回答问题)
指两个“任意大”(又一版本是无穷大)的数字,在逻辑上是不能分大小的,因为数字是无穷尽的。所以全能的举石能力及全能的造石能力,也是两个没有限制的能力比拼,所以在逻辑上是不分上下的。(此说属于外行胡诌)
第七章 研究悖论的意义
以上我们介绍了很多悖论,他们都对人类思维的发展和进步产生了重大影响。那么人们试图解决悖论的种种努力究竟有什么意义呢?笔者以为简单概括起来大概有以下三个方面:(1)从数学上看,悖论迫使人们从逻辑和哲学的角度对数学基础问题重新进行了全面而深入的研究,这种努力正是企图给数学以相对更加牢靠的基础;
(2)从逻辑上看,单以二值逻辑来说,它的值必须或真或假,即不能即真又假,然而,逻辑悖论却破坏了矛盾律和排中律,使命题的值即真又假,无法确定,解决悖论的努力可以说是在企图维护形式逻辑的基本律;(3)从哲学上看,人们在解决悖论的努力使自己的认识不断深化,从而对相对静止的思维形式和结构,以及它们之间错综复杂的层次和关系做了更进一步的剖析。此外,上述努力对于反对诡辩论和相对主义也有一定的意义。
悖论影响了人们的思维,但它的最大贡献还是对数学体系的发展与完善,这一点尤应引起我们的注意。通过以上对数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过与介绍,我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说:“提出问题就是解决问题的一半”,而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说:“解决我,不然我将吞掉你的体系!”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样:“必须承认,在这些悖论面前,我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想:在数学这个号称可靠性和真理性的模范里,每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话,那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢?”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中,各种理论应运而生了:第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展,这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。
参考文献