图像多尺度几何分析综述

第29卷第3期2011年9月海南大学学报自然科学版NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN UNIVERSITY Vol．29No．3

Sep. 2011

文章编号：1004－1729（2011）03－0275－09

图像多尺度几何分析综述

1，212李财莲，孙即祥，康耀红

（1．国防科学技术大学电子科学与工程学院，湖南长沙410073；2．海南大学信息科学技术学院，海南海口570228）

摘要：阐述了图像多尺度几何分析技术的国内外发展现状及趋势，并介绍了其在图像处理中的部分应用，

探讨了图像多尺度几何分析方法存在的问题及进一步的研究方向，为多尺度几何分析技术的发展状况提供

了清晰的轮廓．

关键词：多尺度几何分析；小波变换；图像处理；Tetrolet 变换

中图分类号：TP 391文献标志码：A

由于超越傅里叶变换的诸多优点，小波变换被广泛应用到图像处理的各个领域，成为继傅里叶变换

由于小波变换只能反映信号的零维奇异性，即只能表达奇异点的位置和之后的又一变换分析工具．但是，

特性，却不能有效表示二维图像中具有多方向性的边缘和纹理等几何特性，因此，小波基并不是最优的图

［1－9］．像表示方法

DO M N 在总结前人研究的基础上给出了图像有效表示需要满足以下条件［10］：

1）多分辨率表示方法能够进行多尺度分解，对图像从粗糙到精细连续逼近；

2）局部性表示方法的基函数在空域上和频域上都应该有良好的局部性质，并且能随尺度变化；

3）临界采样表示方法具有较低的冗余结构；

4）方向性表示方法应该包含多个方向的基函数；

5）各向异性表示方法的基函数的支撑集具有不同长宽比的形状，能处理图像边缘轮廓的平滑性．显然，傅里叶变换和二维可分离小波变换仅满足上述的部分性质，为了寻找最优的图像表示方法，更

——多尺度几何分析（Multiscale Ge-一门崭新的信号分析工具—加有效地表示和处理图像等高维空间数据，

ometric Analysis ，MGA ）被提出来并迅速成为当前研究的热点［2］，它能满足上述图像有效表示的所有条

在图像分析中获得了较大成功，体现出了一定的优势和潜力．件，

Curvelet ，Bandelet ，Contourlet 等一系列多尺度几何分析工具，目前，研究者提出了包括Ridgelet ，由于

它们主要以变换为核心，因此也称为多尺度多方向变换．为了能充分利用原函数的几何正则性，这些变换

“长条形”，基的支撑区间表现为以达到用最少的系数来逼近奇异曲线．多尺度几何分析技术在图像压缩、

去噪、增强及特征提取等领域，表现出的性能优势显示了其强大的发展和应用潜力，但其理论和算法都处于发展阶段，还尚待完善和开发．

4］文献［以二维函数的非线性逼近为主线，分析了推动多尺度几何分析发展的深刻数学和生理学背

6］分析了Contourlet 变换及其构造原理，探讨了Contourlet 变换在图像处理中的部分应用．本文景．文献［

在此基础上，阐述了国内外多尺度几何分析技术的研究现状及发展趋势，给出了部分图像处理应用结果，探讨了图像多尺度几何分析方法存在的问题及进一步研究的方向，为多尺度几何分析技术的发展提供清晰的轮廓．

收稿日期：2010－11－04

基金项目：国家自然科学基金项目（40901216）；国防预研资助项目（513220206）

作者简介：李财莲（1973－），女，湖南涟源人，海南大学信息科学技术学院工程师，国防科学技术大学电子科

学与工程学院2007级博士研究生．

1

1．1国内外研究现状及发展趋势图像多尺度几何分析可以分为非自适应多尺度几何分析和自适应多尺度几何分析2类非自适应多尺度几何分析技术的发展［2，4，6－7］．非自适应多尺度几何分析是指图像变换的基函数与图像内

Curvelet 和Contourlet 变换．1998年CANDES E J 在其博士论文中容无关，主要包括最近提出的Ridgelet ，

（Ridgelet ）概念提出其理论框架［11］．同年DONOHO D L 给出了一种正交脊波的构造方最初以“脊波”

法［12］．脊波是一系列脊函数的叠加来表示普通的函数类，“近似正交”同时具有离散变换的函数框架．

若函数Ψ：R ң R 满足

K Ψ=定义1（脊波）∫^（）|2|d ω＜ɕ ，|ω|d （1）

则称Ψ是d 维空间中的容许神经激活函数．由满足容许条件（1）的函数Ψ生成的脊函数（2）就称为脊波（Ridgelet ）．

1/2Ψr =a Ψ（u ·x －b ），a （2）

a 表示脊波的尺度，u 为对应脊波的方向，b 为对应脊波的位置．R 2空间上的连续Ridglet （CRT ）可以其中，

定义为

CRT f （a ，b ，θ）=

其中，脊波是沿方向θ的小波

1/2Ψa ，Ψ（b ，θ=a 珟∫ΨR 2a ，b ，θ（x ）f （x ）d x =＜f ，Ψa ，b ，θ＞，（3）x 1cos （θ）+x 2sin （θ）－b ），a （4）

珟表示Ψ的复共轭，与式（2）意义一样，Ψ脊波变换引入了表征方向的角度参数θ，因此，脊波变换具有方向

性．其支撑集是沿一条称为脊线的直线附近的带状区域

｛（x ，y ）ʒ x cos θ+y sin θ－b ≤a ｝，

b 与θ离散化即可得到离散脊波变换．将3个参数a ，

脊波能对高维空间中的直线状和超平面状的奇异性进行很好的逼近，但是，对于含曲线奇异的多变量函数，其逼近性能相当于小波变换，不具有最优的非线性逼近误差衰减．因此，为了解决含曲线奇异的

CANDES 又提出了用单尺度脊波来表示曲线奇异性，多变量函数的稀疏逼近问题，即在一个基准尺度上进

行脊波变换，单尺度脊波对于具有曲线奇异的多变量函数的逼近性能比小波有了明显提高．

CANDES E J 和DONOHO D L 于2000年由于Ridgelet 变换不能提供多尺度分解，对应于单尺度脊波，

［13－14］“曲波”（Curvelet ），．第1代Curvelet 变换是在所有可能的尺度上构造了提出了第1代Curvelet 变换（5）

进行脊波变换，所以也称为多尺度脊波，不仅综合了脊波擅长表示直线特征和小波适合于表现点状特征的优点，而且利用了多尺度分析的优势，适用于实际的图像处理问题．对于具有光滑奇异性曲线的目标函数，曲波提供了稳定、高效和近似最优的表示．曲波变换的基本思想是首先通过一个金字塔树型结构滤波器组将图像分解为一系列小波子带，然后根据子带的中心频率进行加窗处理并将其分成近似大小的块，

Curvelet 变换存在加窗效应，对每一块进行离散脊波变换，每一块中块的大小可以不同．显然，同时因为采

用Ridgelet 变换，因此实现效率较差．

2005年CANDES E J 和DONOHO D L 又提出了第2代Curvelet 变换方法［15］．第2代Curvelet 变换完全摒弃了Ridgelet 变换，在频域直接给出了Curvelet 变换的具体表示形式．首先对图像进行快速傅里叶变换，然后针对不同的尺度和方向对频域系数插值和重采样，最后对新的系数加窗处理后执行快速傅里叶反变换，得到了指定尺度和方向的Curvelet 变换．

虽然第2代Curvelet 变换具有良好的时频域局部性、方向性以及非线性逼近能力，但其冗余度高，存

［16－20］．第1代Conturlet 变换继在加窗效应．2001年DO M N 和VETTERLI M 提出了第1代Contourlet 变换

承了Curvelet 变换的各向异性尺度关系，直接在数字域实现了具有多尺度、局部和多方向的二维图像表示

Contourlet 基的支撑区间为具有随尺度而变化长宽比的“长条形”方法，结构，用轮廓（Contour ）分割产生了一种灵活、局部、定向的图像表示方法，所以称之为Contourlet 变换．离散Contourlet 变换可以分为2个独立的步骤［16］：

1）使用LP 滤波器对原图像进行子带分解，以捕获二维图像信号中存在的点奇异．一次LP 分解将原始图像分解为原图像的逼近分量和原图像与低通图像的差值，即高频分量；递归地对逼近分量做进一步的分解，便得到了整个多分辨率图像，如图1所示．

2）使用方向滤波器组DFB 进行方向变换，将同方向上的奇异点合并为同一系数，即Contourlet 变换系数，如图2所示

．

图2图1中原始图像的Contourlet 变换系数

LP 分解和DFB 都具有完全重构性，因此能由变换系数得到完整图像．Contourlet 变换是一种灵活的

多方向性的变换，允许每个尺度上有不同数目的方向．多分辨率、

当Contourlet 变换采用不理想的滤波器时，得到的变换不具有良好的频域局部性，并且由于下采样操

2006年，LU Y 和DO M N 提出了第2代Contourlet 变作致使频域混叠．为了获取更好的局部频谱特性，

换［21］，与第1代不同之处是采用频域操作的金字塔结构取代LP 变换进行多尺度分解，取得了优于第1代Contourlet 变换的应用结果．

除了以上提到的3种经典变换外，还存在一些其他非自适应多尺度变换技术．1992年SIMONCELLI

［7，22］，等人提出了具有平移不变性和旋转不变性的Steerable Pyramid 分解通过拉普拉斯塔式分解和无下

抽样的可调方向滤波器来实现．1999年KINGSBURY 提出了具有近似平移不变性的对偶树得数小波变换

23］（DTCWT ，Dual-Tree Complex Wavelet Transform ）［2，，成功克服了传统小波不具有平移不变性和方向选择

Contourlet 变换采用多种滤波器组级联方式获得对图像多尺度、性差的缺陷．2003年LU Y 提出CRISP-多

方向和非冗余分解

1．2［2，24］．自适应多尺度几何分析是指图像变换的基函数随图像的内容自适应多尺度几何分析技术的发展

Wedgelet ，Wedgeprint ，Beamlet ，Bandlet ，Directionlet 和Tetrolet 变化而变化，主要包括近年来提出的Brushlet ，

变换等．

1997年MEYER 和COIFMAN 提出了一种自适应频带分割方法———Brushlet ，将Fourier 平面扩展成加

［7，25］．为了获得最精确和最简捷的图像表示形式，窗的Fourier 基，称之为Brushlet 变换依据各个可能的方

向、频率和位置的方向纹理信息，可以自适应选择Brushlet 的大小和方向．Brushlet 变换非常适合描述周期纹理图像，但对于分片光滑图像的边缘不能提供稀疏表示．

7，26］1999年DONOHO 提出了Wedgelet 变换．Wedgelet 变换是一种简单有效的图像表示方法［2，，定义

在正方形区域上的分片二值函数，该区域被一条直线分成2个部分，直线的方向可以根据边缘的方向进

ROMBERG 等利用用一系列不同尺寸不同方向的Wedgelet 可以逼近图像的边缘轮廓．2003年，行调节，

Wedgelet 字典来描述图像边缘产生的小波系数，从而得到一种比小波和Wedgelet 更为稀疏的图像表示方

28］．2001年DONOHO 和HUO Xiao-ming 提出了Beamlet 变换［7，．Beamlet 变换能

够有效地分析线段的奇异性．Beamlet 元素是一组具有二进制结构部分的线段，遍历所有的尺度和位置并法，命名为Wedgeprint ［7，27］且跨越了所有的方向．这是一种高效率的表示方法，替代了在图像中任何2个像素点之间的连线所能够组成线段的集合，并且具有较低的基数性，大量的多边曲线都能够通过相对较少的Beamlet 元素链来表示，这也同时说明了Beamlet 的稀疏性．

二维小波变换能很好地提取图像边缘上的不连续性，却不能有效表示边缘的平滑性，且只能获得很

［29］有限的方向信息．2000年PENNEC E L 和MALLAT S 提出了第1代Bandelet 变换．Bandlet 变换是一种

基于边缘的图像表示方法，能自适应地跟踪图像的几何正则方向．其中心思想是把图像中的几何特征定

［2］义为矢量场，用矢量场表示图像空间灰度变化的局部正则方向，将不连续重要的小波系数连在一起并

用一维光滑曲线表示．Bandelet 基并不是预先确定的，而是以最终应用结果来自适应的优化选择具体基．

2005年PEYRE G 和MALLAT S 提出了第2代Bandelet 变由于第1代Bandelet 变换是非正交性的，所以，

换，由二维可分离小波和Bandelet 化过程组成．其中Bandelet 化过程是先沿几何流方向对小波高频子

2，…）上进行重采样，带内分割的小区域系数f 在方向d i （i =1，并排列成一维信号f d i ，然后对f d i 作一维小

f b i （t ）=＜f d i ，Ψj ，k （t ）＞，

其中

－j/2－jΨj ，Ψ（2t －k ），k （t ）=2［30］即波变换，（6）（7）

j ，k ，

t

Z．其中，Ψ（t ）为小波函数，

为了获得最佳的Bandlet 化过程，即获得最佳的Bandlet 基函数，

首先把图像二维小波变换得到的高频子带分割成等大的方块，然后在

每个方块中作二进制四叉树分裂，紧接着自底向上修剪该四叉树．在

每个分割区域中，通过执行Bandlet 化过程，最小化拉格朗日率失真函

数找到最佳的Bandlet 基．针对不同的应用，拉格朗日率失真函数是不

一样的．图3显示了量化步长为8时的方向图，其中采用大小为8ˑ 8

的固定分割块．第2代Bandelet 变换具有简单、正交以及没有边界效

应等特点．

2009年KROMMWEH J 提出了Tetrolet 变换［34－36］，这是一种新的

稀疏图像表示的自适应方法，在图像压缩、去噪和非线性近似中非常

在边缘部分应用了Haar 有效．Tetrolet 变换构建类似于Wedgelet 变换，

功能函数．先将图像分成4ˑ 4块，然后在每一块中确定与图像几何结构相适应的四格拼板．由于四格拼板Tetrominoes 是最先被应用到一种拼板游戏中用的多边形拼合板，因此KROMMWEH J 将这种多尺度多

在每层滤波器算法中，将低通图像分成方向变换称之为Tetrolet 变换．图4为Tetrolet 变换的结构示意图，

4ˑ 4块，然后对每一块图像进行Tetrolet 基变换，将该块图像分解为2ˑ 2低通部分及12ˑ 1高通部分，如图4中黑色边框及箭头所示；然后再对低通部分进行4ˑ 4分块进行下一层的Tetrolet 基变换，依此类推直至分解结束．四格拼板与块图像中的几何特性自适应，因此Tetrolet 变换能更好地保持图像边缘和方向纹理等信息，在图像压缩、去噪和非线性近似中非常有效．图3最佳Bandlet 变换的方向图

图4Tetrolet 变换结构

以上几种变换为近10年来图像多尺度几何分析技术发展的经典，国内外有大量学者对其进行了更深入和广泛的探究，提出了其他一些理论和算法．2001年COIFMAN 和MEYER 等提出了Noiselet 变［32］［2］CHAPPELIER V 提出了OWT （Oriented Wavelet 换．2005年CHAUX C 提出M 带对偶树小波变换，

Transform ）变换［2］，WANG D 提出了CWT （Curved Wavelet Transform ）变换［2］，LABATE D 提出了Shearlet

；同年，VELISAVLJEVIC V 提出了Directionlet 变换［31］，该方法利用拉格朗日优化算法对图像进行最优分块操作，每块图像采用不同方向的Directionlet 来表示．2006年BAYRAM I 提出M 带对偶复小波变变换

DWT （Direction-Adaptive Discrete Wavelet Transform ）变换［2］，2007年DING W 换，CHANG C L 提出了DA-

based Wavelet Transform ）变换［2］．2009年，LEE A B ，NADLER B ，提出了ADL （Adaptive Directional Lifting-

WASSERMAN L 提出了Treelets 变换［33］．这些方法均是对图像进行独特方式的方向小波变换，都被归为自适应型多尺度方向变换，都在图像压缩和去噪方面获得了较好的效果．

1．3国内研究现状在国外，多尺度几何分析技术的研究工作起步不久，正在发展中．起初主要跟随国

［4］近些年研究群体逐渐壮大，有许多学者如焦李成、孔令富、练秋生等也做了大量外的研究工作与方向，

［38－41］．2004年尚晓清对多尺度分析在图像拓展性和研究性的工作，并发表了有关内容的综述和应用文章［2］

．2005年郭旭静开发了改进的有限域脊波变换算法、全相位方向滤波器及基

［1］于全相位方向滤波器的全相位Contourlet 算法，开发了基于矩阵变换方法的小波基矢量，将其应用在改处理中的应用进行了研究

进的有限域脊波变换中提高了计算效率．2007年李杰等针对构建方向滤波器组所需要的2D 非分离式滤

［3］波器，提出了一种新型的基于McMellan 变换和二次规划的2DFIR 滤波器设计方法，同时提出了2种新型的图像自适应方向小波分解方法，一种采用图像旋转方法，另一种采用方向可控滤波器，并将其应用在纹理分析和数字水印等图像处理中，取得了比较好的实验结果．同年，宋蓓蓓等提出了一种适用于图像压缩的最优双正交小波构造方法，采用单参量评价函数，并将第2代Contourlet 变换和第2代Bandelet 化过

［42］程相结合，提出了一种新的图像多尺度多方向变换，称为CBlet 变换．

目前，国内关于多尺度几何分析技术的研究工作仍处于发展初期，大部分研究工作着重于国外已有

对其深刻的数学理论基础很少进行全面研究，将有待于更多学者对其进行研究创方法的改进及其应用，

新，建立有效的新变换理论框架，从而把多尺度几何分析推向新的发展高潮．［37］

2多尺度几何分析在图像处理中的应用

正是由于多尺度几何变换的诸多优良特性，多尺度几何分析非常适合于进行诸如去噪、压缩、增强和特征提取等图像处理任务．

2．1图像去噪图像去噪性能是衡量各种变换在图像稀疏化表示方面的重要指标，图像变换稀疏化程

度越高，系数能量越集中，去噪能力就越强．图5给出了几种经典的多尺度多方向变换在图像去噪中的应用，其中选取经典的硬阈值去噪方法，其阈值都为3σ，σ为噪声方差．由图5可以看出，这几种经典的多尺度多方向变换在图像去噪方面是有效可行的，去噪能力都比较强

．

a 原始图像b 噪声图像

PSNR =22．11dB c Curvelt 降噪PSNR =29．30dB

图5d Contourlet 降噪PSNR =28．67dB e Bandlet 降噪PSNR =31．23dB f Tetrolet 降噪PSNR =31．17dB 几种方法图像阈值去噪σ=20

2．2非线性逼近多尺度几何分析能够对图像进行更好的稀疏表示，即能将更多的系数集中至更少的系数中，因此具有非常好的非线性逼近性能，其变换的稀疏性能直接决定非线性逼近性能的好坏．图6给出了标准图像Lena 使用1024个系数做非线性逼近的重构图像．图6a 为原始图像，其大小为512ˑ 512，变换完后共有262144个系数，这里只需要其中数值最大的1024个系数进行反变换，并得出使用这些系

Tetrolet 变换在非线性逼近中保留了更多的图像细节和纹理特特征，数的重构图像，由图6可知，在非线性

逼近中有更好的特性

．

a 原始图像

图6b Contourlet 变换PSNR =22．23dB 2种方法非线性逼近结果c Tetrolet 变换PSNR =25．62dB

2．3图像压缩编码的基本思想是只对变换域中重要的变换系数进行量化和输出，而抛

变换系数中的重要系数较为集中，而多数变换系弃其中的非重要系数．对图像进行多尺度多方向变换后，图像压缩编码

数趋向于0值，因此，将多尺度几何分析应用到图像压缩编码中成为图像处理中的一个研究热点．图7显示了小波变换和Tetrolet 变换进行图像压缩编码后重构图像，其中，小波变换采用的小波为“bior4．4”和“Haar ”，变换层数为4层，选择的编码方式为嵌入式小波零树编码EZW （Embedded Zerotree Wavelet Algo-rithm ）编码，，“bior4．4”“Haar ”阈值选为100．其中和小波变换后其压缩码率分别为0．56bpp 和0．65bpp ，而Tetrolet 变换其码率则为0．52bpp．由图7可知，多尺度多方向变换在图像压缩编码中性能优异，取得了较好的视觉效果和较高的峰值信噪比

．

a 原始图像b bior4．4小波变换

PSNR =17．88dB

图7c Haar 小波变换PSNR =17．82dB d Tetrolet 变换PSNR =18．99dB 图像EZW 压缩编码后重构图像

2．4图像特征提取利用多尺度几何变换中的特征提取能力可以很容易地实现各种类型的图像识别、图像检索及图像融合等应用．一般来说，首先将原始图像进行多尺度多方向变换至其相应的变换域中，随

方向性、各向异性等特性，各种方向变后求取其变换参数的特征值．由于多尺度几何分析有多分辨率性、

换能有效地对图像进行表示，因而能有效地提取图像纹理和结构等特征信息，在图像特征提取方面具有广阔的应用前景．

3存在的问题和进一步的研究方向

10多年来，图像多尺度几何分析技术的研究取得了不少进展，但是仍然存在很多问题，有许多方向有待进一步研究．

1）自适应和非自适应方法的选取近几年来，在图像多尺度几何分析领域，学者们普遍认为自适应

于是提出了各种各样的自适应分析方法，但在某些情况下，方法相对非自适应方法具有更好的逼近性能，

一些非自适应方法通过简单的硬阈值处理获得的非线性逼近性能并不比复杂的自适应方法差，因此，如何选择自适应和非自适应方法，一直是学者们研究的方向．

2）滤波器组的构造和设计图像多尺度几何分析算法中滤波器组作为各种多尺度方向变换的重要组成部分，其性能直接影响到多尺度方向变换在实际应用中的性能，因此，有很多学者投入到滤波器组的构造和设计中，以便取得更好的变换性能．

3）基本理论框架的建立目前，多尺度几何分析理论都是针对不同应用目的提出来的，如何从根本上揭示其数学本质，构建统一的多尺度几何分析理论是值得研究的方向之一．

4）快速处理工具的建立目前，多尺度多方向变换没有统一有效的变换工具，如何设计快速有效的算法，发展新的多维信号处理工具，也是值得研究的方向之一．

5）多维图像模型的建立当前，多尺度几何分析方法都是建立在简单的二维图像模型之上，然而真正的自然图像远比这个模型复杂，对于更复杂的自然图像模型，如包含纹理的模型等还需要建立更好的图像模型，以便得到更优的图像多尺度几何表示方法．

6）与其他领域的结合如何将多尺度几何分析方法与数学理论、谐波分析、视觉感知、计算机视觉和信息处理等多门学科相结合，相互发展，也成为研究方向之一．

7）“稀疏逼近”的发展方向不同的多尺度几何分析技术对不同的图像有不同的稀疏表示能力，如何将变换系数的能量更加集中，有助于提取和分析图像的重要特征，得到更稀疏的图像表示，也是值得研究的方向之一．

8）算法的效率和复杂度及评价标准目前，已有的多尺度几何分析算法很多，不少算法的效果还是不错的，然而各种解决方法都是以计算复杂度或冗余度的增加为代价来获得变换精度的提高，因此，如何在提高算法效率和降低复杂度之间获得最优的结果，也是值得研究的方向之一．同时，各种分析算法目前还没有统一的评价标准．一般采用真实的或由标准测试图像人工合成的低分辨图像序列来检验新算法及改进算法，如何对各种变换算法进行量化评价，也是值得研究的方向之一．

4结束语

日益增长的图像技术需求，使得更强大更有效的图像处理算法产生并应用到实际中去，传统的图像

现代科技发展了一种“新”的多维工具，能处理技术在很大程度上是从一维信号处理技术中发展起来的，

够捕捉图像几何结构特征，并能对图像进行多维表示的新方法已成为研究热点．近几年发展起来的多尺

．但由于就是根据这些要求而发展起来的新理论，并在国际上兴起了“第2次小波浪潮”度几何分析技术，

多尺度几何分析技术仍处于发展初期，有许多理论基础、应用潜能尚待开发和完善．随着信息技术的发展和更多研究的深入，这一领域将会日新月异，将针对不同的应用目的呈现出更多、更好的图像的“最优”表示方法．

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Image Multi-scale Geometric Analysis

2LI Cai-lian 1，，SUN Ji-xiang 1，KANG Yao-hong 2

（1．College of Electrical Science and Engineering ，National University of Defense Technology ，Changsha 410073，China ；

2．College of Information Science and Technology ，Hainan University ，Haikou 570228，China ）

Abstract ：In our report ，the progresses of Multi-scale Geometric Analysis were reviewed and its applications in image transform were introduced ，and some existing problems were discussed ，and all of which provide a clear o-verall developing picture of the technique．

Key words ：Multi-scale Geometric Analysis ；Wavelet transform ；image processing ；Tetrolet transform