经典函数解析式求法
求函数定义域的方法
一.已知函数解析式求函数的定义域
如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx,{x ︱x ∈R
π且 x≠k π+, k∈z } 2
例1 求下列函数的定义域:
(1) y=
2)0+㏒(x —2)x 2
解:(1)欲使函数有意义,须满足
2≠0
x —1≥0
x —2>0 解得:x >2 且 x≠3 ,x ≠5
x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞)
x ≠0
二. 复合函数求定义域
求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。
例2
(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f(x 2-1)的定义域。
(2)已知函数y=f(2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。
(3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f(x+1)—f (x 2-1)的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f (x )的定义域为〔a ,b 〕,求f 〔g (x )〕的定义域是解a ≤g (x )≤b ,即得所求的定义域。
(2)是已知f 〔g (x )〕的定义域,求f (x )的定义域。其解法是:已知f 〔g (x )〕的定义域为〔a ,b 〕,求f (x )的定义域的方法为:由a ≤x ≤b ,求g (x )的值域,即得f (x )的定义域。
解:(1)令-2≤X 2—1≤2 得-1≤X 2≤3,即 0≤X 2≤3,从而
x
∴函数y=f(x 2-1)的定义域为〔
。
(2)∵y=f(2x+4)的定义域为〔0,1〕,指在y=f(2x+4)中x ∈〔0,1〕,令t=2x+4, x ∈〔0,1〕,则t ∈〔4,6〕,即在f (t )中,t ∈〔4,6〕∴f (x )的定义域为〔4,6〕。
(3)由 -1≤x +1≤2
-1≤X 2—1≤2 得
x ≤1
∴函数y=f(x+1)—f (x 2-1)的定义域为〔
1〕。
三.含有字母参数的函数求定义域
对于含有字母参数的函数求其定义域必须对字母参数进行分类讨论。
例3 (1) 求函数y =
(a ∈R )的定义域
(2)已知函数f (x )的定义域为〔1,4〕,求函数y=f(x+m)—f (x —m ) (m >0)的定义域。
解:(1)要使函数有意义,须满足:ax —3≥0
∴(ⅰ)当a >0时原函数的定义域为{x ︱x ≥
(ⅱ)当a <0时原函数的定义域为{x ︱x ≤a } 3a } 3
(ⅲ)当a=0时ax —3≥0的解集为空集,即原函数的定义域为空集
(2)解:令1≤x+m≤4 ①
1≤x —m ≤4 ②
由①得 1—m ≤x ≤4—m
由②得 1+m≤x ≤4+m
当0<m <
335时定义域为〔1+ m,4—m 〕 当m= 时定义域为{x ︱x= } 222
求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法有:待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。
(一)待定系数法
待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。
例1:已知f (x ) 是二次函数,若f (0)=0, 且f (x +1) =f (x ) +x +1试求f (x ) 的表达式。
解析:设f (x ) =ax 2+bx +c (a≠0)
由f (0)=0, 得c=0
由f (x +1) =f (x ) +x +1 得
a (x +1) 2+b (x +1) +c =ax 2+bx +c +x +1
小结:我们只要明确所求函数解析式的类型,便可设出其函数解析式,设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时,可设f(x)=ax+b(a≠0);f(x)为反比例函数时,可设f(x)= k (k≠0);f(x)为二次函数时,根据条件可设①一般f(x)=ax2+bx+c(a≠0) x
(二)换元法
换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。
例2
:已知f 1) =x +1, 求f (x ) 的解析式。
解析:如果把1视为t ,那左边就是一个关于t 的函数f (t ) ,
只要在等式1=t 中,用t 表示x , 将右边化为t 的表达式,问题即可解决。
1=t
x ≥0
∴t ≥1
∴f (t ) =(t -1) +2(t -1) +1=t
∴f (x ) =x 2(x ≥1)
(三) 配凑法 22
已知复合函数f [g (x )]的表达式,要求f (x ) 的解析式时,若f [g (x )]表达式右边易配成g (x ) 的运算形式,则可用配凑法,使用配凑法时,要注意定义域的变化。
例3
:已知f 1) =x +求f (x ) 的解析式。
分析: x +
∴可用配凑法
解:由f 1) =x +=) 2-1
令t = x ≥0
∴t ≥1
则f (t ) =t 2-1
即f (x ) =x 2-1(x ≥1)
(四) 消元法,此方法的实质是解函数方程组。
消元法适用的范围是:题高条件中,有若干复合函数与原函数f (x ) 混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其余部分。
1例5:设f (x ) 满足f (x ) -2f () =x , 求f (x ) 的解析式。 x
1分析:要求f (x ) 可消去f () , 为此,可根据题中的条件再找一个关于f (x ) 与x
1f () 的等式,通过解方程组达到消元的目的。 x
1解析: f (x ) -2f () =x ………………………① x
1 显然,x ≠0, 将x 换成得 x
11 f () -2f (x ) =…………………………….. ② x x
1⎧f (x ) -2f () =x ⎪⎪x 由⎨ 11⎪f () -2f (x ) =⎪x ⎩x
1消去f () ,得 x
12f (x ) =-x - 33x
小结:消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如f(x)、f () ;互为相反数,如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得f(x)的解析式。
1x
(五)赋值法
赋值法是依据题条件的结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律的方法。
其方法:将适当变量取特殊值,使问题具体化、简单化,依据结构特点,从而找出一般规律,求出解析式。
例5:已知f (0)=1, f (a -b ) =f (a ) -b (2a -b +1), 求f (x ) 。
解析:令a =0,
则f (-b ) =f (0)-b (1-b ) =b 2-b +1
令-b =x
则f (x ) =x 2+x +1