近五年上海高考分类汇编--立体几何

近五年上海高考汇编——立体几何

一、填空题

AD 所成角1. （2009年高考5）如图，若正四棱柱ABCD -A 1BC 11D 1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD 1与

的大小是_____ ___.（结果用反三角函数值表示）

答案：

2. （2009年高考理科8）已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足R 1+2R 2=3R 3，则它们的表面积S 1，S 2，S 3满足的等量关系是_____ ___.

=

3. （2009年高考文科6）若球O 1, O 2的面积之比答案：2

4. （2009年高考文科8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是____ ____. 答案：

S 1R

=4，则它们的半径之比1=____. S 2R 2

8π

3

5. （2010年高考理科12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去V AOB ，将剩余部分沿OC , OD 折叠，使OA , OB 重合，则以A (B ), C , D , O 为顶点的四面体的体积是_____

___.

6. （2010年高考文科6）已知四棱锥P -ABCD 的底面是边长为6的正方体，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA =8，则该四棱锥的体积是_____ ___.

1

答案：96

7. （2011年高考理科7）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为

答案：

3

8. （2011年高考文科7）若一个圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为答案：3π

9. （2012年高考理科6）有一列正方体，棱长组成以1为公比的等比数列，体积分别记为V 1, V 2,..., V n ,... ，则lim(V 1+V 2+... +V n ) =n →∞

1

2

答案：

8 7

10. （2012年高考理科8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为

11. （2012年高考理科14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC =2，若AD =2c ，且

AB +BD =AC +CD =2a ，其中a , c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是

答案：

2

3

12. （2012年高考文科5）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为答案：6π

13. （2013年高考理科13）在xOy 平面上，将两个半圆弧(x -1) +y =1(x ≥1) 和(x -3) +y =1(x ≥3) 、两条直线y =1和y =-1围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为

2

2

2

2

Ω．过(0,y ) (|y |≤1) 作Ω

的水平截面，所得截面面积为48π．试利用祖暅原理、一个平放的圆

柱和一个长方体，得出Ω的体积值为_____ ____.

2

答案：2π+16π

14. （2013年高考文科10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为

2

πl

，则=

r 6

二、选择题

1. （2009年高考文科16）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 （ ）

3

4

4

(A)

答案：B

三、解答题

z

4

5

4

44O

4

3(B)

(C)(D)

1. （2009年高考理科19）如图，在直三棱柱ABC -A 'B 'C '中，AA '=BC =AB =2,

AB ⊥BC , 求二面角B '-A 'C -C '的大小

3

答案：如图，建立空间直角坐标系则 A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)， 设AC 的中点为M ，

BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴ BM ⊥平面AC 1C ，

即BM =(1,1,0)是平面AC 1C 的一个法向量。设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x , y , z )，

z =1， ∴n ⋅A 1B 1=-2x =0，∴n ⋅AC AC 1=(-2,2, -2)，A 1=-2x +2y -2z =0，1B 1=(-2,0,0)，

解得x =0, y =1。∴n =(0,1,1)， 设法向量n 与BM 的夹角为ϕ，二面角B 1-AC 的大小为θ，显然θ为锐角 1-C 1

c o s θ=

c o ϕ=

1π

=，解的θ=. 23n ⋅BM

n ⋅BM

∴二面角B 1-AC 1-C 的大小为. 1

3

2. （2010年高考理科21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）． （1）当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（精确到0.01平方米）；

（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型

霓虹灯A 1B 3, A 3B 5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

B 8

B 1

B 2

B 7

B 6 B 5

B 3

B 4

π

A 8

A 1 A 2

A 7

A 6

A 5

A 3 A 4

答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0

4

所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；

（2） 当r =0.3时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得A 1B 3=(-0.3,0.3,0.6) ，A 3B 5=(-0.3, -0.3,0.6) ，

设向量A 1B 3与A 3B 5的夹角为θ，则cos θ=

2=，

|A 1B 3|⋅|A 3B 5|3A 1B 3⋅A 3B 5

2

所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为arccos ．

3

3. （2010年高考文科20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．

（1） 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；

（2） 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑

骨架等因素）．

答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0

所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； （2） 当r =0.3时，l =0.6，作三视图略．

4. （2011年高考理科21）已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为AC 11与B 1D 1的交点. （1）设AB

1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A -B 1D 1-A 1的大小为β

求证：tan βα

； （2）若点C 到平面AB 1D 1的距离为

4

，求正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的高 3

5

答案：解：设正四棱柱的高为h

⑴ 连AO 1，AA 1⊥底面A 1B 1C 1D 1于A 1，∴ AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成的角为∠AB 1A 1，即∠AB 1A 1=α ∵ AB 1=AD 1，O 1为B 1D 1中点，∴AO 1⊥B 1D 1，又AO 11⊥B 1D 1， ∴ ∠AO 1A 1是二面角A -B 1D 1-A 1的平面角，即∠AO 1A 1=β ∴ tan α=

AA 1AA 1

=

h ，tan β===α.

AO A 1B 111

⑵ 建立如图空间直角坐标系，有A (0,0,h ), B 1(1,0,0), D 1(0,1,0), C (1,1, h

)

AB 1=(1,0, -h ), AD 1=(0,1, -h ), AC =(1,1,0) ，设平面AB 1D 1的一个法向量为n =(x , y , z ) ，

∵ ⎨

⎧⎪n ⊥AB 1

⎧⎪n ⋅AB 1=0

⇔⎨，取z =1得n =(h , h ,1)

⎪⎪⎩n ⊥AD 1⎩n ⋅AD 1=0

∴ 点C 到平面AB 1D

1的距离为d =

|n ⋅AC |4

==，则h =2 |n |3

5. （2011年高考文科20）已知ABCD -A 1BC 11D 1是底面边长为1的正四棱柱，高AA 1=2 （1）求异面直线BD 与AB 1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求四面体AB 1D 1C 的体积

6

答案：⑴ 连BD , AB 1, B 1D 1, AD 1，∵ B D //B =B 1D 1, A 1

， A 1D

B

D

∴ 异面直线BD 与AB 1所成角为∠AB 1D 1，记∠AB 1D 1=θ，

AB +B 1D -AD cos θ==

2AB 1⨯B 1D 110

∴ 异面直线BD 与AB

1所成角为212121

. B D 1

1

⑵ 连AC , CB 1, CD 1，则所求四面体的体积

12

V =V ABCD -A 1B 1C 1D 1-4⨯V C -B 1C 1D 1=2-4⨯=

33

6. （2012年高考理科19）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知AB =

2，AD =PA =2，求： （1）三角形PCD 的面积

（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小

.

答案：（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD . 因为PD=2+(22) =23，CD =2，

7

2

2

（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，

2, 1)，

y

则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0) ，E (1,

=(1, , 1) ，=(0, 22, 0) .

=

42⨯22

设与的夹角为θ，则cos θ==

22，θ=π. 4

由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是 4 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，

E

则EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线BC 与AE 所成的角

在∆AEF 中，由EF =2、AF =2、AE =2，知∆AEF 是等腰直角三角形， 所以∠AEF =π. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π

7. （2012年高考文科19）如图，在三棱锥P -ABC 中，

PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝

π

，2

AB =2，AC =PA =2，求：

（1）三棱锥P -ABC 的体积

（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）

8

答案：（1）S ∆ABC =1⨯2⨯3=23，三棱锥P -ABC 的体积为V =1S ⨯PA =1⨯23⨯2=23∆ABC 3

（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，

43

3

.

C

则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线BC 与AD 所成的角. 在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，cos ∠ADE = 因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是3. 4

8. （2013年高考理科19）如图，在长方体ABCD -A ' B ' C ' D ' 中，AB =2，AD =1，AA ' =1. 证明直线BC ' 平行于平面D ' AC ，并求直线BC ' 到平面D ' AC 的距离

222⨯2⨯2

，所以∠ADE =3. =344

答案：建立空间直角坐标系，可得的有关点的坐标为A (1,0,1)、B (1,2,1)、C (0,2,1) 、C '(0,2,0)、D '(0,0,0)．

设平面D ' AC 的法向量为n =(u , v , w ) ，则n ⊥D ' A ，n ⊥D ' C ． 因为D ' A =(1,0,1) ，D ' C =(0,2,1)，n ⋅D ' A =0，n ⋅D ' C =0， 所以⎨

⎧u +w =0

，解得u =2v ，w =-2v ．取v =1，

⎩2v +w =0

9

得平面D AC 的一个法向量n =(2,1, -2) ．因为BC ' =(-1,0, -1) ，所以n ⋅BC ' =0，所以n ⊥BC ' ． 又BC ' 不在平面D ' AC 内，所以直线BC ' 与平面D ' AC 平行．由CB =(1,0,0) ， 得点B 到平面D

' AC 的距离d =

'

n ⋅CB n

=

2=， 3

所以直线BC ' 到平面D ' AC 的距离为

2

3

9. （2013高考文科19）如图，正三棱锥

O -ABC 的底面边长为2，高为

1，求该三棱锥的体积及表面积

答案：由已知条件可知，正三棱锥O -ABC 的底面△ABC 是边长为2的正三角形，

经计算得底面△ABC

1=

13． 设O ' 是正三角形ABC 的中心．由正三棱锥的性质可知，OO ' 垂直于平面ABC ． 延长AO ' 交BC 于

D ，得AD =

O ' D =

．

又因为OO ' =1，所以正三棱锥的斜高

OD =

．

故侧面积为

1⨯6⨯= 23

，表面积为 10