2014合肥一中高三冲刺综合卷1

合肥一中2014届数学（理科）综合练习一

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合M =x -1

{}{}

{}

B. x -1

n -1

{}

C. x -1

{}

D. x -1

{}

⎛1+i ⎫

2. 设f (n )= ⎪

⎝1-i ⎭

A.2

⎛1-i ⎫+ ⎪⎝1+i ⎭

n +1

(n ∈Z )，则f (2014)=

C.2i

D. -2i

B. -2

3. 下列函数中既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的函数是 A. f (x )=tan 2x C. f (x )=

B. f (x )=-x +1 D. f (

x )=1-x

2-2x ) (2

2-x

2+x

4. 下列有关命题的说法正确的是

，则x =1”的否命题为：“若x =1，则x ≠1”； A. 命题“若x =1

B.“m =1”是“直线x -my =0和直线x +my =0互相垂直”的充要条件

C. 命题“∃x ∈R ，使得x +x +1

中VA =4, AC =，则该三棱锥的左视图的面积为 A.9

B.6

2

2

22

C.

6．“λ

( )

A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．若α∈( A ．

π

2

, π) ，且cos2α=sin(

π

4

-α) ，则sin 2α的值为 ( )

117117 B ．- C ． D ．- 18181818

k

*

8．设函数f (x ) =(x -1) cos x (k ∈N ) , 则(

)

A. 当k =2013时，f (x ) 在x =1处取得极小值 B. 当k =2013时，f (x ) 在x =1处取得极大值 C. 当k =2014时，f (x ) 在x =1处取得极小值 D. 当k =2014时，f (x ) 在x =1处取得极大值

x 2y 2

9．设双曲线F :2-2=1(a >0, b >0), F 1, F 2为双曲线F 的焦点．若双曲线F 存在点M ，

a b

满足

1

MF 1=MO =MF 2（O 为原点），则双曲线F 的离心率为 ( ) 2

A

B

C

D

1 10. 设min {f (x ), g (x ) }=⎨

⎧f (x ),(f (x ) ≤g (x ))

．若f (x ) =x 2+px +q 的图象经过两点

⎩g (x ),(f (x ) >g (x ))

(α,0),(β,0) ，且存在整数n ，使得n

B ．min {f (n ), f (n +1) }

C ．min {f (n ), f (n +1) }= D ．min {f (n ), f (n +1) }≥

4

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

A ．min {f (n ), f (n +1) }>

1 41 4

x 2-x -6

＞0的解集为_____________ ． 11． 不等式

x -1

12．航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为 (用数字作答) ． 13．阅读右面的程序框图，执行相应的程序，则输出k 的结果是_______

14．已知x , y , , z ∈R , 有下列不等式：

①x +y +z +3≥2(x +y +z ); ②

2

2

2

x +y

≥xy ; 2

③

④x +y +z ≥xy +yz +zx .

2

2

2

|x +y |≤|x -2|+|y +2|;

其中一定成立的不等式的序号是_____________________ ．

15． 已知⊙C 1：x 2+(y +2) 2=1，⊙C 2：(x +) 2+(y -1) 2=1；坐标平面内的点P 满足：存在过点P 的无穷多对夹角为60︒的直线l 1和l 2，它们分别与⊙C 1和⊙C 2相交，且

l 1被⊙C 1截得的弦长和l 2被⊙C 2截得的弦长相等．请你写出所有符合条件的点P 的坐标：

___________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12分) 已知函数f (x ) =

3sin(ωx ) -2sin 2

ωx

2

+m (ω>0) 的最小正周期为3π, 当x ∈[0, π]

时，函数f (x ) 的最小值为0. (Ⅰ) 求函数f (x ) 的表达式；

(Ⅱ) 在ABC 中，若f (C ) =1, 且2sin 2B =cos B +cos(A -C ), 求sin A 的值.

17、（本小题满分12分）

如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.

(Ⅰ) 求二面角M -AC -B 的的余弦值； （Ⅱ）求点C 到面MAB 的距离.

18、（本小题满分12分）

某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度. 现从调查人群中随机抽取16名, 以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎, 小数点后的一位数字为叶):

幸福度

7 3 0

8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 5

(1)指出这组数据的众数和中位数;

(2)若幸福度不低于9 , 则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人, 至多有1人是“极幸福”的概率;

(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据, 若从该社区(人数很多) 任选3人, 记ξ表示抽到“极幸福”的人数, 求ξ的分布列及数学期望.

19、（本小题满分12分）

容器A 内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B 内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A 内的盐水倒1升进入B 内，再将B 内的盐水倒1升进入A 内，称为一次操作；这样反复操作n 次，A , B 容器内的盐水的质量分数分别为a n , b n ，

（I ）问至少操作多少次，A , B 两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）

（Ⅱ）求a n 、b n 的表达式。

20、（本小题满分13分）

设直线l :y =k (x +1)(k ≠0) 与椭圆3x +y =a (a >0) 相交于A , B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.

2

2

2

3k 2

. ； （I ）证明：a >

3+k 2

2

（Ⅱ）若AC =2CB , 求∆OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程． 21、（本小题满分14分） 已知函数f (x )=ln x , g (x )=

12

ax +bx (a ≠0) 2

（I ）若a =-2时，函数h (x )=f (x )-g (x )在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数ϕ(x )=e

2x

+be x , x ∈[0,ln 2]，求函数ϕ(x )的最小值；

（III ）设函数f (x ) 的图象C 1与函数g (x ) 的图象C 2交于点P , Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1, C 2于点M , N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.

合肥一中2014届数学（理科）综合练习一参考答案

二、填空题

＜1，或＞x 3； 12．300 ； 13．4； 11． x -2＜x

14．①③④； 15． (, 1) ，(-2, -2) 三、解答题

{}

1-cos(ωx ) π

+m =2sin(ωx +) -1+m . „„2分

262π2

依题意函数f (x ) 的最小正周期为3π, 即=3π, 解得ω=.

ω3

2x π

所以f (x ) =2sin(+) -1+m . „„„„4分

36

π2x π5π12x π

当x ∈[0, π]时, ≤+≤, ≤sin(+) ≤1,

6366236

所以f (x ) 的最小值为m . 依题意, m =0.

2x π

所以f (x ) =2sin(+) -1. 6分

36

2C π2C π+) -1=1, ∴sin(+) =1. （Ⅱ）f (C ) =2sin(3636

16、【解】（Ⅰ）f (x ) =

sin(ωx ) -2⋅

而

π

6

2C π5π2C πππ

+

A +B =

分8) ,

在Rt ∆ABC 中,

π

2

, 2s 2i n B =

c B o +s A c -o C s (

∴2cos 2A -sin A -sin A =0, 解得sin

A =0

-1±212分

10分

17、【解】(Ⅰ) ∵PC ⊥AB , PC ⊥BC , AB BC =B ∴PC ⊥平面ABC ．

在平面ABC 内，过C 作CD ⊥CB ，建立空间直角坐标系C -xyz （如图） 1⎫，设P (0,0, z )(z >0)， 由题意有A -,0⎪00⎪

⎝2

⎭

⎫

则M (0,1, z 0), AM =-1, z 0⎪, CP =(0,0, z 0)

⎪2⎝⎭

由直线AM 与直线PC 所成的解为60，得AM ⋅CP =AM ⋅CP ⋅

cos 600， 即z 02=

z 0，解得z 0

=1

⎫

∴CM =(0,0,1), CA =-1,0⎪，设平面MAC 的一个法向量为n 1

=(x 1, y 1, z 1) ，

2⎪⎝⎭

⎧y 1+z 1=0

则

，取x 1=1，得n 1=1

y 1-z

1=02

3，) 平面ABC 的法向量取为

n 2=

(0,0,1)

设n 1与

n 2所成的角为θ，则cos θ=

n 1⋅n 2n 1⋅n 2

=

21． 7

显然，二面角M -AC -B 的平面角为锐角，故二面角M -AC -

B 的余弦值为

………………6分

（Ⅱ）M

(0,1,1)，A (-

13

-,0) ，B (0,2,0) ，∴AM =, ,1) ，MB =(0,1, -1) ．

2222

3

x 2+

y 2+z 2=0设平面

MAB 的一个法向量m =(x 2, y 2, z 2) ，则， 2

⎪y -z =0⎩22

取z 2=1，得

m =|CB ⋅m |-1, -1) ，则点C 到平面MAB 的距离d =． =

31|m |

………………12分

18、【解】(1)众数:8.6;中位数:8.75

(2)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件A , 则

312

C 12C 4C 12121

P (A ) =P (A 0) +P (A 1) =3+= 3

140C 16C 16

(3)ξ的可能取值为0、1、2、3

327271132

; P (ξ=1) =C 3 P (ξ=0) =() 3=() =

4644464

13911

; P (ξ=3) =() 3= P (ξ=2) =C 32() 2=

4464464

分布列为

E ξ=0⨯

272791+1⨯+2⨯+3⨯=0.75 64646464

11121219

(+4⨯) =, a 1=(+5⨯) =；„„„ 2分 [1**********]0

19、【解】（1） b 1=

b n +1=

a n +4b n 26a n +4b n 1

, a n +1=(5a n +b n +1) =；„„„„„„„ 4分 5630

22

(a n -b n ), ∴{a n -b n }是q =的等比数列， 3312111

∴a n -b n =⨯() n -1log 2=≈5. 7，

10310010lg 3-lg 23∴a n +1-b n +1=

∴n ≥7，故至少操作7次； „„„„„„„ 7分

（2） b n +1=

11232

[b n +⨯() n -1+4b n ],∴b n +1-b n =⨯() n „„ 9分 51031003

∴b n =b 1+(b 2-b 1) +(b 3-b 2) + +(b n -b n -1)

23222927=+⨯[+() 2++() n -1]=-⨯() n +, „„„„ 11分 [1**********]350

12127

⨯() n -1=⨯() n -1+. „„„„„„„ 12分 10325350

1

20、【解】（1）证明：由 y =k (x +1) 得x =y -1.

k

1222

将x =y -1代入3x +y =a 消去x 得

k 3622

(2+1) y -y +3-a =0. ① „„„„„„„„„„ 3分

k k

而a n =b n +

由直线l 与椭圆相交于两个不同的点得

363

∆=2-4(2+1)(3-a 2) >0,

k k

3k 2322

. „„„5分 整理得(2+1) a >3，即a >

k 3+k 2

6k

3+k 2

（2）解：设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2). 由①，得y 1+y 2=

∵AC =2CB , 而点C (-1,0) , ∴(-1-x 1, -y 1) =2(x 2+1, y 2) 得y 1=-2y 2代入上式，得y 2=

-6k

. „„„„„8分 2

3+k

于是，△OAB 的面积

S =

139|k ||OC |⋅

|y 1-y 2|=|y 2|=≤=--------10分 2223+k 其中，上式取等号的条件是k 2=

3, 即k = „„„„„„„„11分 由y 2=

-6k

. 可得y 2=

3+

k 2

将k =y 2=

k =y 2=a 2=15.

∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是3x 2+y 2=15. --------------13分

21、【解】（I ）依题意：h (x ) =ln x +x 2-bx .

h (x ) 在（0,+∞）上是增函数，

∴h '(x ) =

1

+2x -b ≥0对x ∈（0,+∞）恒成立，

…………2分

x

∴b ≤

1

x

+2x . 1

x >0, 则

x

+2x ≥∴b 的取值范围为-∞, 2.

（II ）设t =e , 则函数化为y =t +bt , t ∈[1, 2].

x

2

(]

…………4分

b 2b 2

y =(t +) -.

24 b

∴当-≤1, 即-2≤b ≤22时，函数y 在[1, 2]上为增函数,

2

当t=1时，y m I n=b+1；

…………6分

b b b 2

当1

224 b

当-≥2, 即b ≤-4时，函数y 在[1, 2]上是减函数,

2

当t=2时，y m I n=4+2b

…………8分

综上所述, 当-2≤b ≤22时, ϕ(x ) 的最小值为b +1. b 2

当-4

4

当b ≤-4时, ϕ(x ) 的最小值为4+2b .

（III ）设点P 、Q 的坐标是(x 1, y 1), (x 2, y 2), 且0

则点M 、N 的横坐标为x =

x 1+x 2

2

. C 1在点M 处的切线斜率为k 1=

1x |2x =x 1+x 2=+x . 2x 12

C 2在点N 处的切线斜率为k 2)

2=ax +b |

a (x 1+x x =

x 1+x 2=2

2

+b . 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1=k 2. 即

2

a (x 1+x +x =x 2) +b .

122

2(x x 22则2-1) a (x 2-x 1x +x =) +b (x 2-x 1)

122

=(a 2x 2-(a

2+bx 2) 2x 21+bx 1) =y 2-y 1=ln x 2-ln x 1=ln

x 2

x , 1

2(

x 2

∴ln x -1)

22(x 2-x 1) x x =x =1

.

11+x 2

1+x 2

x 1

设u =

x 2x >1, 则ln u =2(u -1) , u >1, ……………… ① 11+u

…………8分

…………9分

分

…………11分

……………10

令r (u ) =ln u -

2(u -1)

1+u , u >1. r '(u ) =1u -4(u +1) 2=(u -1) 2

则u (u +1) 2

.

u >1, ∴r '(u ) >0. 所以r (u ) 在[1, +∞)上单调递增, 故r (u ) >r (1) =0, 则ln u >

2(u -1)

u +1

. 这与①矛盾，假设不成立.

故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 分…………14