高中物理实用微积分
高中物理实用微积分
问题：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 分析：自由落体的运动公式是s=
12
gt（其中g是重力加速度），当时间增量∆t很小时，2
从3秒到（3＋∆t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。 从3秒到（3＋∆t）秒这段时间内位移的增量：
∆s=s(3+∆t)-s(3)=4.9(3+∆t)2-4.9⨯32=29.4∆t+4.9(∆t)2
从而=
∆s
=29.4+4.9∆t. ∆t
∆s∆s
越接近29.4米/秒；当∆t无限趋近于0时，无限趋近
∆t∆t
∆s
于29.4米/秒，此时我们说，当∆t趋向于0时，的极限是29.4.
∆t
∆s
当∆t趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.
∆t
从上式可以看出，∆t越小，
1、极限
极限的严格定义比较繁琐，此处从略。通俗来说，如果当自变量x无限趋近某一数值
x0（记作x→x0）时，函数f(x)的值无限趋近某一确定的数值A，则A叫做x→x0
时函数
f(x)=A f(x)的极限值，记作limx→x
1n
例如：lim=∞；limx，x≥1时趋于无穷，0
n→∞x->0 x
函数求极限，可把函数化成几部分的初等运算，先求每一部分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。 练习：lim
Sin(x)2+x
limsinx limcosx lim lim1-cosx
x->03+4xx->0x->0x->0x->0xx2
2、导数
2.1.某点的导数：
1
对于函数y=f(x)，在点x0附近，当x发生变化△x时，函数值有变化量△y=△f(x0)，定义△y/△x在△x→0时的值称为f(x)在x0处的导数，记为：
f'(x0)=lim∆x→0
2
f(x0+∆x)-f(x0)∆ydy
=lim=|x=x
∆x→0
∆x∆xdx
2
例：f(x)=x 在x=3处的导数
x=3时，f(x)=9，当x=3+△x 时，f(3+△x)=( 3+△x)，则△f(x)= (3+△x)-9 故
2
(3+∆x)2-32（∆x）+6∆x
f'(3)=lim=lim=lim∆x+6=6
∆x→0∆x→0∆x→0
∆x∆x
2
2.2.导函数：
函数f(x)在其定义域内每一点的导数构成一个新的函数，这个函数称为f(x)的导函数，记为：y'=f'(x)=
dy
dx
2
2
2
2
例如我们研究函数f(x)=x在其定义域内的任意一个点x： 当x有变化△x时，△f(x)=(x+△x)-x=2x△x+(△x)
(x+∆x)2-x22x∆x+(∆x)2
由导数的定义：f'(x)=lim=lim=lim2x+∆x=2x
∆x→0∆x→0∆x→0∆x∆x
即f(x)=x 在任意一个点x处的导数的值为2x,这个新的函数2x即称为原函数f(x)=x的导函数，记为
2
2
f'(x)=2x
常见函数的导数：(A为与x无关的定值)
A'=0 (Af(x))'=Af'(x)
(xn)'=nxn-1
(sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx
(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x) (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
思考：(
f(x)
)'=? [f(g(x))]'=? g(x)
2x+cosx1
, tanx, sinx2, sin2x, sin2x2,
sinxcosx
2
练习：求导函数： 2x2+x3 ,
2.3.导数的意义：
2.3.1斜率：函数f(x)在x0处的导数即为f(x)的图像在x0处的切线的斜率 2.3.2变化率：y'=
f'(x)=
dy∆y
即y对x的变化率。 =lim∆x→0
dx∆x
dvdx
速度v的变化率即为加速度：a=
dtdt
d(mv)dpdQ
电流： ==I=
dtdtdt
=dEk
dx
位移x的变化率即为速度：v=
动量p=mv的变化率即为合力：F
动能Ek对合力方向上位移x的变化率即为合力：F
电势ϕ对电场方向距离x的变化率即为场强：E=
dϕdx
例 ：已知简谐运动的函数S=Asinωt，试分析其速度、加速度函数，并推导出简谐运动的周期公式
2.3.3利用导数判断函数单调性和极值
判断单调性：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y'>0，那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y'
确定极大值与极小值：f'(x0)=0是函数
f(x)在x0处取极值的必要不充分条件。那么
在f'(x0)=0的前提下，x0在什么情况下是函数的极值点呢？
如左图（下页）所示，若x0是f(x)的极大值点，因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f'(x)>0。x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f'(x)
x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f'(x)
f(x)只能是增函数，即f'(x)>0，从而我们得出结论：若x0满足f'(x0)=0，且在x0的
3
两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f'(x)在x0两侧满足f'(0)
3.积分
3.1原函数
当物体沿Ox 坐标轴运动时，已知物体的位置坐标函数x=
x(t)，可通过计算该函
数对时间的导数求出物体运动的速度。现提出一个相反的命题：若已知速度函数v=v(t)，怎样求该物体运动的坐标函数。换句话说，已知某函数的导数，如何求这个函数？
若F'(x)=
则称F(x)为f(x)，
x2x2
例如('=x，则f(x)的一个原函数。
22
为x
1212
'的一个原函数；(v0t+at)=v0+at，则v0t+at是v0+at的一个原函数；
22
(sinx)'=cosx，故sinx为cosx的一个原函数。可见，积分是求导的逆过程。
由于常数C的导数为0，故F(x)+C也是
f(x)的原函数。由此可见，只要f(x)有一
个原函数，它就有无穷多个原函数，彼此间只差一常数。 3.2 不定积分 函数
f(x)的所有原函数叫作f(x)的不定积分，记作⎰f(x)dx=F(x)+C，C
2
的值由初始条件确定。
例：某质点在一直线上运动，速度变化规律为v=3t+5，t=0时s=3,试求质点的第3秒末的加速度及位移。
4
解：由a(t)=
∆v
=v'=6t => a(t)|t=3=18 ∆t
23
s(t)=（3t+5)dt=5t+t+C⎰
由s(t)|t=0=3 => c=3 => s=t3+5t+3 s(t)|t=3=45 3.3定积分
问题：已知v=3+2t，求t1
=2s至t2=5s内的位移。
分析：若能求出位置坐标函数
x=x(t)，则位移∆x=x(t2)-x(t1)。x=x(t)即
v=3+2t的原函数。
解：x=（3+2t)dt
⎰
=3t+t2+C，故∆x=x(5)-x(2)=30m。
3.3.1 定积分：对函数
f(x) 只在某一闭区间[a，b]内积分，记作
⎰
b
a
，其中F(x)是f(x)的原函数。 f(x)dx=F(x)ba=F(b)-F(a)
3.3.2 定积分的几何意义：函数f(x)的定积分对应的是f(x)的图像的面积 由于
dF(x)
=f(x)，即dF(x)=f(x)dx，在图像中，dF(x)=f(x)dx的意义即为底dx
为dx、高为
f(x)的一小块面积，故定积分⎰af(x)dx表示由直线x=a,x=b，y=0和
b
曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。 3.4 常用积分
⎰Adx=Ax+c
n+1xn
⎰xdx=n+1+c(n≠-1)
1
⎰x=lnx+c ⎰sinxdx=-cosx+c ⎰cosxdx=sinx+c
3.5 解物理题时的用法：
①．列出微分方程 ②．两边同时积分
③．应用初值条件或是边界条件定解（或确定c值） 例：求sin
axdx
5
⎰
例：一根质量为m、长为L、质量分布均匀的直棒绕其中心轴转动，角速度为ω，求它的动能
例：求一个绕中心匀速转动的圆盘的动能。（圆盘质量分布均匀，质量为m，半径为R，角速度为ω） 换元积分法 例：求
⎰
a2-x2dx(a>0)
解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint(-π/2
a2-x2=acost，dx=acostdt,于是有：
2
⎰
tsin2ta2x1a-xdx=⎰acost⋅acostdt=a(+)+C=arcsin+xa2-x2+C
242a2
2
2
22
例：求sinxdx sinaxdx
⎰⎰⎰
x2y2
-xdx求椭圆2+2=1的面积
ab
2
初级微积分练习 求下列函数的极值
y=x3-27x y=3x2-x3 y=x3+3x2-1 y=6+12x-x3
求下列不定积分
⎰(x
3
-3x+1)dx
⎰(sinx-cosx)dx
2
cosxdx ⎰
⎰sin(ax+b)dx
2
sinxcosxdx ⎰⎰
lnx
x
dx
π/2
求下列定积分
⎰
π
2eπ/4
sinxdx ⎰x-1)dx
1
⎰
1
x
dx
π/6
⎰cos2xdx
2
(3x+sinx)dx⎰0
用电阻率为ρ（常量）的金属制成一根长度为L、底面半径分别为a和b的锥台形导体。
（1）求它的电阻；
（2）试证当a=b时，答案简化为面积）.
6
ρL
S
（其中S为柱体的横截