弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨
第２６卷第５期
Ｖ０１．２６Ｎｏ．５
周口师范学院学报
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
２００９年９月
Ｓｅｐ．２００９
弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨
周俊敏，王玉梅
（周口师范学院物理系，河南周口４６６００１）
摘要：从能量的观点出发，分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解微分方程，得出结论．这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值．
关键词：弹簧振子；振动周期；机械能守恒；运动方程中图分类号：０３２６
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７１—９４７６（２００９）０５—００５８—０３
弹簧振子在生产实践中有着十分广泛的应用，而振动的周期是描述振动系统运动的一个非常重要的基本物理量，因此探讨弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响就显得十分必要．在实验教学中笔者发现，大部分实验教材直接给出弹簧振子的振动周
ｒ‘‘—？———＝７
的正方向，建立坐标系如图１（ｂ）所示．设质点的位置坐标为Ｘ，引即为质点相对于坐标原点的位移．
取物体为研究对象，作用在物体上的力有两个：重力大小为ｍｇ，方向竖直向下；弹簧对物体的拉力Ｆ＝一ｋ（ｘ＋ｚ。），方向竖直向上．由此可知物体的合力Ｆ台一一点（ｚ＋Ｘ。）＋ｍｇ＝一妇．由简谐
图１
期公式为Ｔ一２，ｒ＾／ｍ＋ｃＭ，学生通过实验测出ｆ
Ｖ
Ｋ
值的范围为０．３２～０．３４，但未从理论上分析ｃ值在这一范围的原因［１－３］．另外，教材中分析弹簧振子振动周期时，大都从力的观点［４＿５１出发得出运动方程．笔者从能量的观点出发，分别讨论弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解运动方程得出弹簧振子的振动周期以及
１
振动的定义“质点在线性
回复力的作用下，围绕平衡位置的运动是简谐振动”可知，竖直放置的弹簧振子将作简谐振动．对于作简谐振动的振子来说，只有保守力作功，可以用机械能守恒定律来求运动方程．
选取平衡位置为重力势能零点，振动物体重力势能为Ｅ，＝一ｍｇｘ，弹簧的弹性势能为Ｅ如＝
弹簧质量对振动周期的修正系数ｃ＝÷，从理论上
Ｏ
证明了学生的实验结果在误差范围内是正确的．
１
１．１
忽略弹簧质量时弹簧振子的振动周期
弹簧与地面垂直
弹簧的原长为Ｌ０，劲度系数为ｋ，上端固定，下
－｝ｋ（ｘ＋ｚ。）２，振动物体动能为Ｅ，＝告，聊２，由机
械能守恒定律可得
端悬挂一质量为优的物体，在平衡位置时弹簧长度为Ｌ，平衡时弹簧的拉伸量为ｚ。，如图１（ａ）所示，此时由于受力平衡，则一妇。＋ｍｇ＝０，即如。＝ｍｇ．将振动物体自平衡位置Ｏ向下移动一小位移至
０
Ｅ＝告脚２一ｍｇｘ＋寺是（ｚ＋ｚ１）２＝Ｃ１．
考虑到ｋｘ。一ｍｇ，则
７（如图１（ｂ）所示），然后释放，物体将以０点为中
心作往复运动．忽略各种阻力的影响，把物体视为质点，以平衡位置Ｏ为坐标原点，设竖直向下为ｚ
丢舢２＋昙妇２＋百１肛２１：Ｃ１．
对振动系统来说妻如；为常量，则
收稿日期：２００９一０３—１２；修回日期：２００９一０７—２５
基金项目：周口师范学院青年科研基金资助项目（Ｎｏ．ＺＫＮＵＱＮ２００８３２）
作者简介：周俊敏（１９６５一），女，河南太康人，讲师，主要从事基础物理教学与研究．
万方数据
第２６卷第５期周俊敏，等：弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨
５９
专栅２＋丢ｂ２＝ｃｚ．
两边同时对￡求－９，考虑到口＝Ｉｄｘ，整理得ｎ￡
磐＋岛：０．’出２。ｍ“
‘
取∥＝生，得此微分方程的解为
ｚ亨Ａｃｏｓ（ｃｃ｜ｔ＋庐）．
若用Ｔ表示完成一次全振动所用时间，则
ｒ＝警＝２耳√詈．
叫
、『宠
１．２
弹簧与地面平行
与竖直情况作类似分析，得Ｆ台＝一如，弹簧弹
性势能为Ｅ，，＝专缸２，振动物体动能为Ｅｋ，＝
妻脚２．对振动系统，由机械能守恒定律可得
Ｅ＝丢脚２＋ｉ１妇２＝Ｃｓ．
两边同时对￡求导，考虑到口＝譬，整理得
ａｆ
磐＋匕：ｏ．“
ｄｔ２’仇“
取∥：鱼，得此微分方程的解为
ｚ—Ａｃｏｓ（ａ＊＋乒）．
若用Ｔ表示完成一次全振动所用时间，则
丁一等＝２丌√詈．
∞
’、『定
２
考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期
２．１
弹簧与地面垂直
设弹簧质量为Ｍ，劲度系数为忌，振动物体质
量为优，在平衡位置时弹簧长度为Ｌ，平衡时弹簧的拉伸量为ｚ：．此时，由于受力平衡，则一ｋ２＋ｒａｇ
＋Ｍｇ一０，则妇２＝ｍｇ＋Ｍｇ．假定弹簧各截面的位移按线性规律变化，从弹簧的固定点Ｐ向下取一点ｙ（取尸ｙ＝ｙ，Ｙ≤Ｌ＋ｚ），并在
此处截取一小位移元ｄｙ，则警＝
１万。——ｘ’即ｙ辨：生，即ｄ：Ｌ＋
２
Ｙ
ｏＬ，如图２所示．
振动物体重力势能为
图２
Ｅ＾＝一ｍｇｘ；
万方数据
振动物体动能为
Ｅ。＝ｉ１
ｍＩ面＆ｃ）２．
令Ａ＝ｆ笔，ｙ到ｙ＋ｄｙ处的动能为
慨：＝虿１叫ｗ＼面ｄｙ）２＝虿１№（煮害）２，
整个弹簧的动能为
Ｅ。＝ｒ；ｔｄｙ（南ｄ－一７）一
ｒ面ｂ（警）２ｙ２ｄｙ＝
——ｌ面Ｊ—』生一（警）２＿Ｌ－ｌ－ｘ２（Ｌ－＋－ｘ）。
Ｊ０
ｙＺ‘ｄｙ一警（害）２．一百（面）‘因弹簧质心下移虿１ｚ，则弹簧的重力势能为
Ｅ：一一号Ｍｇｚ，弹簧的弹性势能为
％一丢志（ｚ＋ｚ：）２．
将振动系统和地球作为一个整体且不考虑各种阻力影响，由机械能守恒定律得
ｉ１
ｍＩ面ｄｘ）２一嘲ｚ＋百ＭＩ面ｄｚ）２一
Ｍｇｚ＋
丢志（ｚ＋列２
Ｃ４．
对上式整理并对ｔ求导，得
鲁＋∥ｚ：ｇ，可十旷ｚ
２
ｇ’
’
一Ｍ
其中∥＝—÷丽，ｑ＝一—÷砑ｇ．
１Ｈ’百
１Ｈｔ百
这一微分方程的解为
ｚ＝Ａｃｏｓ（研＋≯）＋．暑，
其中叫一，、ｆｍ
ｋ
Ｍ一
由此得Ｔ：塾：２，ｃ∞
２．２
弹簧与地面平行
与垂直情况作类似分析，振动物体动能为Ｂ，＝虿１
ｍＩ面ｃｌｘ）２，弹簧的动能为Ｂ：＝Ｍ百Ｉ面ｄｚ）２，弹簧
弹性势能为Ｅ。＝丢如２，不考虑各种阻力的影响，
由机械能守恒定律得
．
虿１烈五ｄ：ｃ）２＋Ｍ６＼［ｄｄｘ￡，＼２＋虿１妇ｚ＝ｃ。．
６０
周口师范学院学报
２００９年９月
两边同时求导，整理得
警ｗｚ＝ｏ，
其中∥＝—ｋ孺．
优十了这一微分方程的解为
ｚ＝Ａｃｏｓ（ａｔ＋≯），
即Ｔ＝２７ｒ
，从而能从理论上解释Ｃ的实验
值在０．３２～０．３４这一范围之内．
３）当弹簧质量远小于振动物体质量时，弹簧质量可忽略不计，则振动周期Ｔ＝２７ｒ参考文献：
［１］林抒，龚振雄．普通物理实验［Ｍ］．北京：高等教育出版
社，１９８８：１１９—１２６．
层
其中ｃｃ，＝
由此得Ｔ：堑：２丌
ｔＯ
犀
Ｉ－２］陈群宇，姚列明，霍中生，等．大学物理实验［Ｍ］．北京：
电子工业出版社，２００８：２９１—２９２．
Ｉ－３］扬述武，马葭生，贾玉民，等．普通物理实验：第１册
［Ｍ３．北京：高等教育出版社，２０００：１４３—１４７．
［４］吴百诗．大学物理［Ｍ］．西安：西安交通大学出版社，
１９９４．２４４—２４５．
３
结论
通过前面的理论分析，可以得出如下结论：Ｉ）弹簧振动系统无论是垂直或平行地面放置，
［５］ＳＥＡＲＳ
Ｆ
Ｗ．大学物理［Ｍ］．郭泰运，译．北京：人民教
育出版社，１９９７．
其振动都是简谐振动，且具有相同的振动周期．
２）弹簧质量对振动周期的修正系数为ｆ＝÷，
Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｓｐｒｉｎｇｍａｓｓａｎｄｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ
ＺＨＯＵＪｕｒｌ—ｍｉｎＷＡＮＧＹｕ—ｍｅｉ
（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｋｏｕ４６６００１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｒｏｍｔｈｅｖｉｅｗｏｆｔｈｅｅｎｅｒｇｙ，ｉｔｗａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄｔｈａｔｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｍｏｔｉｏｎｗｈｅｎｉｔｉｓｎｏｒｍａｌａｎｄｐａｒａｌｌｅｌｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｉｔ
ｃａｎ
ｃｏｍｐｌｉｅｄｂｙｔｈｅｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ
ｔｏ
ｔｈｅｇｒｏｕｎｄ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙａｎｄｏｂｔａｉｎｅｄｓｅｖｅｒａｌｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓｆｒｏｍｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｔｈｅｄｉｆ—
ｔｏ
ｂｅｈｅｌｐｅｄｉｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓａｎｄｐｒｏｄｕｃｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｐｒｉｎｇｍａｓｓ；ｓｐｒｉｎｇｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ；ｖｉｂｒａｔｉｏｎｃｙｃｌｅ；ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｏｎｏｆｍｅｃｈａｎｉｃａｌｅｎｅｒｇｙ；ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｍｏｔｉｏｎ
（上接第５７页）
ＴｈｅｌｏａｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅＡＣＳｓｅｒｉｅｓＡＣｓｗｉｔｃｈｅｓａｎｄｔｈｅｉｒａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ＺＨＯＵＺｉ—ａｎ９１，ＸＵ
Ｋｕｎｌ，ＷＡＮＧ
Ｆｕ—ｙｕａｎ２
（１．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｏｕｋｏｕ４６６００１，Ｃｈｉｎａ；
２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＺｈｅｎｇｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ４５００５２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＴｈｉｓｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＡＣＳｗｈｉｌｅｔｈｅｙ
ａｒｅ
ｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ｗｉｔｈｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ＳＯ
ｌｏａｄ，ｓａｙｒｅｓｉｓｔａｎｃｅａｎｄｉｎｄｕｃｔａｎｃｅ，ｔｈｅｃｈｏｉｃｅｏｆｍａｘｉｍｕｍｓｗｉｔｃｈｉｎｇｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｒｉｓｉｎｇｏｆｔｈｅｄｉｅａｎｄ
ｏｎ
ｔｏｂｅａｔｔｅｎｔｉｏｎ
ｔｏ
ｔｏ
ｔｈｅｉｓｓｕｅｏｆｈａｖｉｎｇ
ｔｏ
ｂｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｂｙ
ｔｈｅｄｅｓｉｇｎｅｒｓ．Ｔｈｅｐｕｒｐｏｓｅｉｓ
ｔｏ
ｅｎａｂｌｅｄｅｓｉｇｎｅｒｓ
ｔｏｍａｋｅｔｈｅ
ｒｉｇｈｔｄｅｓｉｇｎ
ｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＣａｓｅ－ｓｐｅｃｉｆｉｃ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＡＣＳｓｅｒｉｅｓＡＣｓｗｉｔｃｈｅｓ；ｌｏａｄｐｒｏｐｅｒｔｙ；ｍａｘｉｍｕｍｓｗｉｔｃｈｉｎｇｆｒｅｑｕｅｎｃｙ
万方数据
弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：引用次数：
周俊敏， 王玉梅， ZHOU Jun-min， WANG Yu-mei周口师范学院,物理系,河南,周口,466001周口师范学院学报
JOURNAL OF ZHOUKOU NORMAL UNIVERSITY2009，26(5)0次
参考文献(5条)
1. 林抒. 龚振雄 普通物理实验 1988
2. 陈群宇. 姚列明. 霍中生 大学物理实验 20083. 杨述武. 马葭生. 贾玉民 普通物理实验 20004. 吴百诗 大学物理 1994
5. SEARS F W. 郭泰运 大学物理 1997
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本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zksfgdzkxxxb200905022.aspx
下载时间：2010年5月30日