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一个问题的多角度分析

04-27

一道求参数问题的多角度分析（2011.10.28晚）

李守峰 ( 山东临沂沂州实验学校 )

在不等式的综合运用中，有时常常求关于定区间上的参数取值范围问题，这类问题综合性较强、技巧性更强，如果没有一定的综合运用知识的能力，往往对问题感到无从下手，即使能够解决，也往往是只会教师讲过的方法，而对问题的发散思维，多方位思考尚有一定差距，本文就一道比较常见的问题，进行一下解法的探究及问题的分析，以期达到对这类问题能有整体思考上的一点较为深刻的认识。

问题：已知函数f(x)x2ax3，当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.

分析1：若参数与变量可分离型，这时原问题可转化为建立g()与f(x)不等式。

不妨设g()f(x)，则g()[f(x)]max根据x的取值范围，求出关于参数的不等式，然后接这个不等式即可。

解法1 由f(x)a得 x2a(x1)30

（1） 当x1，有12a030恒成立，故aR；

（2）当x(1,2]时，

由x2a(x1)30得

x23(x1)22(x1)44a[(x1)2] x1x1x1

这就转化为上式在x(1,2]的恒成立问题

当x(1,2]时，x1(0,1]

所以

a{[(x1)442]}max[(x1)2]min7 x1x1

（3）当x[2,1)时，x1[3,0)

由x2a(x1)30得

x23(1x)22(1x)44a(1x)2 1xx11x

这就转化为上式在x[2,1)的恒成立问题

当x[2,1)时，1x(0,3] 4min22 1x

综上所述：所求a的取值范围是7a2。

所以a{(1x)

分析2：如恒成立问题可转化为关于x的含参数的二次不等式问题，则可以用定区间上的最值问题求得参数的范围。

解法2：由题意可知关于x的不等式x2a(x1)30在2,2上恒成立。

即：关于x的不等式xax3a0在2,2上恒成立 2

a24(3a)a24a12(a2)(a6)

（1）若(a2a)(，6即6a2时，

f(x)2x上恒成立 a3x在R0a

当然在2,2上也成立；

（2）当(a2)(a6)0，即a6或a2时

要使xax3a0在2,2上恒成立 2

a2则有 ① 2 或 ②

f(2)0

由①得a2 2f(2)0a4a4 即7a4 由②得 无解 a7073a0

由a2或a6及7a4得7a6；

综上所述：所求a的取值范围是7a2。

分析3：若原不等式可转化为比较定区间上的两个函数值大小问题，且一个函数不含参数，另一个函数含参数的简易函数，这时通过数形结合亦可求出参数的范围。

解法3 由已知可知x23a(x1)在x2,2时恒成立

先求x23a(1x)，

即直线与抛物线相切的情况

x2ax3a0 令(a2)(a6)0

则a12，a26 当a2时，x1x21；当a6时，x1x23

令f(x)x3，g(x)a(x1)由上述图象可以看出：

2①当0g(1)f(1)时有x3a(x1)在R上恒成立；

2②当0g(2)f(2)时有x3a(x1)在[0,2]上恒成立。 2

由①0g(1)f(1)得：0a2，由②0g(2)f(2)得：7a

综上所述7a2

解法4 如右图直线MN：gMN(x)2x2 易知B(2,2) A(2,7) ,有图象可知当p在线段AB上时，

有f(x)g(x)，在x2,2上恒成立 即：2g(2)7 2a7 所以7a2


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