[周髀算经]
周髀算经
夫高而大者,莫大於天;厚而廣者,莫廣於地。體恢洪而廓落,形脩廣而幽清,可以玄象課其進退,然而宏遠不可指掌也。可以晷儀驗其長短,然其巨闊不可度量也。雖窮神知化不能極其妙,探索隱不能盡其微,是以詭異之說出,則兩端之理生,遂有渾天、蓋天,兼而並之。故能彌綸天地之道,有以見天地之,則渾天有靈憲之文,蓋天有周髀之法,累代存之,官司是掌,所以欽若昊天,恭授民時。爽以暗蔽,才學淺昧,隣高山之仰止,慕景行之軌轍,負薪餘日,聊觀《周髀》。其旨約而遠,其言曲而中,將恐廢替,濡滯不通,使談天者無所取則,輒依經為圖,誠冀頹毀重仞之墻,披露堂室之奧,庶博物君子,時逈思焉。
卷上
昔者周公問於商高曰:“竊聞乎大夫善數也,請問古者包犧立周天曆度。夫天不可階而升,地不可得尺寸而度。請問數安從出?”
商高曰:“數之法,出於圓方。圓出於方,方出於矩。矩出於九九八十一。故折矩,以為句廣三,股脩四,徑隅五。既方之外,半其一矩。環而共盤,得成三、
四、五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者,此數之所生也。”
句股圓方圖:
周公曰:“大哉言數!請問用矩之道?”
商高曰:“平矩以正繩,偃矩以望高,覆矩以測深,臥矩以知遠,環矩以為圓,合矩以為方。方屬地,圓屬天,天圓地方。方數為典,以方出圓。笠以寫天。天青黑,地黃赤。天數之為笠也,青黑為表,丹黃為裏,以象天地之位。是故知地者智,知天者聖。智出於句,句出於矩。夫矩之於數,其裁制萬物,唯所為耳。”周公曰:“善哉!”
昔者榮方問於陳子,曰:“今者竊聞夫子之道。知日之高大,光之所照,一日所行,遠近之數,人所望見,四極之窮,列星之宿,天地之廣袤,夫子之道皆能知之。其信有之乎?”陳子曰:“然。”榮方曰:“方雖不省,願夫子幸而說之。今若方者可教此道邪?”陳子曰:“然。此皆算術之所及。子之於算,足以知此矣。若誠累思之。”
於是榮方歸而思之,數日不能得。復見陳子曰:“方思之不能得,敢請問之。”陳子曰:“思之未熟。此亦望遠起高之術,而子不能得,則子之於數,未能通類。是智有所不及,而神有所窮。夫道術,言約而用愽者,智類之明。問一類而以萬事達者,謂之知道。今子所學,算數之術,是用智矣,而尚有所難,是子之智類單。夫道術所以難通者,既學矣,患其不博。既博矣,患其不習。既習矣,患其不能知。故同術相學,同事相觀。此列士之愚智,賢不肖之所分。是故能類以合類,此賢者業精習智之質也。夫學同業而不能入神者,此不肖無智而業不能精習。是故算不能精習,吾豈以道隱子哉?固復熟思之。”
榮方復歸,思之,數日不能得。復見陳子曰:“方思之以精熟矣。智有所不及,而神有所窮,知不能得。願終請說之。”陳子曰:“復坐,吾語汝。”於是榮方復坐而請。陳子說之曰:“夏至南萬六千里,冬至南十三萬五千里,日中立竿測影。此一者天道之數。周髀長八尺,夏至之日晷一尺六寸。髀者,股也。正晷者,句也。正南千里,句一尺五寸。正北千里,句一尺七寸。日益表南,晷日益長。候句六尺,即取竹,空徑一寸,長八尺,捕影而視之,空正掩日,而日應空之孔。由此觀之,率八十寸而得徑一寸。故以句為首,以髀為股。從髀至日下六萬里,而髀無影。從此以上至日,則八萬里。若求邪至日者,以日下為句,日高為股。句、股各自乘,并而開方除之,得邪至日,從髀所旁至日所十萬里。以率率之,八十里得徑一里。十萬里得徑千二百五十里。故曰,日晷徑千二百五十里。”
法曰:“周髀長八尺,句之損益寸千里。故曰:極者,天廣袤也。今立表高八尺以望極,其句一丈三寸。由此觀之,則從周北十萬三千里而至極下。”榮方曰:“周髀者何?
陳子曰:“古時天子治周,此數望之從周,故曰周髀。髀者,表也。日夏至南萬六千里,日冬至南十三萬五千里,日中無影。以此觀之,從南至夏至之日中十一萬九千里。北至其夜半亦然。凡徑二十三萬八千里。此夏至日道之徑也,其周七十一萬四千里。從夏至之日中,至冬至之日中十一萬九千里。北至極下亦然。則從極南至冬至之日中二十三萬八千里。從極北至其夜半亦然。凡徑四十七萬六千里。此冬至日道徑也,其周百四十二萬八千里。從春秋分之日中北至極下十七萬八千五百里。從極下北至其夜半亦然。凡徑三十五萬七千里,周一百七萬一千里。故曰:月之道常緣宿,日道亦與宿正。南至夏至之日中,北至冬至之夜半,南至冬至之日中,北至夏至之夜半,亦徑三十五萬七千里,周一百七萬一千里。
“春分之日夜分以至秋分之日夜分,極下常有日光。秋分之日夜分以至春分之日夜分,極下常無日光。故春秋分之日夜分之時,日所照適至極,陰陽之分等也。冬至、夏至者,日道發歛之所生也至,晝夜長短之所極。春秋分者,陰陽之脩,晝夜之象。晝者陽,夜者陰。春分以至秋分,晝之象。秋分至春分,夜之象。故春秋分之日中光之所照北極下,夜半日光之所照亦南至極。此日夜分之時也。故曰:日照四旁各十六萬七千里。
“人望所見,遠近宜如日光所照。從周所望見北過極六萬四千里,南過冬至之日三萬二千里。夏至之日中,光南過冬至之日中光四萬八千里,南過人所望見一萬六千里,北過周十五萬一千里,北過極四萬八千里。冬至之夜半日光南不至人所見七千里,不至極下七萬一千里。夏至之日中與夜半日光九萬六千里過極相
接。冬至之日中與夜半日光不相及十四萬二千里,不至極下七萬一千里。夏至之日正東西望,直周東西日下至周五萬九千五百九十八里半。冬至之日正東西方不見日。以算求之,日下至周二十一萬四千五百五十七里半。凡此數者,日道之發歛。冬至、夏至,觀律之數,聽鐘之音。冬至晝,夏至夜。差數及,日光所還觀之,四極徑八十一萬里,周二百四十三萬里。
“從周至南日照處三十萬二千里,周北至日照處五十萬八千里,東西各三十九萬一千六百八十三里半。周在天中南十萬三千里,故東西矩中徑二萬六千六百三十二里有奇。周北五十萬八千里。冬至日十三萬五千里。冬至日道徑四十七萬六千里,周一百四十二萬八千里。日光四極當周東西各三十九萬一千六百八十三里有奇。”
此方圆
之法
萬物周事而圓方用焉,大匠造制而規矩設焉,或毀方而為圓,或破圓而為方。方中為圓者謂之圓方,圓中為方者謂之方圓也。
七衡圖:
凡為此圖,以丈為尺,以尺為寸,以寸為分,分一千里。凡用繒方八尺一寸。今用繒方四尺五分,分為二千里。
呂氏曰:“凡四海之內,東西二萬八千里,南北二萬六千里。”
凡為日月運行之圓周,七衡周而六間,以當六月節。六月為百八十二日、八分日之五。故日夏至在東井極內衡,日冬至在牽牛極外衡也。衡復更終冬至。故曰:一歲三百六十五日、四分日之一,一歲一內極,一外極。三十日、十六分日之七,月一外極,一內極。是故衡之間萬九千八百三十三里、三分里之一,即為百步。欲知次衡徑,倍而增內衡之徑。二之以增內衡徑。次衡放此。
內一衡徑二十三萬八千里,周七十一萬四千里。分為三百六十五度、四分度之一,度得一千九百五十四里二百四十七步、千四百六十一分步之九百三十三。
次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百步,周八十三萬三千里。分里為度,度得二千二百八十里百八十八步、千四百六十一分步之千三百三十二。
次四衡徑三十五萬七千里,周一百七萬一千里。分為度,度得二千九百三十二里七十一步、千四百一十分步之六百六十九。
次五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百步,周一百一十九萬里。分為度,度得三千二百五十八里十二步、千四百六十一分步之千六十八。
次六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百步,周一百三十萬九千里。分為度,度得三千五百八十三里二百五十四步、千四百六十一分步之六。
次七衡徑四十七萬六千里,周一百四十二萬八千里。分為度,得三千九百九里一百九十五步、千四百六十一分步之四百五。
其次,日冬至所北照,過北衡十六萬七千里。為徑八十一萬里,周二百四十三萬里。分為三百六十五度四分度之一,度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。過此而往者,未之或知。或知者,或疑其可知,或疑其難知。此言上聖不學而知之。故冬至日晷丈三尺五寸,夏至日晷尺六寸。冬至日晷長,夏至日晷短。日晷損益,寸差千里。故冬至、夏至之日,南北遊十一萬九千里,四極徑八十一萬里,周二百四十三萬里。分為度,度得六千六百五十二里二百九十三步、千四百六十一分步之三百二十七。此度之相去也。
其南北游,日六百五十一里一百八十二步、一千四百六十一分步之七百九十八。
術曰:置十一萬九千里為實,以半歲一百八十二日、八分日之五為法,而通之,得九十五萬二千,為實。所得一千四百六十一為法,除之。實如法得一里。不滿法者,三之,如法得百步。不滿法者,十之,如法得十步。不滿法者,十之,如法得一步。不滿法者,以法命之。
凡日月運行,四極之道。極下者,其地高人所居六萬里,滂沱四隤而下。天之中央,亦高四旁六萬里。故日光外所照徑八十一萬里,周二百四十三萬里。故日運行處極北,北方日中,南方夜半。日在極東,東方日中,西方夜半。日在極南,南方日中,北方夜半。日在極西,西方日中,東方夜半。凡此四方者,天地四極四和,晝夜易處,加四時相及。然其陰陽所終,冬至所極,皆若一也。
天象蓋笠,地法覆槃。天離地八萬里,冬至之日雖在外衡,常出極下地上二萬里。故日兆月,月光乃出,故成明月。星辰乃得行列。是故秋分以往到冬至,三光之精微,以成其道遠。此天地陰陽之性自然也。
欲知北極樞,璿周四極。常以夏至夜半時北極南游所極,冬至夜半時北游所極,冬至日加酉之時西游所極,日加卯之時東游所極。此北極璿璣四游。正北極璿璣之中,正北天之中。正極之所游,冬至日加酉之時,立八尺表,以繩繫表顛,希望北極中大星,引繩致地而識之。又到旦,明日加卯之時,復引繩希望之,首及繩致地而識其端,相去二尺三寸。故東西極二萬三千里,其兩端相去正東西。中折之以指表,正南北。加此時者,皆以漏揆度之。此東、西、南、北之時。其繩致地所識,去表丈三寸,故天之中去周十萬三千里。何以知其南北極之時?以冬至夜半北游所極也北過天中萬一千五百里,以夏至南游所極不及天中萬一千五百里。此皆以繩繫表顛而希望之,北極至地所識丈一尺四寸半,故去周十二萬四千五百里,過天中萬一千五百里;其南極至地所識九尺一寸半,故去周九萬一千五百里,其南不及天中萬一千五百里。此璿璣四極南北過不及之法,東、西、南、北之正勾。
周去極十萬三千里。日去人十六萬七千里。夏至去周一萬六千里。夏至日道徑二十三萬八千里,周七十一萬四千里。春、秋分日道徑三十五萬七千里,周一百七萬一千里。冬至日道徑四十七萬六千里,周一百四十二萬八千里。日光四極八十一萬里,周二百四十三萬里。從周南三十萬二千里。
璿璣徑二萬三千里,周六萬九千里。此陽絕陰彰,故不生萬物。其術曰,立正勾定之。以日始出,立表而識其晷。日入,復識其晷。晷之兩端相直者,正東西也。中折之指表者,正南北也。極下不生萬物。何以知之?冬至之日去夏至十一萬九千里,萬物盡死;夏至之日去北極十一萬九千里,是以知極下不生萬物。北極左右,夏有不釋之冰。
春分、秋分,日在中衡。春分以往日益北,五萬九千五百里而夏至。秋分以往日益南,五萬九千五百里而冬至。中衡去周七萬五千五百里。中衡左右冬有不死之草,夏長之類。
此陽彰陰微,故萬物不死,五穀一歲再熟。
凡北極之左右,物有朝生暮獲。
立二十八宿,以周天曆度之法。
術曰:倍正南方,以正勾定之。即平地徑二十一步,周六十三步。令其平矩以水正,則位徑一百二十一尺七寸五分。因而三之,為三百六十五尺、四分尺之一,以應周天三百六十五度、四分度之一。審定分之,無令有纖微。分度以定,則正督經緯。而四分之一,合各九十一度十六分度之五。於是圓定而正。則立表正南北之中央,以繩繫顛,希望牽牛中央星之中。則復望須女之星先至者。如復以表繩希望須女先至,定中。即以一游儀希望牽牛中央星,出中正表西幾何度。各如游儀所至之尺,為度數。游在於八尺之上,故知牽牛八度。其次星放此,以盡二十八宿度,則之矣。
立周度者,各以其所先至游儀度上。車輻引繩,就中央之正以為轂,則正矣。日所以入,亦以周定之。欲知日之出入,即以三百六十五度、四分度之一而各置二十八宿。以東井夜半中,牽牛之初臨子之中。東井出中正表西三十度十六分度之七,而臨未之中,牽牛初亦當臨丑之中,於是天與地税,乃以置周二十八宿。置以定,乃復置周度之中央立正表。以冬至、夏至之日,以望日始出也,立一游儀於度上,以望中央表之晷。晷參正,則日所出之宿度。日入放此。
牽牛去北極百一十五度千六百九十五里二十一步、千四百六十一分步之八百一十九。
術曰:置外衡去北極樞二十三萬八千里,除璿璣萬一千五百里。其不除者二十二萬六千五百里以為實。以內衡一度數千九百五十四里二百四十七步、千四百六十一分步之九百三十三以為法。實如法得一度。不滿法,求里、步。約之合三百得一以為實。以千四百六十一分為法,得一里。不滿法者三之,如法得百步。不滿法者又上十之,如法得一步。不滿法者,以法命之。次放此。
婁與角去北極九十一度六百一十里二百六十四步、千四百六十一分步之千二百九十六。
術曰:置中衡去北極樞十七萬八千五百里以為實。以內衡一度數為法。實如法得一度。不滿法者,求里、步。不滿法者,以法命之。
東井去北極六十六度千四百八十一里一百五十五步、千四百六十一分步之千二百四十五。
術曰:置內衡去北極樞十一萬九千里,加璿璣萬一千五百里,得十三萬五百里以為實。
以內衡一度數為法。實如法得一度。不滿法者求里、步。不滿者,以法命之。凡八節二十四氣,氣損益九寸九分、六分分之一。冬至晷長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺六寸。問次節損益寸數長短各幾何?
冬至晷長一丈三尺五寸,小寒丈二尺五寸,大寒丈一尺五寸一分,立春丈五寸二分,雨水九尺五寸二分,啟蟄八尺五寸四分,春分七尺五寸五分,清明六尺五寸五分,穀雨五尺五寸六分,立夏四尺五寸七分,小滿三尺五寸八分,芒種二尺五寸九分,夏至一尺六寸,小暑二尺五寸九分,大暑二尺五寸八分,立秋四尺五寸七分,處暑五尺五寸六分,白露六尺五寸五分,秋分七尺五寸五分,寒露八尺五寸四分,霜降九尺五寸三分,立冬丈五寸二分,小雪丈一尺五
寸一分,大雪丈二尺五寸。
凡為八節二十四氣,氣損益九寸九分、六分分之一。冬至、夏至為損益之始。術曰:置冬至晷,以夏至晷減之,餘為實。以十二為法。實如法得一寸。不滿法者,十之,以法除之,得一分。不滿法者,以法命之。月後天十三度、十九分度之七。
術曰:置章月二百三十五,以章歲十九除之,加日行一度,得十三度、十分九度之七。此月一日行之數,即後天之度及分。
小歲月不及故舍三百五十四度、萬七千八百六十分度之六千六百一十二。術曰:置小歲三百五十四日、九百四十分日之三百四十八,以月後天十三度、十九分度之七乘之,為實。又以度分母乘日分母為法。實如法,得積後天四千七百三十七度、萬七千八百六十分度之六千六百一十三。以周天三百六十五度、萬七千八百六十分度之四千四百六十五除之。其不足除者,此月不及故舍之分度數。他皆放此。
大歲月不及故舍十八度、萬七千八百六十分度之萬一千六百二十八。
術曰:置大歲三百八十三日、九百四十分日之八百四十七。以月後天十三度、十九分度之七乘之為實。又以度分母乘日分母為法。實如法得積後天五千一百三十二度、萬七千八百六十分度之二千六百九十八。以周天除之。其不足除者,此月不及故舍之分度數。
經歲月不及故舍百三十四度、萬七千八百六十分度之萬一百里。
術曰:置經歲三百六十五日、九百四十分日之二百三十五,以月後天十三度十九分度之七乘之為實。又以度分母乘日分母為法。實如法,得積後天四千八百八十二度、萬七千八百六十分度之萬四千五百七十。以周天除之。其不足除者,此月不及故舍之分度數。
小月不及故舍二十二度、萬七千八百六十分度之七千七百三十五。
術曰:置小月二十九日,以月後天十三度、十九分度之七乘之為實。又以度分母乘日分母為法。實如法得積後天三百八十七度、萬七千八百六十分度之萬二千二百二十。以周天分除之。其不足除者,此月不及故舍之分度數。大月不及故舍三十五度、萬七千八百六十分度之萬四千三百三十五。
術曰:置大月三十日,以月後天十三度、十九分度之七乘之為實。又以度分母乘日分母為法。實如法得積後天四百一度、萬七千八百六十分度之九百四十。以周天除之。其不足除者,此月不及故舍之分度數。
經月不及故舍二十九度、萬七千八百六十分度之九千四百八十一。
術曰:置經月二十九日、九百四十分日之四百九十九,以月後天十三度、十九分度之七乘之為實。又以度分母乘日分母為法。實如法得積後天三百九十四度、萬七千八百六十分度之萬三千九百四十六。以周天除之。其不足除者,此月不及故舍之分度數。
冬至晝極短,日出辰而入申。陽照三,不覆九。東西相當正南方。夏至晝極長,日出寅而入戌。陽照九,不覆三。東西相當正北方。
日出左而入右,南北行。
故冬至從坎,陽在子,日出巽而入坤,見日光少,故曰寒。夏至從離,陰在午,日出艮而入乾,見日光多,故曰暑。日月失度而寒暑相姦。往者詘,來者信也,故屈信相感。故冬至之後日右行,夏至之後日左行。左者往,右者來。故月與日合為一月,日復日為一日,日復星為一歲。外衡冬至,內衡夏至,六氣復返,皆謂中氣。
陰陽之數,日月之法。十九歲為一章。四章為一蔀,七十六歲。二十蔀為一遂,遂千五百二十歲。三遂為一首,首四千五百六十歲。七首為一極,極三萬一千九百二十歲。生數皆終,萬物復始。天以更元,作紀曆。
何以知天三百六十五度、四分度之一,而日行一度?而月後天十三度、十九分度之七。二十九日、九百四十分日之四百九十九為一月,十二月、十九分月之七為一歲。周天除之。其不足除者,如合朔。古者包犧、神農制作為曆,度元之始,見三光未如其則。日、月、列星,未有分度。日主晝,月主夜,晝夜為一日。日月俱起建星。月度疾,日度遲。日、月相逐於二十九日、三十日間,而日行天二十九度餘,未有定分。於是三百六十五日南極影長,明日反短。以歲終日影反長,故知之三百六十五日者三,三百六十六日者一。故知一歲三百六十五日、四分日之一,歲終也。月積後天十三周,又與百三十四度餘,無慮後天十三度、十九分度之七,未有定。於是日行天七十六周,月行天千一十六周,及合於建星。置月行後天之數,以日後天之數除之,得一十三度、十九分度之七,則月一日行天之度。復置七十六歲之積月,以七十六歲除之,得十二月、十九分月之七,則一歲之月。
置周天度數,以十二月、十九分月之七除之,得二十九日、九百四十分日之四百九十九,則一月日之數。