函数的极值点与极值
函数的极值点与极值
1. 已知函数f (x ) =x (lnx -ax ) 有两个极值点, 求实数a 的取值范围。
方法1:根据极值点与导函数的关系知:这个函数的导函数在定义域内穿过X 轴两次,即
f '(x ) =ln x +1-2ax =0有两个不同的正解。令g (x ) =ln x +1-2ax ,则
g '(x ) =111-2a ,令g '(x ) =-2a =0得x =,又定义域为x ∈(0,+∞) , x x 2a
(1)当a ≤0时,恒有g '(x ) ≥0,此时g (x ) =ln x +1-2ax 在x ∈(0,+∞) 单调递增,
不可能穿过x 轴两次,不成立。
(2)当a >0时, g (x ) 在x ∈(0,11) 递增,在x ∈(, +∞) 递减,且x 趋近于0与2a 2a
1x 趋近于正无穷时g (x ) 均趋近于负无穷,故要使g(x)有两个不同解,只需g () 2a
⎧a >01⎪大于0即可,故⎨1,解得a ∈(0,) 2ln >0⎪⎩2a
方法2:数形结合
f '(x ) =ln x +1-2ax =0有两个不同的正解,即y =ln x 与y =2ax -1在x ∈(0,+∞) 有两个不同的交点。设切点为(x 0, y 0) ,则切线方程是y -ln x 0=1(x -x 0) ,它过点(0,-1) ,解得x 0=1,即切线的斜率是1,故要使x 0
他们有两个不同的交点,必须⎨
⎧2a >01⇒0
2. 已知a 为常数, 函数f (x ) =x (lnx -ax ) 有两个极值点x 1, x 2 (x 1
11 B、f (x 1)
11C 、f (x 1) >0, f (x 2) - 22A 、f (x 1) >0, f (x 2) >-
解析:由题意知f '(x ) =ln x +1-2ax =0有两个不同的正解,即y =ln x 与y =2ax -1在
1x ∈(0,+∞) 有两个不同的交点,作图求得a ∈(0,) 。由图知,0
1
(0,x 1) 上f '(x ) 0,f (x ) 递增;在(x 2, +∞) 上
1f '(x ) f (1)=-a >-。选D 2
3. 函数f (x ) =x 3+2bx 2+cx +1两个极值点分别为x 1, x 2且x 1∈[-2, -1],x 2∈[1,2] ,求f (-1) 的取值范围。 答案[3,12]
x 3mx 2+(m +n ) x +1+4. 函数y =两个极值点分别为x 1, x 2且x 1∈(0,1),x 2∈(1, +∞) ,32
记分别以m ,n 为横、纵坐标的点P(m,n)表示的平面区域为D ,若函数y =log a (x +4) (a >1) 的图象上存在区域D 内的点,则实数a 的取值范围为( )
A .(1,3] B. (1,3) C. (3,+∞) D. [3,+∞)
答案:B
m +n x 3mx 2+(m +n ) x +12+解:因为y =,所以y '=x +mx +。依题意知,方程y '=0 232
有两个根为x 1, x 2且x 1∈(0,1),x 2∈(1, +∞) ,构造函数f (x ) =x +mx +
以,⎨2m +n ,所2⎧f (0)>0⎧m +n >0,即⎨,∵直线m +n =0,3m +n +2=0的交点坐标为3m +n +2
(-1,1),∴要使函数y =log a (x +4) (a >1) 的图象上存在区域D 上的点,则必须满 1>log a (-1+4) ,解得1
考点:利用导数研究函数的极值,二元一次不等式(组)与平面区域。
点评:中档题,本题综合性较强,应用导数研究函数的极值,通过构造函数结合函数图象研
究方程跟单分布,体现应用数学知识的灵活性。
5. 设函数f (x ) =x +a ln(x +1) 有两个极值点x 1, x 2 (x 1
(1)求实数a 的取值范围; (0,)
(2)讨论函数f (x ) 的单调性;
(3)若对任意的x ∈(x 1, +∞) , 都有f (x ) >m 成立, 求实数m 的取值范围. m ≤
(亦即证明:f (2)>2121-2ln 2。 41-2ln 2) 4
2
a 2x 2+2x +a =(x >-1) , 解:(1)由f (x ) =x +a ln(x +1) 可得f '(x ) =2x +x +1x +12
令g (x ) =2x 2+2x +a (x >-1) ,故由题意可知x 1, x 2是方程g (x ) =0的两个均大于-1
⎧∆=4-8a >01的不相等的实数根, 所以⎨⇒00
(3)由(2)可知f (x ) 在区间(x 1+∞) 上的最小值为f (x 2) ,又由于g (0)=a >0,因此-1
122设h (x ) =x -(2x +2x )ln(x +1) , -
11则h '(x ) =-2(2x +1)ln(x +1) . 由-0, 故h (x ) 在(-,0) 上单调22
11-2ln 21-2ln 2递增,所以, f (x 2) =h (x 2) >h (-) =,故实数m 的取值范围m ≤。 244
考点:导数的运用
点评:解决的关键是对于导数的符号与函数单调性的关系的判定,以及运用导数的知识来求
解最值,属于中档题。
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