一次函数及二次函数
绝密★启用前 2013-2014学年度一次,二次函数考卷 基本初等函数(1) 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷(选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明
一、选择题 1.如果函数f (x ) =x 2
+2(a -1) x +2在区间(-∞, 4]上是减少的,那么实数a 的取值范围是( ) A .a ≤-3 B.a ≥-3 C.a ≤5 D.a ≥5 2.如果函数f(x)=x 2+bx +c 对于任意实数t ,都有f(2+t) =f(2-t) ,那么( ) A. f(2)
+b 是R
上的减函数,则有 A B
C
D 4.已知函数f (x )在R 上可导,且f (x ) =x 2f
'(2)-3x ,则f (-1)与f (1)的大小关系是( ) A .f (-1)=f (1) B.f (-1)>f (1) C .f (-1)
A B .2 C .3 D . 2mx -mx -1
,不等式则实数m 的取值范围是 ( ) A .(-4, 0) B.(-4, 0] C.[-4, 0] D.[-4, 0) 8.
已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +
c (a , b , c ∈R ) ,满足:对任意实数x ,都有f (x
) ≥x ,且当x ∈(1
, 3) A .1 B
f (-2) =0,则b 为( ) 2 D .0
9.已知定义在R 上的函数f (x ) 满足f (2)=1,且f (x ) 的导函数f '(x ) >x -1, 则不等 )
10.若f (x ) =x 2-2x -4ln x ,则f '(x ) >0的解集为 ( )
A. (0, +∞) B. (-1,0)⋃(,2+∞) C. (2, +∞) D. (-1, 0)
11.已知函数f (x ) =x 2+bx +c , 且f (-3) =f (1) . 则( )
A. f (1) c >f (-1)
C. f (1) f (-1) >c
12.若方程2ax 2-x -1=0在(0,1)内恰有一解,则a 的取值范围是
A. a 1 C. -1
第II 卷(非选择题)
二、填空题 lg(x 2-2x +3) 13.设a >0, a ≠1,函数f (x ) =a 2有最大值,则不等式log a (x -5x +7) >0 的解集为
14.一次函数f(x)是减函数,且满足f[f(x)]=4x -1,则f(x)=__________. 2215.关于x 的方程x +mx+m-3=0的两个实根中,一个比1大,另一个比1小,则实数
m 的取值范围是_______________.
16.已知函数f (x ) =ax 2-2x +3在区间(1,2) 上是减函数,则a 的取值范围是. 173,则a =__ __ _ 18y =3-sin x -2cos 2x 的最小值是_______,最大值是________。 三、解答题 19.已知二次函数f (x ) =x 2-2bx +a ,满足f (x ) =f (2-x ) ,有两个相等的实根. (1)求函数f (x ) 的解析式; (2)当x ∈[t , t +1](t ∈R ) 时,求函数f (x ) 的最小值g (t ) 的表达式. 20.已知二次函数f (x ) 的最小值为1,且f (0)=f (2)=3. (1)求f (x ) 的解析式; (2)若f (x ) 在区间[2a , a +1]上不单调,求实数a 的取值范围; (3)在区间[-1,1]上,y =f (x ) 的图像恒在y =2x +2m +1的图像上方,试确定实数m 的取值范围. 21.(本题满分12分) 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 满足f (x +1) =f (x ) +2x 且f (0)=1. (Ⅰ)求f (x ) 的解析式; (Ⅱ)当x ∈[-1,1]时,不等式:f (x ) >2x +m 恒成立,求实数m 的范围.
参考答案
1.A
【解析】
函数f (x ) =x 2+2(a -1) x +2在区间(-∞, 4]上是减少的,所以,(-∞
, 4]试题分析:因为,a ≤-3,选A 。 考点:二次函数的图像和性质
点评:简单题,二次函数问题,一般考虑其开口方向,对称轴等。
2.A
【解析】
试题分析:先从条件“对任意实数t 都有f (2+t)=f (2-t )”得到对称轴,然后结合图象判定函数值的大小关系即可.解:∵对任意实数t 都有f (2+t)=f (2-t )∴f (x )的对称轴为x=2,而f (x )是开口向上的二次函数故可画图观察可得f (2)<f (1)<f (4),故选A .
考点:二次函数的图象
点评:本题考查了二次函数的图象,通过图象比较函数值的大小,数形结合有助于我们的解题,形象直观
3.B
【解析】 试题分析:根据题意,由于函数f (x ) =(2a -1) x +b 是R 上的减函数,则说明x 的系数为负数,则可知2a-1
故选B. 考点:一次函数性质
点评:主要是考查了函数的单调性的运用,属于基础题。
4.B
【解析】
试题分析:对f (x ) =x f '(2)-3x 求导可得f '(x ) =2f '(2)x -3,令x=2,所以2
f '(2)=4f '(2)-3, ∴f '(2)=1, ∴f (x ) =x 2-3x , 该函数图象是开口向上的抛物线,对称轴
f (-1)>f (1). 考点:本小题主要考查函数的求导和二次函数的单调性. 点评:解决本小题的关键是求出f '(2),还要注意到在第一次求导时f '(2)是一个常数.
5.B
【解析】
试题分析:函数f (x ) =|mx -(2m +1) x +(m +2) |恰有四个单调区间, 所以,结合函数图象
2
2的特点,m ≠0时,m x -(2m +1) x +应0有不等实根,所以,m +2=
(2m +1) 2-4m (m +2) >
0故选B 。
考点:二次函数的图象和性质。 点评:简单题,|f (x ) |的图象,是f (x ) 的图象将位于x 轴下方的部分翻折到x 轴上方。
6.B
【解析】
′试题分析:解:∵f (x )=ax2+bx+1,∴f ′(x )=2ax+b,∴f (0)=b,又f ′(0)>0,∴b
>0.又已知f (x )与x 轴恰有一个交点,∴△=b-4a=0,则可知
,
则2
故选B. 考点:二次函数、导数
点评:本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式,熟练掌握它们的性质及使用方法是解决问题的关键.
7.B
【解析】
⎧m
∴-4
考点:本题考查了一元二次式的恒成立问题
点评:此种类型除了利用二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法外,还需要讨论二次项系数是否为0的情况
8.B .
【解析】
试题分析:由条件对任意实数x ,都有f (x )≥x ,知f (2)≥2成立
∵当x ∈(1
∴取x=2 ∴f (2)=2.
∴4a+2b+c=2①
∵f (-2)=0
∴4a -2b+c=0②
由①②可得,∴4a+c=2b=1,
∴B . 考点:本题主要考查二次函数性质,方程组解法。
点评:典型题,对恒成立问题,可以任取自变量的值,式子均成立。本题紧紧围绕已知条件,通过f (-2) =0, f(2)=2得到方程组。
9.B
【解析】
则原不等式为g (x ) x -1所以g ' (x ) =f ' (x ) -x +1>0 于是g (x ) 单调增
于是当x >2时g (x ) >0 解集为{x |x >2}
考点:导数,不等式解法,构造函数的思想。
点评:本题难度较大,构造函数,利用导数的性质, 借助函数的单调性是解题的关键。
10.C
【解析】 试题分析:因为f (x ) =x -2x -4ln x ,所以
2,即x>0
,且(2, +∞) ,故选C 。 考点:本题主要考查导数计算及简单不等式解法。
点评:小综合题,思路明确,先求导数,再解不等式。
11.B
【解析】 试题分析:因为f (-3) =f (1) ,所以函数f (x ) =x +bx +c 的对称轴为x=-1,所以函数2
f (x ) =x 2+bx +c 在(-1,+∞)单调递增,所以f (1)>f (0)>f (-1), 又c =f (0),所以f (1) >c >f (-1) 。
考点:二次函数的性质。 点评:做此题的关键是根据条件f (-3) =f (1) 退出二次函数的对称轴。
12.B
【解析】
试题分析:法一:当a=0时,x=-1,不合题意,故排除C 、D .当a=-2时,方程可化为4x +x+1=0, 而△=1-16<0,无实根,故a=-2不适合,排除A ,故选B
法二:f (0)•f(1)<0,即-1×(2a-2)<0,解得a >1,故选B
考点:本试题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系,是基础题
点评:解决该试题的关键是能利用特殊值验证法,排除法,得到结论。或者是利用分离参数的思想得到
13.(2, 3)
【解析】 试题分析:设a >0, a ≠1,函数f (x ) =a
22结合函数与函数的交点来得到参数a 的范围。 lg(x 2-2x +3) 有最大值,所以00log a (x -5x +7) >0解得2
考点:二元一次不等式组;函数最值的应用.
点评:本题考查指数函数,对数函数的性质,以及一元二次不等式组的解法.是简单的中档题.
14.-2x +1
【解析】
试题分析:由一次函数f(x)是减函数,可设f(x)=kx +b(k
2则f[f(x)]=kf(x)+b =k(kx+b) +b =k x +kb +b ,
∵f[f(x)]=4x -1,
⎧k 2=4⎧k =-2∴ ⎨⎨b =-1⎩kb +b =-1⎩
∴f(x)=-2x +1.
考点:函数解析式的求解
点评:对于解析式的求解很多时候待定系数法是常用方法之一,属于基础题。
15.(-2, 1)
【解析】
22试题分析:根据题意关于x 的方程x +mx+m-3=0的两个实根中,一个比1大,另一个比1
22小,则可知结合二次函数f(x)= x+mx+m-3, 图像可知f(1)
即可知1+m+m-3
考点:一元二次方程的根分布问题
点评:本题考查方程根的研究,考查函数思想的运用,解题的关键是构造函数,利用函数思想求解
16
【解析】
试题分析:如果a =0,则f (x ) =-2x +3满足要求;如果a >0,则对称轴
a
点评:解决此类问题时,一定不要漏掉a =0; 另外,讨论二次函数的单调性时,要借助二次函数的图象进行.
17.4
【解析】
22试题分析:令函数
f (x )=|x-4x|-a=0,可得|x-4x|=a.
22由于函数f (x )=|x-4x|-a的零点个数为3,故函数y=|x-4x|的图象和函数y=a的图象有
3个交点,
如图所示:
故a=4.
故答案为 4.
考点:本题主要是考查函数的零点与方程的根的关系,体现了化归与转化的数学思想,属于中档题.
2点评:解决该试题的关键是由题意可得函数y=|4x-x|与函数
y=a有3个交点,结合图象可
得实数a 的取值范围.
18 时,sinx ,而函数
【解析】
试题分析:根据题意,由于当考点:三角函数的性质
点评:主要是考查了三角函数的有界性的运用,以及二次函数的最值,属于基础题。
⎧t 2+3t ≤0⎪219.(1)f (x ) =x -2x +4(2)g (t ) =⎨30
⎪t 2-2t +4t ≥1⎩
【解析】
试题分析:解:(1)由f (x ) =f (2-x ) ,得:对称轴x =b =1, 2分
∴ f (x ) =x 2-2x +4. 4分 (2)f (x ) =x 2-2x +4=(x -1) 2+3.
①当t +1≤1,即t ≤0时,y min =f (t +1) =t +3; 6分
②当t
⎪t 2-2t +4t ≥1⎩
考点:二次函数的解析式以及最值
点评:主要是考查了二次函数的解析式的求解,以及函数的最值讨论,属于中档题。
20.(1)f (x )=2x -4x +3(223)m
故f (x )
=2x -4x +3 2
(2)要使函数不单调,则2a 0, 2g (x ) min >0设g (x ) =x -3x +1-m ,则只要, 而g (x ) min =g (1)=-1-m ,得m
考点:求函数解析式及函数单调性最值等性质
点评:本题中函数是二次函数,有增减两个单调区间,以对称轴为分界处,因此第二问可知对称轴在区间[2a , a +1]内,第三问将图像的位置关系转化为函数间的大小关系,进而将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,这种转化思路在函数题目中经常出现,是常考点
21.(Ⅰ)f (x ) =x -x +1 ;(Ⅱ)m
【解析】
2
试题分析:(Ⅰ)令f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 代入: 得:a (x +1) 2+b (x +1) +c =(ax 2+bx +c ) +2x 即2ax +a +b =2x 对于任意的x 成立,则有 ⎧a =12a =2⎧⎪∴⎨ 解得⎨b =-1 ∴f (x ) =x 2-x +1 6分 ⎩a +b =0⎪c =1⎩
(Ⅱ)当x ∈[-1,1]时,f (x ) >2x +m 恒成立 即:x 2-3x +1>m 恒成立; 8分
x ∈[-1,1]内单调递减; ∴g (x ) min =g (1)=-1 ∴m
点评:二次函数在指定区间上的恒成立问题,可以利用韦达定理以及根的分布知识求解,属基础题
答案第7页,总7页