圆锥恒过定点问题.(教师)
x 2y 21
例1. 如图,椭圆E 22=1(a >b >0) 的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e =过F 1的直线交椭圆于A 、
a b 2B 两点,且△ABF 2的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(II )设动直线l :y =kx +m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线x =4相交于点Q . 试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)∵|AB |+|AF 2|+|BF 2|=8,∴|AF 1|+|F 1B |+|AF 2|+|BF 2|=又∵|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ,∴4a =8,a =2。 1c 1又∵e =,∴以c =1。∴b a -c 3。
2a 2∴椭圆E +1。
43
x 2y 2
⎧y =kx +m ⎪222
(II )由⎨x 2y 2得(4k +3) x +8kmx +4m -12=0。
⎪+1⎩43
∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0,y 0) ,∴m ≠0且Δ=0, ∴64k m -4(4k +3)(4m -12) =0,化简得4k -m +3=0①, 4km 4k 3⎛4k 3此时x 0=-2y 0=kx 0+m =P -。 4k +3m m ⎝m m ⎭
22
2
2
2
2
⎧x =4
由⎨得Q (4,4k +m ) 。
y =kx +m ⎩
假设平面内存在定点M 满足条件,由图形对称性知,点M 必在x 轴上。 →→
设M (x 1, 0) ,则MP ·MQ =0对满足①式的m 、k 恒成立。 3⎫→→⎛4k -x ,∵MP = 1⎪,MQ =(4-x 1, 4k +m ) ,
⎝
m
m ⎭
16k 4kx 112k →→2
∴由MP ·MQ =0+-4x 1+x 1+3=0,
m m m
整理,得(4x 1-4) +x 1-4x 1+3=0②。
k
m
2
⎧4x 1-4=0⎪
∵②式对满足①式的m ,k 恒成立,∴⎨2,解得x 1=1。
x -4x +3=0⎪1⎩1
∴存在定点M (1,0),使得以PQ 为直径的圆恒过点M 。
例2. 如图所示,等边三角形OAB 的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E :x =2py (p >0) 上.
(I )求抛物线E 的方程;
(II )设动直线l 与抛物线E 相切于点P ,与直线y =-1相交于点Q ,证明以PQ 为直
2
径的圆恒过y 轴上某定点.
【答案】解:(I )依题意,|OB |=83,∠BOy =30°。
设B (x ,y ) ,则x =|OB |sin30°=3,y =|OB |cos30°=12。 因为点B 3,12) 在x =2py 上,所以(43) =2p ×12,解得p =2。 故抛物线E 的方程为x =4y 。 121
(II )由(I )知y =x ,y ′=x 。
42
1112
设P (x 0,y 0) ,则x 0≠0,且l 的方程为y -y 0=0(x -x 0) ,即y =x 0x -0。
224
22
2
x 02-4112⎧⎧
⎪x =⎪y =x 0x -x 0
由⎨得2x 0。 24⎨
⎪y =-1⎪⎩y =-1⎩
⎛x 0-4,-1⎫。
所以Q ⎪
⎝2x 0⎭
→→假设以PQ 为直径的圆恒过定点M ,由图形的对称性知M 必在y 轴上,设M (0,y 1) ,令MP ·MQ
12
=0对满足y 0=0(x 0≠0)的x 0,y 0恒成立。
4
→→⎛x 0-4
1-y 1⎫由MP =(x 0,y 0-y 1) ,MQ = ⎪, ⎝2x 0⎭
2
2
x 0-4→→22
由于MP ·MQ =0,得y 0-y 0y 1+y 1+y 1=0,即(y 1+y 1-2) +(1-y 1) y 0=0(*)。
2
2
⎧1-y 1=012
由于(*)式对满足y 00(x 0≠0)的y 0恒成立,所以⎨2,解得y 1=1。
42y +y -2=0
⎩
1
1
故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)。
3. 已知抛物线C 的方程为y =2px(p >0),直线:x+y=m与x 轴的交点在抛物线C 准线的右侧.
(Ⅰ)求证:直线与抛物线C 恒有两个不同交点;
(Ⅱ)已知定点A (1,0),若直线与抛物线C 的交点为Q ,R ,满足O 到直线的距离不大于
,是否存在实数m ,使得原点
2
,若存在,求出正实数p 的取值范围;若不存在,请说明理由.
x 2y 2
4. 已知椭圆2+2=1(a >b >0) 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,原点O 到直线AB 的距离
a b
为
,该椭圆的离心率为
52
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点P (0,) 的直线l 与椭圆交于M ,N 两个不同的点,且对l 外任意一点Q ,有
5
3
QM =4QN -3QP 成立?若存在,求出l 的方程;若不存在,说明理由。
解:(Ⅰ)由题意得,直线AB 的方程为bx +ay -ab =0(a >b >0). ……………(1分)
2a 2-b 23
==由及,得a =2, b =1. ………………………………(3分) 225a 2a +b
ab
x 2
+y 2=1. ……………………………………………………………(4分) 所以椭圆的方程为4
(Ⅱ) QM =4QN -3QP ,∴PM =4PN . ①………………………………………(6分)
当直线l 的斜率不存在时,M (0,-1) ,N (0,1),易知符合条件,此时直线l 的方程为
x =0. …………………………………………………………………………………………(8分)
x 25
+y 2=1得当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +,代入43
(9+36k 2) x 2+120kx +64=0.
2
由Δ=14 400k 2-256(9+36k ) >0,解得k >
2
4. 9
设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) ,则x 1+x 2=-
120k
, ②
9+36k 2
x 1x 2=
64
, ③…………………………………………………………………(10分) 2
9+36k
由①得x 1=4x 2. ④
16(24k ) 236k 2
==1,无解. 由②③④消去x 1, x 2,得,即
9+36k 2(9+36k 2) 29+36k 2
综上存在符合条件的直线l :x =0. ………………………………………………………(12分)
5. 已知椭圆的中心是坐标原点O ,焦点在x 轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ,Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在线段OF 上是否存在点M (m ,0) , 使得|MP |=|MQ |?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)因为椭圆的短轴长:2b =2⇒b =1,
又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,所以:
x 2
b =c ⇒a =b +c =2;故椭圆的方程为:+y 2=1……………4分
2
2
2
2
(Ⅱ)(1)若l 与x 轴重合时,显然M 与原点重合,m =0;
(2)若直线l 的斜率k ≠0,则可设l :y =k (x -1) ,设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) 则:
⎧y =k (x -1)
⇒x 2+2k 2(x 2-2x +1) -2=0 ⎨2
2
⎩x +2y -2=0
所以化简得:(1+2k ) x -4k x +2k -2=0;
2
2
2
2
4k 22k 2
⇒PQ 的中点横坐标为: x 1+x 2=,代入l :y =k (x -1) 可得: 22
1+2k 1+2k
2k 2-k
, ) , PQ 的中点为N (22
1+2k 1+2k
k 2
由于|MP |=|MQ |得到m = 2
2k +1
k 2111
所以:m = 综合(1)(2)得到:=∈(0,) m ∈[0,) ……14分
11+2k 222+22k
6. 设椭圆C :
x 2a 2
+y 2b 2
=1(a >b >0) 的离心率为e =
2
, 点A 是椭圆上的一点, 且点A 到椭圆C 两焦点的2
距离之和为4.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)椭圆C 上一动点P (x 0, y 0) ,关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1, y 1) , 求3x 1-4y 1的取值范围. 解:(1)依题意知, 2a =4, ∴a =2. …… 2分 ∵
e =
c 222
, c =2, b =a -c =2. …… 4分 =
a 2
x 2y 2∴所求椭圆C 的方程为+=1. …… 6分
42
(2)∵ 点P (x 0, y 0)关于直线y =2x 的对称点为P 1(x 1, y 1),
⎧y 0-y 1
⨯2=-1, ⎪⎪x 0-x 1
∴ ⎨ …… 8分
y +y x +x 101⎪0=2⨯. ⎪2⎩2
解得:x 1=
∴3x 1-4y 1=-5x 0. ……12
4y 0-3x 03y +4x 0
,y 1=0. …… 10分 55
x 2y 2
+=1上, ∴-2≤x 0≤2, 则-10≤-5x 0≤10. ∵ 点P (x 0, y 0)在椭圆C :42
∴3x 1-4y 1的取值范围为[-10, 10]. ……13分
y 2x 2
7. 已知抛物线C 1:y =2px (p >0) 的焦点F 以及椭圆C 2:2+2=1(a >b >0) 的上、下焦点及左、右顶
a b
2
点均在圆O :x +y =1上.
(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的标准方程;
22
(2)过点F 的直线交抛物线C 1于A , B 两不同点,交y 轴于点N ,已知NA =λ1AF , NB =λ2BF ,则λ1+λ2
是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.
p 2p 22
解:(1)解:(1)由抛物线C 1:y =2px (p >0) 的焦点F (,0) 在圆O :x +y =1=1,∴p =2,
42
2
∴抛物线C 1:y =4x …………………………3分
2
y 2x 2
同理由椭圆C 2:2+2=1(a >b >0) 的上、下焦点(0,c ),(0,-c ) 及左、右顶点(-b ,0),(b ,0) 均在圆
a b O :x 2+y 2=1
2
上可解得
:
b =1c =, ∴a .2=得
椭圆
y 2
C 2:x +=1. …………………………6分
2
(2)λ1+λ2是定值,且定值为-1.
设直线AB 的方程为y =k (x -1), A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ,则N (0,-k ) .
⎧y 2=4x 2222
联立方程组⎨,消去y 得:k x -(2k +4) x +k =0,
⎩y =k (x -1)
⎧2k 2+4⎪x +x =
∴∆=16k 2+16>0, 且⎨12k 2 …………………………9分
⎪x x =1⎩12
由NA =λ1AF , NB =λ2BF 得:λ1(1-x 1) =x 1, λ2(1-x 2) =x 2,
整理得:λ1=
x 1x
, λ2=2 1-x 11-x 2
2k 2+4
-22x 1+x 2-2x 1x 2∴λ1+λ2===-1. …………………………14分 2k 2+41-(x 1+x 2) +x 1x 2
1-+1
k 2
x 2y 28. 已知椭圆C :2+2=1(a >b >
0) 的离心率为,且椭圆C 上一点与两个焦点构成的三角形的周
2a b
长为22+2.
(I )求椭圆C 的方程;
(II )设过椭圆C 右焦点F 的动直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,试问:在x 轴上是否存在定点M ,使
7
MA ⋅MB =-成立?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
16
(I
)由题意知:
c =
,且2a +2c =+2 ···································································· 2' a 2
解得:a =
2
2
c =1
2
进而b =a -c =1 ···················································································································· 4'
x 2∴ 椭圆C 的方程为································································································ 5' +y 2=1 ·
2
(II )易求得右焦点F (1,0),
7
假设在x 轴上存在点M (t ,0) (t 为常数),使MA ⋅MB =- ················································ 6'
16
①当直线l 的斜率不存在时,则l :x =
1,此时A B (1,-
, 22
17
MA ⋅MB =(1-t ⋅(1-t , =(1-t ) 2-=-
216
解得t =
53
或. ···························································································································· 8' 44
②当直线l 的斜率存在时,设l :y =k (x -1) ,
⎧y =k (x -1) ⎪2222
(2k +1) x -4k x +2k -2=0 ·联立方程组⎨x 2,消去整理得························ 9' y 2
+y =1⎪⎩2
4k 22k 2-2
, x 1x 2=2设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ,则x 1+x 2=
2k 2+12k +1
MA ⋅MB =(x 1-t , k (x 1-1)) ⋅(x 2-t , k (x 2-1))
=(k +1) x 1x 2-(t +k )(x 1+x 2) +k +t
2
2
2
2
2k 2-24k 22
-(t +k ) ⋅2+k 2+t 2 =(k +1) ⋅2
2k +12k +1
2
(4t -1) k 2+2
=t - 2
2k +1
2
4t -1257
当=即t =时,MA ⋅MB 为定值:t 2-2=-
21416
75
由①②可知,在x 轴上存在定点M (,0) ,使MA ⋅MB =-成立 ······································ 12'
416
9. 设椭圆C :
+
=1(a >b >0)过点M (1,1),离心率e=
,O 为坐标原点.
(I )求椭圆C 的方程.
(Ⅱ)若直线l 是圆O :x +y=1的任意一条切线,且直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,求证:值.
22
•为定
解:(Ⅰ)由题意可得,解得,
∴椭圆C 的方程为.
(Ⅱ)①当圆O 的切线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+m, 则圆心O 到直线l 的距离∴1+k=m.
2
2
,
将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立,得到(1+3k)x +6kmx+3m﹣4=0.
222
设直线l 与椭圆C 相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点, 则
,
.
∴=
=x1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)
=
==0,
②当圆的切线l 的斜率不存在时,验证得综合上述可得,
为定值0.
.
x 2y 21
10. 已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
a b 2
x -y =0相切.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设P (4,0),A ,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点,连结PB 交椭圆C 于另一点E ,
证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ; 解:(Ⅰ)由题意知e =
2
c 1
=, a 2
c 2a 2-b 21
所以e =2==.
4a a 2
即a 2=b 2.
又因为b =
2
4
3
=
所以a =4,b 2=3.
x 2y 2
故椭圆C 的方程为+=1.
43
(Ⅱ)由题意知直线PB 的斜率存在,设直线PB 的方程为y =k (x -4) .
⎧y =k (x -4), ⎪
由⎨x 2y 2 得(4k 2+3) x 2-32k 2x +64k 2-12=0. ①
=1. ⎪+3⎩4
设点B (x 1, y 1) ,E (x 2, y 2) ,则A (x 1, -y 1) .
…4分
…6分
直线AE 的方程为y -y 2=令y =0,得x =x 2-
y 2+y 1
(x -x 2) . x 2-x 1
y 2(x 2-x 1)
.
y 2+y 1
将y 1=k (x 1-4) ,y 2=k (x 2-4) 代入, 整理,得x =
2x 1x 2-4(x 1+x 2)
. ②
x 1+x 2-8
32k 264k 2-12
由①得 x 1+x 2=2,x 1x 2=代入②
4k +34k 2+3
整理,得x =1.
所以直线AE 与x 轴相交于定点Q (1,0).
x 2y 2
11. 已知椭圆C :2+2=1(a >b >
0) ,定点M (2,0),椭圆短轴的端点是B 1,B 2,且
a b
MB 1⊥MB 2.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设过点M 且斜率不为0的任意直线交椭圆C 于A ,B 两点. 试问x 轴上是否存在定点P ,使PM 平分
∠APB ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
b 25a 2-b 2b 22
=. (1)解:由 =e =, 得 =1-
9a 2a 2a 3
依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形,从而b =2,故a =3.
x 2y 2
所以椭圆C 的方程是+=1. …………5分
94
(2)解:设A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) ,直线AB 的方程为x =my +2.
将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,消去x 得 (4m +9) y +16my -20=0.
所以 y 1+y 2=
2
2
-16m -20
,. y y =12
4m 2+94m 2+9
若PM 平分∠APB ,则直线PA ,PB 的倾斜角互补,所以k PA +k PB =0. 设P (a ,0) ,则有
y 1y 2
+=0. 将 x 1=my 1+2,x 2=my 2+2代入上式, x 1-a x 2-a
整理得
2my 1y 2+(2-a )(y 1+y 2)
=0,所以 2my 1y 2+(2-a )(y 1+y 2) =0.
(my 1+2-a )(my 2+2-a )
-16m -20
,代入上式,整理得 (-2a +9) ⋅m =0. y y =1222
4m +94m +9
9
由于上式对任意实数m 都成立,所以 a =.
2
9
综上,存在定点P (,0) ,使PM 平分∠APB . …………12分
2
将 y 1+y 2=
2
x 2y 2
12. 已知椭圆C 的方程为2+2=1(a >b >0), 左、右焦点分别为F 1、F 2,焦距为4,点M 是椭圆C 上一
a b
点,满足∠F 1MF 2=60︒, 且S ∆F 1MF =
3
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)过点P (0,2)分别作直线PA ,PB 交椭圆C 于A ,B 两点,设直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,且k 1+k 2=4,求证:直线AB 过定点,并求出直线AB 的斜率k 的取值范围。
(Ⅰ)在即
中, 设,
,即
, 由余弦定理得
,
,
得. …2分又因为,,,
又所以,所以所求椭圆的方程为
的斜率存在,设直线方程为
,
. ……6分
,
(Ⅱ)显然直线
由得,即,
,
, …8分 由得,,又,, 则,,
, …10分 那么
则直线直线
过定点, . ……12分
11