经典有介质的电场电压计算例题
01-08
例1. 如图1所示，半径为R 1的金属球A 的外面，包有同心的金属球壳B ，半径为R 2，外半径为R 3, A 、B 间充满相对电容率为εr 的均匀电介质，球壳B 外是空气，A 球上带有+Q 1，球壳B 上带有+Q 2求：(1)离球心距离为r 1 (R 1 R3) 的P 2点电场强度大小和电势；(3)球A 与球壳B 之间的电势差。 （15分） 解：由对称性分析得到：在距离球心等距离处电场强度的大小相等，且电场强度方向沿径向向外。因此可以做同心球壳作为高斯面。 （3分）
D 由高斯定理： ⎰⋅dS =∑q 得
s
2
⎧0, r
⎪Q ⎪Q
1⎪, R 1≤r ≤R 2⎪12, R 1≤r ≤R 22
⎪4πε0εr r ⎪4πr
D =⎨ E =⎨
0, R ≤r ≤R 2⎪1⎪0, R 1≤r ≤R 2⎪Q 1+Q 2⎪Q 1+Q 2
, r ≥R , r ≥R 3⎪⎪322
⎩4πr ⎩4πε0r
图1
（2分）
Q 14πε0εr r 12Q 14πε0εr r 2
∴P 1点r =r 1 E 1=
V 1=⎰Edl =⎰
r 1∞
R 2
∞
（2分）
r 1
dr +⎰
Q 1+Q 2Q 1Q 1+Q 2111
（2分） dr =(-) +
R 34πεr 24πε0εr r 1R 24πε0R 30
P 2点r =r 2 E 2=
∞
Q 1+Q 2
4πε0r 22
（2分）
V 2=⎰
r 2
Q 1+Q 2Q 1+Q 21
dr =2
4πε0r 4πε0r 2
R 2
R 2
Q 1
（2分）
U AB =⎰Edl =⎰
R 1
Q 14πε0εr r 2
R 1
dr =
4πε0εr
(
11
-) R 1R 2
（2分）