立方晶格晶面间距的计算_屈盛(1)
2015，24（4）：346－348云南民族大学学报：自然科学版，
doi ：12．3969/j．issn．1672－8513．2015．04．019
CN 53－1192/NISSN 1672－8513
http ：//xb.ynni. edu. cn
立方晶格晶面间距的计算
屈
盛，杨留方，刘涵哲，马雄韬，王玉林
（云南民族大学电气信息工程学院，云南昆明650500）
摘要：为了纠正补充教材和文献中有关立方晶格晶面间距的计算方法，对已有晶面间距的计算方
并给出一种利用密度比来计算晶面间距的方法，最后利用这些方法分法进行深入地总结与讨论，
别计算了面心立方晶格和体心立方晶格的晶面间距，不同方法的计算结果完全一致，从而验证了
这些计算方法的正确性．
关键词：面心立方晶格；体心立方晶格；晶面间距中图分类号：O481文献标志码：A 文章编号：1672－8513（2015）04－0346－03晶面间距是固体物理学中的一个很重要的参数，研究晶体结构时往往会用到它．在《X 射线衍射《材料科学》分析》和的不少教材中常常采用下式来
［1－3］
：计算立方晶格的晶面间距a
d =．（1）
h +k +l a 为立方系晶胞（单胞）的边长（即晶格常式中，
d 为相应的晶数），而（hkl ）是晶面的密勒指数，面间距．在教学实践中常常看到，在计算简单立
（1）式是正确无误的，但方晶格的晶面间距时，
在计算面心立方（FCC ）晶格和体心立方（BCC ）（1）式所得出的结果有时晶格的晶面间距时，
利用（1）式计算FCC 晶格的是错误的．例如，
（100）面和（111）面的晶面间距时，所得的结果即（1）式可以得出（100）面分别为a 和a /的晶面间距大于（111）面的晶面间距的结论．FCC 晶格中（111）但由晶体学知识我们知道，
面为最密排面，其晶面间距应该是所有晶面族中最大的．（1）式计算所得的结果与这个常识
可见（1）式并不适用于FCC 晶格晶面相矛盾，
间距的计算．4］文献［中指出了上述矛盾和（1）式的局限性，
然而作者通过计算却得出FCC 晶格中（100）面和（111）面的晶面间距是相等的（均为a /）．这显然
（100）面和（111）面上因为FCC 晶格中，是错误的，
（111）面是最密排面，的原子排列情况并不相同，而
收稿日期：2014－11－05．
基金项目：云南民族大学教学质量工程基金（[1**********]）
作者简介：屈盛（1976－），男，博士，讲师．主要研究方向：光伏科学与工程．
（100）面并不是最密排面，所以二者的晶面间距理
应是不相同的．鉴于教材和文献中对于晶面间距的计算（尤其是对于立方晶格的晶面间距的计算），过
本文对晶面间距的计算进行了深于笼统和不精确，
入的总结与讨论，并给出一种利用密度比来计算晶
面间距的方法，最后利用这些方法分别计算了FCC 晶格和BCC 晶格的晶面间距．如果不同方法的计算
则可以验证这些计算方法都是结果是完全相同的，正确的．
1
1. 1
晶面间距的传统计算方法
以原胞基矢描述的计算
在有关教材中，常常采用2种基本的重复单元
［5－6］
：一种是固体物来描述晶格的周期性和对称性
理学原胞，另一种是晶体学单胞（也称晶胞）．对于
原胞只在其顶角处存在原子，而晶布喇菲格子来说，
胞则在其顶角、面心、体心、底心处均可以存在原
［5－7］
．因此，原胞和晶胞并不完全相同，只有简单子
布喇菲格子（例如简单立方、简单四方、简单正交等晶格）的晶胞才和它的原胞相同．参照文献中的习a 2为了便于区别，本文也将原胞的基矢记为a 1、惯，
和a 3，对应的晶面的参数记为（h 1h 2h 3），称之为面指b 和c ，数；而将晶胞的基矢记为a 、对应的晶面的参
［7］
数记为（hkl ），称之为密勒指数．利用倒格矢的性（h 1h 2h 3）晶面族的晶面间距可以由下质可以知道，式计算得到
［7－9］
：
d h 1h 2h 3=
2π．
K h 1h 2h 3
（2）
（5）式比（1）式更能准确地反映出立方显然，
（1）式只是（5）式在晶系（hkl ）晶面族的晶面间距，
（1）式只适合于计算简特定情况下的形式，或者说，
单立方晶格的晶面间距，这就是本文开始部分中所提到的矛盾所产生的原因．
（5）式简化为（1）式的晶面条需要指出的是，
件和面心（体心）立方晶格产生X 线的衍射的晶面条件相同，例如，计算面心立方（111）面的晶面间距
k 、l 均为奇数的条件，时，由于此时满足h 、故（5）式简化成了（1）式，而此时该结构的（111）晶面恰好
也是对X 线产生衍射的晶面．
***
K h 1h 2h 3=h 1a 1+h 2a 2+h 3a 3a *其中，为倒格矢，i （i
=1，2，3）为倒格子基矢．对于立方系布喇菲格子，由于a 1=a 2=a 3，故晶面间距可表示为：
d h 1h 2h 3=
a 1
1
+h +h
23
．（3）
实际工作中，常常用密勒指数（hkl ）来表征晶面，而不是用面指数（h 1h 2h 3）来表征晶面．由于晶b 、c 和原胞的基矢a 1、a 2、a 3并不一定全胞的基矢a 、同，因而对于同一族晶面，其密勒指数（hkl ）与面指而（hkl ）和（h 1h 2h 3）相数（h 1h 2h 3）并不一定相同，
［7］
（2）式和同，也并不一定表示同一晶面族．所以，
（3）式并没有直接给出以（hkl ）标记的晶面族的晶
2
2. 1
晶面间距的密度比的计算方法
密度比的计算方法
．因此，（2）式和（3）对于实际工作来说，
式的使用很有限，必须找出利用密勒指数（hkl ）来面间距
［8］表示的晶面间距d hkl 的公式．
1. 2以单胞（晶胞）基矢描述的计算
［7］
如果将晶格中单位面积内所包含的原子数目定
义为面密度σ，而将单位体积内所包含的原子数目定义为体密度ρ，则可以利用下式来计算晶格的晶面间距：
d hkl =
2. 2
σ．ρ
（6）
8］，根据文献［利用密勒指数（hkl ）表示的晶面
［8］
间距d hkl 的计算公式可以归纳为：
d hkl
12π=
αK hkl
．
（4）
FCC 和BCC 的晶面间距的计算
*
K hkl =h a *+k b *+l c *为倒格式，b *、其中，而a 、
图1给出FCC 和BCC 晶格的不同晶面上的原子
排布情况，表1则给出了对应的不同晶面上的三角形所含原子数目、计算得到的面密度、或四边形的面积、
晶格的体密度和按照（6）式计算得到的晶面间距．表1的最后一列还给出了由（5）式计算得到的结果．由
（6）式的计算结果和（5）式的计算结表1可以看到，
果完全一致，因此两式可以相互验证对方的正确性
．
c *为倒格子基矢，而α=1或者2，是与结构有关的
系数．
对于立方系布喇菲格子，由于a =b =c ，故晶面间距可表示为：
d hkl
1=α
a h +k +l ．
（5）
7－8］可知，由文献［对于简单立方晶格，α恒
k 、l 均为奇数时等于1；而对于面心立方晶格，当h 、α等于1，否则α等于2；对于体心立方晶格，当h +k
+l =偶数时α等于1；否则α等于2．也就是说，面心：立方晶格的晶面间距的计算公式为
a
d hkl =，h 、k 、l 均为奇数；
h +k +l d hkl =
12
a h +k +l ［7－10］
，其他情况．
而体心立方晶格的晶面间距的计算公
［7，10］
：式为
d hkl =d hkl
a +k +l a h +k +l ，h +k +l =偶数；，其他情况．
利用（6）式计算晶面间距时，应注意体密度和
面密度的计算要正确．计算体密度时往往取一个晶胞来计算．例如一个体心立方晶胞和一个面心立方
3
晶胞的体积均为a ，且分别含有2个原子和4个原
1
=2
子，因此体心立方晶格和面心立方晶格的体密度分
33
别为2/a和4/a．而计算面密度时则稍微复杂些．例如一个体心立方晶胞和一个面心立方晶胞的（100）面的面积均为a 2，且分别含有1个原子和2个原子，如图1所示，因此，体心立方晶格和面心立方
22
晶格（100）面的面密度分别为1/a和2/a．故由（6）式计算得到的体心立方晶格和面心立方晶格（100）面的晶面间距均为a /2．
由上面的计算还可以知道，利用（6）式计算晶面间距比利用（5）式计算要复杂一些．但是（6）式没有使用条件，可以应用于任何一个晶面族的计算，而（5）
表1
结构
晶面（100）（110）（111）（100）（110）（111）
式应用于不同晶面族的计算时，系数α有所不同，如
果记不住其使用条件，那么有可能会计算错误．
3结语
文中的（1）式并不能正确地计算所有立方晶格
在计算面心立方晶格和体心立方晶格的晶面间距，
的晶面间距时，应该使用（5）式来计算或者采用本
（1）式只是（5）式在特文给出的（6）式来进行计算，
（5）式和定情况下的形式．从本文的例子可以看到，
（6）式的计算结果是一致的，它们可以相互验证对方的正确性．
利用密度比的方法来计算FCC 和BCC 的晶面间距时所得到的结果
所含原子数目222121/2
面密度2/a2/a24/（2）1/a2/a21/（2）
2/a34/a3体密度
按（6）式计算所得晶面间距
a /2a /（2）a /a /2a /a /（2）
按（5）式计算所得晶面间距
a /（2+0+0）=a /2a /（2+1+0）=a /（2a /+1+1=a /a /（2+0+0）=a /2a /+1+0=a /a /（2+1+1）=a /（2三角形或四边形的面积
a 222/2a 222/2面心立方
体心立方
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Calculation of theinterplanar spacing of cubic crystal lattices
QU Sheng ，YANG Liu-fang ，LIU Han-zhe ，MA Xiong-tao ，WANG Yu-lin
（School of Electrical and Information Engineering ，Yunnan Minzu University ，Kunming 650500，China ）
Abstract ：In order to improve the calculation of the interplanar spacing of cubic lattices in the textbooks and exist-ing literatures ，the paper discusses and summarizes the existing calculation methods forinterplanar spacing ，and pro-poses a calculation method based on the density ratio．Then ，theinterplanar spacing of the face －centered cubic lat-tice and the body －centered cubic lattice are calculated by these methods．The results of the different methods are the same ，which proves that all these calculation methods are correct．
Key words ：face-centered cubic （FCC ）lattice ；body-centered cubic （BCC ）lattice ；crystal interplanarspacing
（责任编辑
庄红林）