个人所得税分配方案

个人所得税分配方案

李翔 杨洁

【摘要】本方案是解决个人年纳税额最小且年收入分配（月工资与年终奖的分配）最

优问题。其关键是在年收入一定的情况下，如何分配每月工资与年终一次性奖金，从而达到纳税总额最小的目的。根据问题给出的每月工资应纳税计算方案以及一次性奖金纳税计算方案，得到了一个年纳税金最小的优化模型。结合此数学模型，运用matlab编程，得出最优解（见表1、表2），从而建立年纳税额最小且年收入分配最优方案。再结合此方案以及还贷的差分数学模型，得到一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。运用C ++编程得到最终结果@@@@ .

【关键词】年纳税额最小 收入分配最优 合理的贷款 差分方程 月还款上限

1 问题重述

个人所得税是调整征税机关与自然人(居民、非居民人)之间在个人所得税的征纳与管理过程中所发生的社会关系的法律规范的总称。凡在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满一年的个人，从中国境内和境外取得所得的，以及在中国境内无住所又不居住或者无住所而在境内居住不满一年的个人，从中国境内取得所得的，均为个人所得税的纳税人。2005年10月27日，第十届全国人大常委会第十八次会议再次审议《个人所得税法修正案草案》，会议表决通过全国人大常委会关于修改个人所得税法的决定，起征点1600元于2006年1月1日起施行。 2007年6月29日，第十届全国人民代表大会常务委员会第二十八次会议通过了《关于修改〈中华人民共和国个人所得税法〉的决定》，对个人所得税法进行了第四次修

2007年12月29日，正。十届全国人大常委会第三十一次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定。个人所得税起征点自2008年3月1日起由1600元提高到2000元。 即工资、薪金所得，以每个月收入额（已按规定扣除“四金”）减除费用2000元后的余额，为应纳税所得额。（“四金”是指：养老保险金、 医疗保险金、失业保险金、住房公积金） 其具体征税方案如下：

一、每月工资应纳税计算方案：

月应纳税所得额=月工薪收入（已按规定扣除“四金”）-费用扣除标准（2000）

超额累进税率

级数 月应纳税所得额 税率（％） 速算扣除数 1 5 0 不超过500元部分 2 10 25 超过500元至2000元的部分 3 15 125 超过2000元至5000元的部分 4 20 375 超过5000元至20000元的部分 5 25 1375 超过20000元至40000元的部分 6 30 3375 超过40000元至60000元的部 7 35 6375 超过60000元至80000元的部分 8 40 10375 超过80000元至100000元的部分 9 45 15375 超过100000元的部分

例如： 如某人月工薪收入为3900元，则月应纳税所得额=3900-2000=1900元,当月应交个人所得税额=500×5%+（1900-500）×10%=165元；或当月应交个人所得税额=应纳税所得额×适用税率-速算扣除数= 1900×10%-25=165元。

二、年终一次性奖金纳税计算方案：

1．先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定适用税率和速算扣除数。

2.将雇员个人当月内取得的全年一次性奖金，按本条第1项确定的适用税率和速算扣除数计算征税。

例如：某月份向其员工发放工资2400元，年终一次性奖金6000元，应缴个税为：(2400-2000)×5%＝20元，由于 2400元已超过费用扣除额2000元，则计算年终奖税款时无需再减除差额，则年终奖部分的个税应税所得额为6000元，除以12后为500元，使用税率 5%，速算扣除数为0，年终奖部分的应纳税额=6000×5%＝300元，该员工当月应交纳个税=20+300=320元。如果该员工当月工资薪金所得为1600元，低于税法规定的费用扣除额，应将全年一次性奖金减除差额后的余额，年终奖应纳税所得额=6000-400=5600元，除以12后为466.7元，适用税率5%，速算扣除数为0，即5600×5%=280元。

问题

1、 请根据以上纳税方案，为某公司职员制定其每年收入分配方案使其 年度纳税总额最少（（（（假设其年收入为10万元，公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额）。

2、 请制定一张该公司职员年度收入最优分配方案表，年收入从3万元以 1000元为间隔到15万元。

3、 现假设该公司某夫妇年收入为12.5万元，及如果买住房住房公积金可以年支配1.5万元，并打算贷款购买住房，住房公积金贷款利率与银行贷款利率如下表，其中住房公积金每对夫妇最多贷款额为50万元。如果新房的售价为100万元，首付款必须30%。请你替该夫妇制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。

个人住房公积金贷款年利率表

贷款期限 5年以下（含）

4.02 利率(%)

押贷款年利率表 贷款期限 利率(%)

1年

1至3年（含）

3至5年（含）

5年以上

5年以上 4.59

个人住房银行抵

5.31

5.40

5.76 5.94

2 符号说明及模型假设

2.1 符号说明

A —— 年总收入； x —— 每月工资；

y —— 年终一次性奖金； f(x) —— 一年工资应纳税额；

f(y) —— 年终一次性奖金应纳税额； F(x) —— 一年应纳税总额； A1 —— 住房公积金贷款额；

A2 —— 个人住房银行抵押贷款额； B1 —— 住房公积金贷款月均还款额；

B2 —— 个人住房银行抵押贷款月均还款额； R1i —— 公积金贷款年利率；

r1i —— 公积金贷款月利率；

R2j —— 个人住房银行抵押贷款年利率；

r2j —— 个人住房银行抵押贷款月利率； m —— 住房公积金贷款还款年限；

n —— 个人住房银行抵押贷款还款年限；

X —— 每月还款上限.

(下标i=1,2. R1i分别代表住房公积金贷款5年以下和5年以上时年税率,r1i为对应的月税率; j=1,2,3,4 . R 2j

分别代表银行贷款1年,1-3年,3-5年,5年以上的年税率,r2j为对应的月税率)

2.2 模型假设

（1）公司允许自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额； （2）每月工资一定；

（3）贷款期限内利率不变； （4）贷款期限以年为单位；

（5）利率转化函数合理性及实用性已经实践检验； （6）每月等额还款;

（7）问题3中夫妇可自行决定月收入和年终一次性奖金的分配数额 （8）住房公积金均摊到每月发放.

3 问题分析与模型建立

3.1 年纳税金最小的优化模型的分析与建立

根据每月工资应纳税计算方案，对于问题1、2，我们建立一个以每月工资x为自变量，

一年工资总税额为因变量的分段函数f(x).

同理，根据一次性奖金纳税计算方案，建立一次性年终奖税额对年终奖y的分段函数f(y). 要使得年纳税总额最小，即f(x)+f(y)最小，又需满足12x+y=A.

所以可建立模型（1）： min[f(x)+f(y)];

s.t. 12x+y=A , x>0 ,y>0. 3.1

式(1)为年纳税金最小优化模型。

3.2 合理还贷模型的分析与建立

一个合理的贷款方案，当然是在贷款相同数额的情况下,贷款时间越短最终所付利息越少，越好；但必需考虑贷款人的还款能力，月还款额不能超出其可支配金额，贷款年限稍长一点，可以降低月还款额，所以需要找一个平衡点即满意解.

在这里我们考虑用差分法建立一还贷的离散模型，并采用月等额还本息的方式.利用差分法容易得到月均还款额

(1r0)n0

B0rAn000

(1r0)

r0为月利率，A0(元)为贷款金额，n0 (月)为贷款期限.

由此，并根据贷款由公积金贷款和个人住房银行抵押贷款构成,对于问题3，可建立模型(2)：

min[12mB1+12nB2];

s.t. B2+B2X ，X>0. 3.2.a



4 模型求解与方案的确定

4.1 模型(1)的求解

要求式3.1的最优值可利用模拟仿真的方法。若A为常数，每确定一个x值，则有唯一的y值与之对应来满足条件.

由于数据量庞大，难以求解，不妨取x22000，y26000 ；据工资应纳税计算方案和年终一次性奖金纳税计算方案有：

0

125%(x2000)

)25] f(x)12[10%(x2000

12[15%(x2000)125]12[20%(x2000)375]

0x2000;

2000x2500;

2500x4000; 4.1.a 4000x7000;7000x22000;

y(2000x)

5%y

12500;

10%y25500y

f(y)



12

2000;

4.1.b

15%y1252000y



125000;



20%y3755000y

12

20000.

再由12x+y=A,式4.1.a和4.1.b可以得到： 当0x2000时，

A80000.55x0.05A100

11xA

11;1.1x0.1AA26000 F(x)

225

11xA8000

11

;A62000 1.65x0.15A425

11xA26000

11;A152000

2.2x0.2A77511xA62000

11

.

当2000x22000时，

0.6x0.05A

A

12500xA12;1.2x0.1A25A F(x) 122000xA

12

500;A1.8x0.15A125

125000xA

122000;A

2.4x0.2A3751220000xA

12

5000. 对于式4.1.c及4.1.d，我们可用matlab编程求解，对于4.1c程序如下：

for A=30000:1000:150000; //A从30000每隔1000到150000循环 x=0:0.1:2000; //x的范围 y1=zeros(size(x)); y2=zeros(size(x)); y3=zeros(size(x)); y4=zeros(size(x)); N=length(x); for k=1:N

if x(k)>=(A-152000)/11&&x(k)

4.1.c

4.1.d

elseif x(k)>=(A-62000)/11&&x(k)

elseif x(k)>=(A-26000)/11&&x(k)

elseif x(k)>=(A-8000)/11&&x(k)

y=y1+y2+y3+y4; //y表示F(x)

[Ymin,t]=min(y); //求F(x)的最小值Ymin，t表示其位置 Ymin

x(t) //每月工资最优分配额 end

对于4.1.d程序如下：

for A=30000:1000:150000; //A从30000每隔1000到150000循环 x=2000:0.1:A/12; //x的范围 y1=zeros(size(x)); y2=zeros(size(x)); y3=zeros(size(x)); y4=zeros(size(x)); y5=zeros(size(x)); y6=zeros(size(x)); y7=zeros(size(x)); y8=zeros(size(x)); N=length(x); for k=1:N

if x(k)=2000 y1(k)=0.6*x(k)-1200;

elseif x(k)2500 y2(k)=1.2*x(k)-2700;

elseif x(k)4000 y3(k)=1.8*x(k)-4100; elseif x(k)7000 y4(k)=2.4*x(k)-8500; end end

hold on; for k=1:N

if x(k)A/12-12500 y5(k)=-2.4*x(k)+0.2*A-375;

elseif x(k)=A/12-5000

y6(k)=-1.8*x(k)+0.15*A-125;

elseif x(k)=A/12-2000 y7(k)=-1.2*x(k)+0.1*A-25;

elseif x(k)=A/12-500 y8(k)=-0.6*x(k)+0.05*A; end end

y=y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8; //y表示F(x) plot(x,y,'g') //画出F(x)关于x的图像

[Ymin,t]=min(y); //求F(x)的最小值Ymin，t表示其位置 Ymin

x(t) //每月工资最优分配额 end

求得结果经Excel处理后如下表：

2000x22000 最优分配 0x2000最优分配

年收入（元） 30000 31000 32000 33000 34000 35000 36000 37000 38000 39000 40000 41000 42000 43000 44000 45000 46000 47000 48000 49000 50000 51000 52000 53000 54000 55000

最小税额（元） 月工资（元） 年终奖（元） 300 350 400 450 500 550 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2775

2000 2083.4 2166.7 2250 2333.4 2416.7 2500 2583.4 2666.7 2750 2833.4 2916.7 3000 3083.4 3166.7 3250 3333.4 3416.7 3500 3583.4 3666.7 3750 3833.4 3916.7 4000 2583.4

6000 5999.2 5999.6 6000 5999.2 5999.6 6000 5999.2 5999.6 6000 5999.2 5999.6 6000 5999.2 5999.6 6000 5999.2 5999.6 6000 5999.2 5999.6 6000 5999.2 5999.6 6000 23999.2

最小税额（元） 月工资（元） 年终奖（元） 300 675 775 875 975 1075 1175 1275 1375 1475 1575 1675 1775 1875 1975 2075 2175 2275 2375 3625 3775 3925 4075 4225 4375 4525

2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000

6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 20000 21000 22000 23000 24000 25000 26000 27000 28000 29000 30000 31000

57000 2975 58000 3075 59000 3175 60000 3275 61000 3375 62000 3475 63000 3575 64000 3675 65000 3775 66000 3875 67000 3975 68000 4075 69000 4175 70000 4275 71000 4375 72000 4475 73000 5625 74000 5775 75000 5925 76000 6075 77000 6225 78000 6375 79000 6525 80000 6675 81000 6825 82000 6975 83000 7125 84000 7275 85000 7425 86000 7575 87000 7725 88000 7875 89000 8025 90000 8175 91000 8325 92000 8475 93000 8625 94000 8775 95000 8925 96000 9075 97000 9225 98000 9375 99000

9525

2750 24000 2833.4 23999.2 2916.7 23999.6 3000 24000 3083.4 23999.2 3166.7 23999.6 3250 24000 3333.4 23999.2 3416.7 23999.6 3500 24000 3583.4 23999.2 3666.7 23999.6 3750 24000 3833.4 23999.2 3916.7 23999.6 4000 24000 4083.4 23999.2 4250 23000 4166.7 24999.6 4333.4 23999.2 44167 -453004 4500 24000 4583.4 23999.2 4666.7 23999.6 4750 24000 4833.4 23999.2 4916.7 23999.6 5000 24000 5083.4 23999.2 5166.7 23999.6 5250 24000 5333.4 23999.2 5416.7 23999.6 5500 24000 5583.4 23999.2 5666.7 23999.6 5750 24000 5833.4 23999.2 5916.7 23999.6 6000 24000 6083.4 23999.2 6166.7 23999.6 6250

24000

4825 2000 4975 2000 5125 2000 5275 2000 5425 2000 5575 2000 5725 2000 5875 2000 6025 2000 6175 2000 6325 2000 6475 2000 6625 2000 6775 2000 6925 2000 7075 2000 7225 2000 7375 2000 7525 2000 7675 2000 7825 2000 7975 2000 8125 2000 8275 2000 8425 2000 8575 2000 8725 2000 8875 2000 11825 2000 12025 2000 12225 2000 12425 2000 12625 2000 12825 2000 13025 2000 13225 2000 13425 2000 13625 2000 13825 2000 14025 2000 14225 2000 14425 2000 14625

2000

33000 34000 35000 36000 37000 38000 39000 40000 41000 42000 43000 44000 45000 46000 47000 48000 49000 50000 51000 52000 53000 54000 55000 56000 57000 58000 59000 60000 61000 62000 63000 64000 65000 66000 67000 68000 69000 70000 71000 72000 73000 74000 75000

101000 9825 102000 9975 103000 10125 104000 10275 105000 10375 106000 10475 107000 10575 108000 10675 109000 10875 110000 11075 111000 11275 112000 11475 113000 11675 114000 11875 115000 12075 116000 12275 117000 12475 118000 12675 119000 12875 120000 13075 121000 13275 122000 13475 123000 13675 124000 13875 125000 14075 126000 14275 127000 14475 128000 14675 129000 14875 130000 15075 131000 15225 132000 15375 133000 15525 134000 15675 135000 15825 136000 15975 137000 16125 138000 16275 139000 16425 140000 16575 141000 16725 142000 16875 143000

17025

6416.7 23999.6 6500 24000 6583.4 23999.2 6666.7 23999.6 7000.1 20998.8 7000.1 21998.8 7000.1 22998.8 7000.1 23998.8 7083.4 23999.2 7166.7 23999.6 7250 24000 7333.4 23999.2 7416.7 23999.6 7500 24000 7583.4 23999.2 7666.7 23999.6 7750 24000 7833.4 23999.2 7916.7 23999.6 8000 24000 8083.4 23999.2 8166.7 23999.6 8250 24000 8333.4 23999.2 8416.7 23999.6 8500 24000 8583.4 23999.2 8666.7 23999.6 8750 24000 7000 46000 7000.1 46998.8 7000.1 47998.8 7000.1 48998.8 7000.1 49998.8 7000.1 50998.8 7000.1 51998.8 7000.1 52998.8 7000.1 53998.8 7000.1 54998.8 7000.1 55998.8 7000.1 56998.8 7000 58000 7000.1

58998.8

15025 2000 15225 2000 15425 2000 15625 2000 15825 2000 16025 2000 16225 2000 16425 2000 16625 2000 16825 2000 17025 2000 17225 2000 17425 2000 17625 2000 17825 2000 18025 2000 18225 2000 18425 2000 18625 2000 18825 2000 19025 2000 19225 2000 19425 2000 19625 2000 19825 2000 20025 2000 20225 2000 20425 2000 20625 2000 20825 2000 21025 2000 21225 2000 21425 2000 21625 2000 21825 2000 22025 2000 22225 2000 22425 2000 22625 2000 22825 2000 23025 2000 23225 2000 23425

2000

77000 78000 79000 80000 81000 82000 83000 84000 85000 86000 87000 88000 89000 90000 91000 92000 93000 94000 95000 96000 97000 98000 99000 100000 101000 102000 103000 104000 105000 106000 107000 108000 109000 110000 111000 112000 113000 114000 115000 116000 117000 118000 119000

144000 145000 146000 147000 148000 149000 150000

17175 17375 17575 17775 17975 18175 18375

7000.1 7083.4 7166.7 7250 7333.4 7416.7 7500

59998.8 59999.2 59999.6 60000 59999.2 59999.6 60000

23625 23825 24025 24225 24425 24625 24825

2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000

120000 121000 122000 123000 124000 125000 126000

表1 表2

从两表对比下，可以很直观地看出当年收入一定时，工资和年终奖的最优分配.对于问题1,当年收入A=100000元时，月工资x=6333.4元，年终奖y=23999.2元，此时年纳税额最小为9675元. 显然，当我们可以自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额时，表1才最佳选择，因为当A一定时，表1中对应的纳税额比表1中对应的纳额金小，有时很明显. 所以对于问题2，表1是年收入从3万元以1000元为间隔到15万元时的收入最优分配方案表.

4.2 模型(2)的求解

在问题3中，夫妇年收入A=125000元，住房公积金均摊到每月为15000/12=1250元，如果该夫妇可自行决定月收入和年终一次性奖金的分配数额，对照表1，月工资x=8416.7元是其最优决策.

此时每月还款上限 Xx1250.

由于购房需100万，首付30%后，剩余70万必须贷款。对照个人住房公积金贷款年利率表和个人住房银行抵押贷款年利率表，选择住房公积金贷款必然是最佳选择，因为税率较低，但其贷款有上限50万，所以剩余20万选择个人住房银行抵押贷款。据经验与实践，月等额还本息的方式较本金还款方式为方便且贷款相同时间，到期后所还款总数前者要比后者少一些.最关键的是X确定，在这里我们把问题简化，假定该夫妇用月收入的一半用于还贷.

综上所述最合理贷款方案为： A1=500000元 ； A2=200000元；采用月等额还本息的方式；每月还款总额(x+1250)/2 =4833.35元，这里不妨取X=4800元 . 对于模型(2),把B1、B2具体化可得：

(1r2j)12nr2j(1r1i)12mr1i

A112nA2; min12m12m12n

(1r1i)1(1r2j)1

(1r2j)12nr2j(1r1i)12mr1i

A1A2X,X0. 4.2.a s.t.

(1r1i)12m1(1r2j)12n1

其中 A1=500000，A2=200000，X=4800 ，r1i=R1i /12, r2j=R2j /12 . R1i , R2j可见问题3.

在具体求解过程中，考虑到问题3的实际情况，即贷款额较高，夫妇俩不可能在一年甚

至几年之内还清. 为了求解方便，在用C++编程时没有考虑住房公积金贷款与个人住房银行

抵押贷款在一年内还清，但这对求解是没有影响的.

C++程序代码如下：

#define M 26

#define N 29

#include

#include

using namespace std;

int main()

{

double a[M][N],b[M][N];

double

x1,x2,Xm=4800,r=0.0459/12,r1=0.054/12,r2=0.0576/12,r3=0.0594/12;

int A=500000,B=200000,m=0,n=0,i,j,t=2000000;

for(i=0;i

for(j=0;j

{

a[i][j]=0;

b[i][j]=0; }

for(i=0;i

for(j=0;j

{

{if(j==0||j==1){

x1=pow(1+r,(i+5)*12)*r*A/(pow(1+r,(i+5)*12)-1);

x2=pow(1+r1,(j+2)*12)*r1*B/(pow(1+r1,(j+2)*12)-1);

a[i][j]=x1+x2;

b[i][j]=12*x1*(i+5)+12*x2*(j+2);}

else

if(j==2||j==3) {

x1=pow(1+r,(i+5)*12)*r*A/(pow(1+r,(i+5)*12)-1);

x2=pow(1+r2,(j+2)*12)*r2*B/(pow(1+r2,(j+2)*12)-1);

a[i][j]=x1+x2;

b[i][j]=12*x1*(i+5)+12*x2*(j+2);}

else {

x1=pow(1+r,(i+5)*12)*r*A/(pow(1+r,(i+5)*12)-1);

x2=pow(1+r3,(j+2)*12)*r3*B/(pow(1+r3,(j+2)*12)-1);

a[i][j]=x1+x2;

b[i][j]=12*x1*(i+5)+12*x2*(j+2);}

}

if(a[i][j]

t=b[i][j];

m=i+5;

n=j+2;

}

}

for(i=0;i

for(j=0;j

if(a[i][j]

t=b[i][j];

m=i+5;

n=j+2;

}

for(i=0;i

for(j=0;j

{

cout

}

cout

cout

cout

return 0;

}

求得结果为m=21，n=15.由此可得B1=3095.2元 ，B2=1704.8元.

也就是说个人住房公积金贷款21年还清，每月还3095.2元. 个人住房银行抵押贷款15年

还清，每月还款额为1704.8元.

所以合理贷款方案为：

个人住房公

积金贷款

个人住房银

行抵押贷款 贷款金额(元) 500000 200000

700000 月还款金额(元) 还款年限(年) 总额(元) 3095.2 1704.8 4800 21 15 779990.4 306864 1086854.4 总额(元)

5 模型的评价

5.1 模型优点

(1) 模型求解过程中运用了多种数学软件计算,严格地对其求解,具有科学性.

(2) 建模的方法和思想对其他类似的问题适用,尤其是合理还贷模型很有实用性.

(3)@@@

5.2 模型缺点

(1) 由于模型求解时数据量庞大,所以没有把所有可能数据都求解出来,只限于对问题的求解;

(2) 在模型中使用的假设较多;

(3) 建模单一，没有再建立其他模型解决问题;

(4) 问题3中，月还款额上限做理了想化处理，实际应考虑许多因素.