专题五--分解方法的延拓(主元法和换元法)
专题五——分解方法的延拓
1、知识点：因式分解是中学阶段主要内容，是针对多项式的一种恒等变形，主要方法有提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法。一些较复杂的因式分解问题，常用到换元法和主元法。
换元法：对结构比较复杂的多项式，把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，使复杂问题简单化、明朗化，减少多项式项数、降低多项式机构复杂程度。 主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构
课外拓展与延伸
例1：（十字相乘法）因式分解：
（1）x 2-5x +6 （2）x 2-26x -56 （3）x 2+5xy +6y 2
（4）2x 2-x -3 （5）2x 2-53x +98 （6）4x 2+12xy -7y 2 变式训练：
（1）x 2-x -12 （2）x 2-4xy -12y 2 （3）x 2-8x +12 （4）x 2+8xy +12y 2
（5）x 2-5x -6 （6）y 2-y -20 （7）m 2-6m +8 （8）m 2+50m +49
6x 2-7x +2 2x 2-5x -12 3x 2-17x +10 （9）（10）（11）（12）3x 2-11xy +6y 2
（13）3x 2-2xy -8y 2 （14）5x 2+17x -12 （15）6m 2-m -35
（16）a 2x 2-a 2xy -30a 2y 2（17）(m +n ) 2+2(m +n ) -15 （18）x 2-(a +1) x +a
（19）y 4-(a 2+b 2) y 2+a 2b 2
例2：（分组分解法）因式分解：
1、（1）a 2-ab +ac -bc （2）2ax -10ay +5by -bx
变式训练：（1）3ax +4by +4ay +3bx （2）m 2+5n -mn -5m
（3）20(x +y ) +x +y （4）2m -2n -4x (m -n ) （5）ac +bc +2a +2b
（6）a 2+ab -ac -bc
2、（1）x 2-y 2+ay +ax （2）a 2-2ab +b 2-c 2 （3）x 3+x 2y -xy 2-y 3
变式训练：（1）1-m 2-n 2+2mn （2）x 2-y +y 2-2xy +x
（3）3a 2-6ab +3b 2-5a +5b （4）9m 2-6m +2n -n 2（5）4a 2+12ab +9b 2-25
（6）x 2+6xy +9y 2-4m 2-4mn -n 2
例3：（换元法）因式分解：
（1）(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3) +10 （2）(x +1)(x +2)(x +3)(x +6) +x 2
（3）(2x -3y ) 3+(3x -2y ) 3-125(x -y ) 3
变式训练：
（1）(x 2+4x +8) 2+3x (x 2+4x +8) +2x 2（2）(2x 2-3x +1) 2-22x 2+33x -1
（3）(x 2+x +1)(x 2+x +2) -12 （4）(a 2+a +1)(a 2-6a +1) +12a 2
（5）(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1) +10x 4 （6）(6x -1)(2x -1)(3x -1)(x -1) +x 2
（7）(2a +5)(a 2-9)(2a -7) -91 （8）(x 2-1)(x +3)(x +5) +12
（9）(x -2) 3-(y -2) 3-(x -y ) 3 （10）1999x 2-(19992-1) x -1999
（11）(x +y -2xy )(x +y -2) +(xy -1) 2 （12）ab (a +b ) 2-(a +b ) 2+1 例4：（主元法）因式分解：x 2y -y 2z +z 2x -x 2z +y 2x +z 2y -2xyz 变式训练：（1）a 2(b -c ) +b 2(c -a ) +c 2(a -b ) （2）x 2-y 2+3x -y +2
（3）x 2+xy -2y 2-x +7y -6 （4）x 2+xy -6y 2+x +13y -6
（5）x 3+(2a +1) x 2+(a 2+2a -1) x +(a 2-1) （巧选主元） 探索创新：
1：对方程a 2b 2+a 2+b 2=2004，求出至少一组整数解。
2：已知在 ABC 中，a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0（a 、b 、c 是三角形三边的长），求证：a +c =2b 。