幂函数指数函数及其性质
幂函数指数函数及其性质
【考点导读】
1
1
1. 了解幂函数的概念,结合函数y =x ,y =x ,y =x ,y =,y =x 2的图像了解它们
x
23
的变化情况;
2. 理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性; 3. 在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 【基础练习】
1. 指数函数f (x ) =(a -1) x 是R 上的单调减函数,则实数a 的取值范围是(1,2). 2. 把函数f (x ) 的图像分别沿x 轴方向向左,沿y 轴方向向下平移2个单位,得到f (x ) =2x 的图像,则f (x ) =x -2. 3. 函数y =0.3
2-x -x 2
1
1
的定义域为___;单调递增区间(-∞, -];值域4].
4. 已知函数f (x ) =a +
11
-是奇函数,则实数a 的取值.
4x +15. 要使y =()
1
2
x -1
+m 的图像不经过第一象限,则实数m 的取值范围m ≤-2.
6. 已知函数f (x ) =a 2x -1-1(a >0, a ≠1) 过定点,则此定点坐标为(,0) . 【范例解析】
例1. 比较各组值的大小: (1)0.4
-b 0.2
1,0.2
b
0.2a
,2
0.2
,2;
1.6
(2)a ,a ,a ,其中0
1
111
(3)() 3,() 2.
23
分析:同指不同底利用幂函数的单调性,同底不同指利用指数函数的单调性.
0.20.2
∴0.20.2
-b a b
(2)0a >a .
111111
32
(3)() >() >() 2.
223
解:(1)
点评:比较同指不同底可利用幂函数的单调性,同底不同指可利用指数函数的单调性;另注
意通过0,1等数进行间接分类.
-2x +b
例2. 已知定义域为R 的函数f (x ) =x +1是奇函数, 求a , b 的值;
2+a
b -11-2x
=0⇒b =1∴f (x ) =解:因为f (x ) 是奇函数,所以f (0)=0,即 x +1
a +2a +2
1
1-2
又由f (1)= -f (-1)知=-⇒a =2.
a +4a +1x -2x
(a >1) ,求证: 例3. 已知函数f (x ) =a +
x +1
1-
(1)函数f (x ) 在(-1, +∞) 上是增函数; (2)方程f (x ) =0没有负根. 分析:注意反证法的运用.
证明:(1)设-1
x
x
3(x 2-x 1)
,
(x 1+1)(x 2+1)
a >1,∴a x 2-a x 1>0,又-10,x 1+1>0,x 2+1>0,则
f (x 1) -f (x 2)
故函数f (x ) 在(-1, +∞) 上是增函数.
(2)设存在x 0
x 0
=-
x 0-2x
.又0
∴0
即
x 0-2
1
点评:本题主要考察指数函数的单调性,函数和方程的内在联系.
【反馈演练】
1.函数f (x ) =a (a >0且a ≠1) 对于任意的实数x , y 都有( C )
A .f (xy ) =f (x ) f (y )
B .f (xy ) =f (x ) +f (y )
x
C .f (x +y ) =f (x ) f (y )
x
D .f (x +y ) =f (x ) +f (y )
2.设3=
1
,则( A ) 7
A .-2
3.将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像,可得到函数y =log 2(x +1) 的图像.
A .先向左平行移动1个单位 C .先向上平行移动1个单位
B .先向右平行移动1个单位 D . 先向下平行移动1个单位
A .a >1, b
B .a >1, b >0 D .0
4.函数f (x ) =a x -b 的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( C )
C .00
5.函数y =a x 在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3,则a 的值为. 6.若关于x 的方程4+2+m -2=0有实数根,求实数m 的取值范围.
x x
解:由4+2+m -2=0得,m =-4-2+2=-(2+) +
x
x
x
x x
12
2
9
7.已知函数f (x ) =
a
(a x -a -x )(a >0, a ≠1) . 2
a -2
(1)判断f (x ) 的奇偶性;
(2)若f (x ) 在R 上是单调递增函数,求实数a 的取值范围.
a
(a -x -a x ) =-f (x ) ,故f (x ) 是奇函数. 2
a -2
a 1
(a x 1-a -x 2)(1+x 1+x 2) , (2)设x 1
a -2a
解:(1)定义域为R ,则f (-x ) =
当0
2
当a >1时,得a -2>
0,即a >
2
综上,实数a
的取值范围是(0,1)⋃+∞) .