"耐 克" 函数及其性质
“
对于函数
耐 克” 函数
f (x ) =x +
1x
及其性质
f (x ) =x 和f (x ) =
1x
来说,大家并不陌生,掌握的也不错。但对于函数
f (x ) =x +
1x
来说,看起来简单,掌握就不那么容易了, 其图象形如“耐克”商标,由此得名“耐克”函数。
下面我们就研究其函数(1)定义域:x ∈
f (x ) =x +
1x
的一些性质(定义域,值域,图像,对称性,单调性,奇偶性)
(-∞,0)(0, +∞)
11
=-(x+)=-f(x), 故f(x)为奇函数,-x x
(2)奇偶性:首先函数定义域关于原点对称,又f(-x)=-x+所以函数的图像(如下)关于原点对称(对称性)
(3) 图像如下:
图像为双曲线,分两支;中心对称图形,以直线是个“耐克”的形状。
y =x 和x =0为渐近线,在第一象限形状就
(4)值域:1)当x >0时:
111>
0利用均值定f (x ) =x +≥=2. 当且x =x x x 即x =1
时,等号成立; ∴f (x ) ≥2
1
>0, 利用均值定理
: x
2)当x 0, -
-f (x ) =f (-x ) =-x +
11即x =-1时,等号成立。≥=2. 当且仅当-x =-x -x ∴f (x ) ≤-2 综上知,函数f (x ) 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
(5)单调性:由于奇函数在对称区间上的单调性相同,故只研究当x ﹥0时的单调性:
1)定义法:任取x 1, x 2∈
(0, +∞)且x 1
⎛⎛11⎫1⎫⎛1⎫
A =f (x 2) -f (x 1)= x 2+⎪- x 1+⎪=(x 2-x 1)+ -⎪
x 2⎭⎝x 1⎭⎝⎝x 2x 1⎭
⎛(x 2x 1-1)1⎫
=(x 2-x 1) 1-=x -x ⎪(21)x x x 2x 1⎝21⎭
x 2>x 1>0∴x 2-x 1>0, x 2x 1>0只有x 2x 1-1正负不定,故只要限定x 1, x 2在某个范围内取值
即可,因此有:1当1≤
x 1
时,x 2x 1-1>0,此时A >0.
20当0
由上可知,函数在 (0,1)上单调递减,在[1,+∞) 上单调递增. 又由函数在对称区间上单调性相同知,f(x)在(-∞,-1]上单调递增, 在(-1,0)上单调递减.
2) 导数法:
f (x ) =x +
11'
∴f (x ) =1-2x x
则当x ∈
(-∞, -1)(1, +∞)时,
f ' (x ) =1-
1
>0 当x ∈(-1,0)2x
(0,1)时,f ' (x ) =1-
1x
1
单调递增. 在(-∞,-1]和(0,1)上单调递减.
同样可研究其他函数: 1.函数
f (x ) =x -
的性质:
(1)定义域:x ∈
(-∞,0)(0, +∞)
f (-x ) =-x -
11⎫⎛
=- x -⎪=-f (x ), 故f(x)为奇函-x x ⎭⎝
(2)奇偶性:定义域关于原点对称, 又
数,所以函数的图像(如下)关于原点对称(对称性)
(3)图像如下:
图像亦为双曲线,以直线以直线
y =x 和x =0为渐近线。从其图像上来看f (x ) =x -
1x
在
(-∞,0) 和(0,∞) 上单调递增,其值域为R
2. 函数
f (x ) =ax n +
b
(a , b >0, n ∈N +) n x
(1)定义域:
x n ≠0, ∴x ≠0 故x ∈(-∞,0)(0, +∞)
(2)奇偶性:首先定义域关于原点对称:1)当n 为偶数时,
f (-x ) =a (-x ) n +
b b n
=ax +=f (x ) 所以f (x ) 为偶函数,故其图像关于y 轴对称;
(-x ) n x n
2)当n 为奇数时,f (-x ) =a (-x ) n +
b b b n n
=-ax +=-(ax +) =-f (x )
(-x ) n -x n x n
所以
f (x ) 为奇函数,故其图像关于原点对称。
(3)图像如下:
(4)值域:1)当
n 为偶数时,当x >0时,ax n >0,
b
>0,则利用均值不等式
,x n
f (x ) =ax n +
故
b b n ax =
当且仅当≥=x n x n 即x =时等号成立,
f (x ) ≥又当n 为偶数时f (x ) 为偶函数,而偶函数在对称区间上的值域相同,所以当x
0f (x ) ≥
x =-时,
f (x ) =ax n +
b x n
(当n 为偶数时)的
最小值为
⎡⎣+∞
)
则利用均值不等式
,
2)当
n
为奇数时,当
x >0
时,
b
ax n >0n >0,
x