弹性力学试卷2017上学期答案及评分标准

2016-2017第二学期弹性力学考试答案及评分标准

一、 概念问答题

1、 以应力作未知量，应满足什么方程及什么边界条件？

答：以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。（5分） 2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？

答：平面问题有σx 、σy 、τxy 、εx 、εy 、γxy 、u 、v 八个，方程有两个平衡方程，三个几何方程，三个物理方程。（5分） 3、已知σx =200Pa ，σy =-100Pa ，τxy =-50Pa 及σr =100Pa ，σθ=300Pa ，

τr =-100Pa

，试分别在图中所示单元体画出应力状态图。

x

=200Pa

Pa

Pa

=-100Pa

y

r =-100Pa

（2分）（3分） 4、简述圣维南原理。

答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。（5分） 5、简述应变协调方程的物理意义。 答：

⑴形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体→位移连续→几何方程→形变协调条件。（2分） ⑵形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。 形变协调→对应的位移存在→位移必然连续；

形变不协调→对应的位移不存在→不是物体实际存在的形变→微分体变形后不保持连续。（3分） 6、刚体位移相应于什么应变状态。

答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为

εx =εy =γxy =0（5分）

7、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程？ 答：由位移变分方程可得

⎤δ∏=0 δ⎡

⎣U -⎰⎰⎰(Xu +Yv +Zw )dxdydz -⎰⎰(++)dS ⎦=0或

δ∏=U -⎰⎰⎰(Xu +Yv +Zw )dxdydz -⎰⎰(++)dS

其中∏为物体得总势能（形变势能和外力势能在之和），δ∏=0称为最小势能原理，它表明物体处于平衡位置时，总势能的一阶变分为零。可以证明：在线弹性体中，即在所有几何可能的位移中，实际的位移使总势能取最小值。δ2∏>0，

最小势能原理等价于平衡微分方程和静力边界条件。（5分） 二、已知下述应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系（5分）

εx =A 0+A 1(x 2+y 2) +x 4+y 4εy =B 0+B 1(x 2+y 2) +x 4+y 4 γxy =C 0+C 1xy (x 2+y 2+C 2)

答：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即

22

∂2εx ∂εy ∂γxy

（2分） +2=2

∂y ∂x ∂x ∂y

由题中给出的应变可得：

22∂ε∂γxy ∂2εx y 22

=2A 1+12y ，2=2B 1+12x ，=3C 1x 2+3C 1y 2+C 1C 2 2

∂x ∂y ∂x ∂y

则由相容条件可得：2A 1+12y 2+2B 1+12x 2=3C 1x 2+3C 1y 2+C 1C 2 上式对任意x ，y 均成立，则有： ⎧12=3C 1⎧C 1=4

⇒⎨⎨

2A +2B =C C ⎩1112⎩A 1+A 2=2C 2（3分）

三、试写出图中所示各边的精确边界条件，图中s 、q 均为均匀分布荷载，AF 为固定边界。（15分）

y

解：

AF 边：u =0，v =0（2分） AB 边：σy =0，τxy =0（2分）

EF 边：σy =0，τxy =0（2分） BC 边：（4分）

，m =-cos α=-

l =-sin α=-

22

⎧-xy =s cos α=s ⎪-σx ⎧⎪σx +τxy =-s ⎪222 ⇒⎨⎨

⎪⎩τxy +σy =s ⎪-=-s sin α=s

xy y ⎪⎩CD 边：（2分） σx =-q

τxy =0

DE 边：（3分）

l =-sin α=

，m =cos α=

⎧xy =s cos α=s ⎪-σx ⎧⎪-σx +τxy =s ⎪ ⇒⎨⎨

-τ+σ=s ⎪y ⎩xy ⎪-+=s sin α=s

xy y ⎪⎩222

四、对于图中所示结构，l 远大于h ，已知

⎛h y y 2y 3⎫2M 3

ϕ=3y +qx --+2⎪

h ⎝842h h ⎭

M 是集中弯矩，q 为均匀分布荷载，试证明它是圣维南条件下的解。（15）

解：

（1） 验证相容方程：∇4ϕ=0，这里ϕ显然满足。（1分） （2） 应力分量：

∂2ϕ12My ⎛16y ⎫σx =2=3+qx -+2⎪

∂y h ⎝h h ⎭∂2ϕσy =2=0

∂x

⎛1y 3y 2⎫∂2ϕ

τxy =-=-q --+2⎪（3分）

∂x ∂y ⎝4h h ⎭

（3） 边界条件

h

左侧y =，σy =0⇒成立

2

113

τxy =0⇒--+=0（2分）

424

h

右侧：y =-，σy =0⇒成立

2

⎛113⎫

τxy =-q ⇒-q -++⎪=-q 成立（2分）

⎝424⎭

h h

12My 2

顶部x =0, ⎰h σx dy =0, ⎰2h 3dy =0，积分后为偶数，故为0（2分）

--h 22

⎰

⎰

h

2h -2

2

h 2h -2

τxy dy =0

3

h

⎛1y 3y ⎫⎛y y y ⎫2⎛h h ⎫-q --+2⎪dy =q --2⎪=2q -⎪=0，成立（2分）

⎝88⎭⎝4h h ⎭⎝42h h ⎭-h 2

2

⎰

h 2h -2

σx ydy =M

h

h

⎡4My 3⎤212My 2

2

⎥h =M ，成立（3分） 3⎰-h 2h 3dy =⎢h ⎣⎦-2

五、试按逆解法推导轴对称问题的应力解和位移解。（15分）

解：应力数值轴对称—仅为ρ的函数，应力方向轴对称—τρυ=τυρ=0

相应的应力函数Φ=Φ(ρ)，应力分量：

1d Φd 2Φ

σρ=, συ=（3分） , τρφ=0. （a ）

ρd ρd ρ2

(1) 相容方程

d 21d 2

(2+) Φ=0 d ρρd ρ

其中：

d 21d 1d d ∇=+=(ρ)

d ρ2ρd ρρd ρd ρ

2

11d 1d d Φ

{ρ[(ρ)]}=0, (b ) ρd ρd ρρd ρd ρ

相容方程成为常微分方程，积分四次得Φ的通解，

Φ=A ln ρ+B ρ2ln ρ+C ρ2+D 。 (c ) （3分）

(2) 应力通解：将式(c ) 代入式(a) ，

A ⎫σρ=2+B (1+2ln ρ) +2C , ⎪

ρ

⎪

A ⎪

σφ=-2+B (3+2ln ρ) +2C , ⎬ (d ) （3分）

ρ⎪

⎪τρφ=0

⎪⎭

(3) 应变通解：将应力(d ) 代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变ερ, ευ, γρυ

∇4Φ=

也为轴对称。

(4) 求对应的位移：

将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分，

∂u ρ

=ερ, ∂ρ

u ρ=⎰ερd ρ+f (υ);

u ρρ

将u ρ,u υ代入第三式，

+

∂u 1∂u υ

=ευ, υ=ρευ-u ρ, ρ∂υ∂υ

∴ u υ=⎰(ρευ-u ρ) d υ+f 1(ρ) 。

1∂u ρ∂u ρu ρ

+-=γρυ=0, ρ∂υ∂υυ

分开变量，两边均应等于同一常量F ,

d f (ρ)d f (υ)f 1(ρ)-ρ1=+⎰f (υ)d υ=F , （3分）

d ρd υ

即得两个常微分方程，

d f (ρ)

f 1(ρ) -ρ1=F , ∴ f 1(ρ) =H ρ+F ;

d ρd f (υ) d 2f (υ)

+⎰f (υ)d υ=F , ∴ +f (υ) =0, 2

d υd υ

得： f (υ) =I cos υ+K sin υ。

代入u ρ,u υ，得轴对称应力对应的位移通解，

1A ⎫[-(1+μ) +2(1-μ) B ρ(lnρ-1) +(1-3μ) B ρ⎪E ρ

⎪⎪

+2(1-μ) C ρ+I cos φ+K sin φ，⎬ (e ) （3分）

⎪4B

⎪u φ=ρφ+H ρ-I sin φ+K cos φ。

E ⎪⎭u ρ=

其中

I ，K —为x 、y 向的刚体平移， H —为绕o 点的刚体转动角度。

六、一端固定、另一端弹性支撑的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，弹簧系数为k ，承受分布荷载q (x ) 的作用（如图所示）。试用位移变分方程（或最小势能原理）导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件（15分）

解：用位移变分方程推导 (1) 梁内总应变能的改变为

22⎡1l ⎛d 2v ⎫2⎤l ⎛d v ⎫⎛d v ⎫

δU =δ⎢⎰EJ 2⎪dx ⎥=EJ ⎰ 2⎪δ 2⎪dx （1分）

0dx 20⎝dx ⎭⎢⎥⎝⎭⎝dx ⎭⎣⎦

(2) 外力总虚功为

⎰q (x )δvdx -R (δv )

A

l

A

=⎰q (x )δvdx -k (v δv )x =l （1分）

l

(3) 由位移变分方程得

22l ⎛d v ⎫⎛d v ⎫l

EJ ⎰ 2⎪δ 2⎪dx =⎰q (x )δvdx -k (v δv )x =l (a)（1分）

0dx 0⎝⎭⎝dx ⎭对上式左端运用分部积分得 222l ⎛d v ⎫⎛d v ⎫l d v ⎡⎛dv ⎫⎤EJ ⎰ 2⎪δ 2⎪dx =EJ ⎰d δ ⎪⎥⎢20dx 0dx ⎣⎝dx ⎭⎦⎝⎭⎝dx ⎭

3

l d v ⎡d 2v ⎛dv ⎫⎤⎛dv ⎫

=EJ ⎢2δ ⎪⎥-EJ ⎰3δ ⎪dx

0dx ⎝dx ⎭⎣dx ⎝dx ⎭⎦04

l d v ⎡d 2v ⎛dv ⎫d 3v ⎤

=EJ ⎢2δ ⎪-3δv ⎥+EJ ⎰dx

0dx 4dx dx dx ⎝⎭⎣⎦0

l

l

代入(a)式，经整理得

l ⎡⎡d 2v ⎛dv ⎫⎛⎡d 2v ⎛dv ⎫d 3v ⎤⎤d 3v ⎫⎤d 4v

-EJ ⎢2δ ⎪-3δv ⎥+⎢EJ 2δ ⎪+ kv -EJ 3⎪δv ⎥+⎰⎢EJ 4-q (x )⎥δvdx =0

dx ⎭⎦x =l 0⎣dx ⎣dx ⎝dx ⎭dx ⎦x =0⎣dx ⎝dx ⎭⎝⎦

(b)（3分）

由于变分δv 的任意性，式(b)成立的条件为

d 4v

EJ 4-q (x )=0(c) dx

⎡d 2v ⎛dv ⎫d 3v ⎤

⎢dx 2δ dx ⎪-dx 3δv ⎥=0(d)

⎝⎭⎣⎦

x =0

⎡d 2v ⎛dv ⎫⎛d 3v ⎫⎤

⎢EJ 2δ ⎪+ kv -EJ 3⎪δv ⎥=0(e)（3分）

dx ⎭⎦x =l

⎣dx ⎝dx ⎭⎝

(4) 式(c)就是以挠度v 表示的平衡微分方程。下面讨论边界条件。由于梁的左端为固定端，因此有

⎡dv ⎫⎤

(δv )x =0=0，⎢δ⎛ ⎪⎥=0 (f)（2分）

⎣⎝dx ⎭⎦x =0

梁的右端为弹性支撑，则有

⎡dv ⎫⎤

(δv )x =l ≠0，⎢δ⎛ ⎪⎥≠0 (g)（2分）

⎣⎝dx ⎭⎦x =l 注意到式(d)能满足，而欲使式(e)成立，必须满足

⎛d 2v ⎫⎛d 3 v ⎫

⎝dx 2⎪⎭=0， kv -EJ x =l ⎝dx 3⎪⎭=0 x =l 式(f)、(h)即为题意所求的边界条件。

(h)（2分）