23椭圆中的几个优美性质
2014年第12期
中学数学研究
椭圆中的几个优美性质
湖北省武汉市黄陂区第三中学
湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区
(430317)(430312)
雷
勇
李红春
笔者最近研究发现了椭圆中的几个性质,现介绍给大家.
性质1若删、AB分别为过椭圆(或双曲线)
焦点和中心的弦,若肘Ⅳ∥AB,则lABI
2:I肘ⅣI为
常数.
证明:如图1,若曲线为
,‘
彳2
2
椭圆,不妨设其方程为与+告
口
D
≮厂兀犬.=1(口>6>0),焦点F(c,
少i
0),其中c2=口2—62.
Ⅳ
图l时,设直线MⅣ的方程为y=
.、雯卷专兰缎篓考存在一
后(茹一c),将其代入椭圆方程整理得(口2七2+62)菇2—
2口2c忌2菇+口2c2后2一口262=0,设肘(髫l,,,1),Ⅳ(算2,,,2),
贝0菇l+菇2=
2口2c五2口2后2+62’
由椭圆定义知I胛I=口一
}l’I胛I-口一}:,于是I肘ⅣI=I胛I+
胛I=2口一詈c¨纠=2。一靠等=
2口3后2+2口62—2口c2七2
02后2+62
至垒:墨:±兰堡!:二兰坚(堡:二i:!墨:一兰堡垒:(!±墨:)
一
。
口2座2+62口2七2+62
由删∥A曰且AB过坐标原点,设直线AB的方
程为y=k,代入椭圆方程易解得髫;=
口262由
口2尼2+62’
弦长公式知I
DA
2
辫,故|川2:l删I=赫
=噼,显然㈨12_4…12-
I=/研I%一o
l,于是I
DA
堡(!±墨:)堡!
■忑‘刁广
=2口.
②当直线肘Ⅳ垂直于戈轴时,易知I肘ⅣI:堡,
口
A曰I=26,显然I
A曰l2:I膨ⅣI=2口.
2
2
性质2
如图2,已知A、日为椭圆c:≥+。》=
万方数据
1(口>6>0)的左,右顶点,动直线z与椭圆交于两
点M、Ⅳ,交筇轴于定点r(m,0),直线A肘、删交于点
G,则点G必在一条定直线上.
证明:设点肘,Ⅳ,G的坐,‘
标分另4为(戈。,),。),(石:,儿),(‰,%),设直线Z的方程为菇习钐
一\
历c
=砂+,,l(m≠0),由
\、-
影㈧
r髫=砂+m,
i差;+考;:・得‘晟262
+
图2
)严+始m62,,+(m2一口2)62=o,,,l+儿=
一
蕊玩i,),t儿
2幻n62
=鱼苎掣,联立直线A膨与
一
.|}262+口2’恹且且锅““司
BⅣ的方程y=
(菇+口),y=——【戈
儿
,.
一口)解
戈l+口
茗2一口
得点G的横坐标为算。=
(菇ly2+菇2),1一cIyl+cI,,2)口
戈I儿一茹2yl+cIyI+口托
2弋万了币百_而i焉瓦了面丁面■一p
.[(J眵l+m)儿+(饥+m)),I一町l+吖2]
骱
2后),1),2+(,n一口),,1+(,孔+口)弘~
‰2—弋ii石了石五历■—‰从商菇。一
口2
繁黑等害粉,・.%吖。儿+cm2
2—弋i焉瓦了瓦百而_口一i
2砂l儿+(,,l一口)),l+(m+口)托
口2
i
2
。
[(o—m)yl+(口+m)儿]m”…“…VⅣ2
V”
。口2)(yI+扎)=2后,n・
生黝
二2
口一+
丝:口
+
(m2一口2)・
一2I|}m62
2
矿62+口2=o,..嘲一告=o,即‰
生,所以点G在m
2
定直线
口,
一
m
』・
性质3
如图3,AB是椭2
2
圆%+告
1(o>6>0)的
口
D
泸,・
U
o
图一
长轴,F。,疋是椭圆的左右焦
”弋./
Fl』Bi
点,直线Ac,曰D是椭圆过A,B的切线,P是椭圆上任意一
图3
点,凹是过P的切线,则PC・
PD=PFl・PF2.
・24・
中学数学研究
2014年第12期
证明:设P(‰,%),则过P的切线cD方程为等
n=(。+鲋。)(。一纵。)=n2一e2戈;=口2一≯j,故
IPCl・IPDI=IPFl
+等:1,则直线cD的斜率为|j}:一等.鱼,于是‰
6。
l・I尸F2
I.
PcI.|PD
I=研(茹。+口)厨(口一茗。)
口。
椭圆中有许多优美的几何性质,它为我们开展
研究性学习提供了丰富的素材,是我们命制数学试题的源泉,值得重视.
:(1+竺.萼)(口:一菇:):(1+乓.可生1譬)(。z
一菇;)=口2一茹:+%j=口2一每纠PF。l・I
PF2
透过调研题的解题障碍看高考题的优化解法
江苏省连云港市锦屏高级中学
平面向量的数量积在高考中占有重要的地位,每年的高考都少不了.许多学生在此时常出现问题,究其原因,就是学生对向量数量积的概念理解不透
彻.教材主要介绍了用定义法与坐标法求向量的数量积,方法不是太多.下面通过今年南京市的一道三模题作一剖析.
考题
(222021)车树勤
模长与夹角,可以考虑用定义来做.但是在这些条件
缺少的情况下我们可以进行转化,转化到与已知条件相关的或很容易求出模和夹角的向量表示来做.这样求两个向量数量积就可以转化为求这些向量的数量积,使问题得到解决.也体现了等价转化的数学思想.
方法1:如图1,过C点作CD上A曰于D点.在m△ABC啐。cD=^12.cM・CN=0CD+
——÷——÷——+——+.——}
(南京市高三三模题12)在m△ABC
中,CA=CB=2,M,Ⅳ是斜边AB上的两个动点,且
一——●——_
删=√2,则CM・CⅣ的取值范围为
.
一——÷——_——+
答题情况:此题全班做对的很少.学生解这道题的障碍在哪里呢?通过与学生交流,笔者了解到很多
DM、・(CD+DN、=CD2+CD
——+——÷——+——+
学生在解题时能进行转化,或用坐标运算,但是运算过程中会出现一些细节性的错误,导致不能算对最终结果.这道题的解题障碍暴露出学生在这个知识
点的把握上有以下不足:一是对平面向量数量积定
・(DN+DM、)+DN・DM=2一
——+——÷一
DMIIDⅣI,由于√2=肘Ⅳ=
图1
DM+DN≥2√DM-DN。7.DM
__●______●_-●●_^。___________。一
义的理解仅停留在向量是数形结合的载体,而对数
量积与它们的模和夹角之间的关系理解不够深入;
・DⅣ≤-},即o≤DM・DⅣ≤丢,当且仅当DM=
DⅣ=等时取得“=”..・.一÷≤一DM・DⅣ≤o,则DⅣ:譬时取得“:”..・.一寻≤一DM.DⅣ≤o,则
二是对平面向量数量积运算的对象是向量结果却是
数量不可理解.透过学生的解题障碍不难看出平面向量的教学存在缺失.
知识准备:1.数量积的定义:已知两个非零向量五与舌,它们的夹角为p,则二・苔=l;I|苔Icos口,其中I苔lcosp称为向量苔在向量左方向上的投影.
寻≤2一D肘.DⅣ≤2....面.葫的取值范围为
[÷,2].
点评:利用向量回路,只要将面与商分别用和
向量表示,然后再利用向量数量积的性质进行运算.
2.①向量的数量积的性质:若二=(菇。,y。),苔
=(菇2,儿)则五上苔仁石・苔=0鳓1石2+yly2=0(;,
苔为非零向量);②I若I=√孑=以;+y2.
思路l:(转化法)求向量的数量积,若有向量的万方数据
这里的易错点是求得DM.DⅣ≤昙后,而没考虑两
线段的长度乘积应非负而致错.由平面向量的基本
定理知同一平面内的任一向量都可以表示为两个不