中考数学压轴题及答案

中考数学压轴题及答案

1. 如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.

（1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB（D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

（注：抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =-b ） 2a

解：设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0) ，

1⎧a =-⎪⎧9a -3b +4=0⎪3依题意得：c=4且⎨ 解得⎨ 116a +4b +4=0⎩⎪b =⎪3⎩

11 所以 所求的抛物线的解析式为y =-x 2+x +4 33

（2）连接DQ ，在Rt △AOB

中，AB ===5

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2

因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB

因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB

所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CAB

DQ CD DQ 210==, DQ = 即AB CA 577

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –

所以t 的值是25 710252525÷1== ，t = 7777

（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x =-

连接AQ 交直线x =1b 1=所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线x =对称22a 21于点M ，则MQ+MC的值最小过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=90 2

10

QE DQ DE QE DE ==DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO 即 所以==BO AB AO 453

86620208QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q （，） 777777

8⎧20⎪k +m =设直线AQ 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 则⎨77 由此得

⎪⎩-3k +m =0

1⎧x =⎪824⎪2所以直线AQ 的解析式为y =x + 联立⎨ 4141⎪y =8x +24

⎪⎩4141

1⎧x =由此得⎪ ⎪2⎨⎪y =8x +24

⎪⎩41418⎧k =⎪⎪41 ⎨24⎪m =⎪⎩41 所以M (128128, ) 则：在对称轴上存在点M (, ) ，使MQ+MC的值最小。 241241

2. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c (a >0) 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），

1OB ＝OC ，tan∠ACO＝． 3

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.

（1）由已知得：C （0，－3），A （－1，0） …1分

⎧a -b +c =0⎪将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎨9a +3b +c =0 ……………………2分

⎪c =-3⎩

⎧a =1⎪解得：⎨b =-2 ……………………3分

⎪c =-3⎩

所以这个二次函数的表达式为：y =x 2-2x -3 ……………………3分

（2）存在，F 点的坐标为（2，－3） ……………………4分

理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：y =-x -3

∴E 点的坐标为（－3，0） ……………………4分

由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF

∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F ，坐标为（2，－3） ……………………5分

（3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，

易得G （2，－3），直线AG 为y =-x -1．……………8分

设P （x ，x 2-2x -3），则Q （x ，－x －1），PQ =-x 2+x +2．

S ∆APG =S ∆APQ +S ∆GPQ =1(-x 2+x +2) ⨯3 ……………………9分 2

当x =1时，△APG 的面积最大 2

27⎛115⎫此时P 点的坐标为 , -⎪，S ∆APG 的最大值为． ……………………10分 8⎝24⎭

3. 如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。 ⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标; 若不存在，请说明理由;

⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3），

∴设抛物线解析式为y =ax 2+bx +3(a ≠0) ………1分

⎧a -b +3=0, ⎧a =-1, 根据题意，得⎨，解得⎨ ⎩9a +3b +3=0, ⎩b =2.

∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3………………………………………2分

⑵存在。…………………………………………………………………………3分

由y =-x 2+2x +3得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。…………4分

①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得x 2+(3-y ) 2=(x -1) 2+(4-y ) 2，即y ＝4－x 。…………………………5分

又P 点(x,y)在抛物线上，∴4-x =-x 2+2x +3，即x 2-3x +1=0…………6分 解得x =3±53-53+

∴y =4-x =⎛3+5-5⎫5-5⎪。……………………8分 , ，即点P 坐标为 2⎪2⎝2⎭

②若以CD 为一腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 与点C 关于直线x ＝1对称，此时点P 坐标为（2，3）。

⎛3+55-⎫⎪∴符合条件的点P 坐标为 2, 2⎪或（2，3）。……………………9分

⎝⎭

⑶由B （3，0），C （0，3），D （1，4），根据勾股定理,

得CB ＝32,CD ＝2,BD ＝25, ………………………………………………10分

∴CB 2+CD 2=BD 2=20,

∴∠BCD ＝90°, ………………………………………………………………………11分

设对称轴交x 轴于点E ，过C 作CM ⊥DE ，交抛物线于点M ，垂足为F ，在Rt △DCF 中，

∵CF ＝DF ＝1,

∴∠CDF ＝45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM ＝2×45°＝90°, 点坐标M 为（2，3），

∴DM ∥BC,

∴四边形BCDM 为直角梯形, ………………12分

由∠BCD ＝90°及题意可知，

以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;

以CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在。

综上所述，符合条件的点M 的坐标为（2，3）。……………13分

4. 已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

（1）求A 、B 、C 三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）求△ABC 的面积；

（4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8

∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC

∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8）

又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2

∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）

∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A （－6，0）、B （2，0）、C （0，8）

（2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上

∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式y ＝ax 2＋bx ＋8，得

⎧0＝36a －6b ＋8⎨ 0＝4a ＋2b ＋8⎩ 2a ＝－⎧⎪3解得⎨8b ＝－⎪⎩3

28∴所求抛物线的表达式为y ＝－32－3＋8

（3）∵AB ＝8，OC ＝8

1∴S △ABC 28×8=32

（4）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ，

∵OA ＝6，OC ＝8， ∴AC ＝10

∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC

40－5m EF BE EF 8－m ∴AC ＝AB 即10＝8 ∴EF ＝4

4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝5FG 4440－5m ∴EF ＝5 ∴FG ＝5·4＝8－m

11∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝2（8－m ）×8－2（8－m ）（8－m ）

111＝2（8－m ）（8－8＋m ）＝2（8－m ）m ＝－22＋4m

自变量m 的取值范围是0＜m ＜8

（5）存在． 理由：

111∵S ＝－m 2＋4m ＝－（m －4）2＋8 且－＜0， 222

∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8

∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0）

∴△BCE 为等腰三角形．

5. 已知抛物线y =-ax 2+2ax +b 与x 轴的一个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：⑴对称轴是直线：x =1，点B 的坐标是(3,0)． ……2分

说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC ，∵点A 、B 的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，

∴AB ＝4．∴PC =1AB =1⨯4=2． 22

在Rt △POC 中，∵OP ＝PA －OA ＝2－1＝1， ∴OC =PC 2-PO 2=22-12=

∴b ＝ ………………………………3分

当x =-1，y=0时，-a -2a +3=0， ∴a =． ………………………………4分 3

∴y =-3223 …………5分 x +x +333

⑶存在．……………………………6分

理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为M (x , y ) ．

①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ． 由⑵知，AB ＝4，∴|x|＝4，y =OC =3．

∴x ＝±4．∴点M 的坐标为M (4, 3) 或(-4, ) ．…9分

说明：少求一个点的坐标扣1分．

②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方．

过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°．

∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．

∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO

∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．

∴点M

的坐标为M (2,． ……………………………12分

说明：求点M 的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M 的坐标的方法均可，请参照给分．

综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形．其

坐标为M 1M 2(-M 3(2,．