三种割圆术素材的教学处理及其比较
２０１４年６月
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三种割圆术素材的教学处理及其比较
⑥浙江省海盐县教研室
沈顺良
教学内容：人教Ａ版２—２第１章第５节第１课时
０和曲线ｙ＝ｆ（ｘ）所围成的图形称为曲边梯形．把由直线戈＝血，ｘ＝ｂ（ａ＃ｂ），ｙ＝ｏ乖Ｈ曲线ｙ＝及戈）所围成的图形（图２）的面积称为曲边梯形的面积，并提出本课课题．
学生分组讨论该如何去近似求曲边梯形的面积，在学生小组交流展示后比较怎样的方案较合理？（学生感觉困难）
大家觉得这种分割、逼近解决曲边图形面积的方法是不是有点熟悉呢？我们曾经用正多边形逼近圆的方法，利用正多边形的面积求出圆的面积，这就是割圆术．
当边数，ｚ无限增大时，正ｎ边形的面积无限逼近圆的面积．
在割圆术中，为什么用正多边形的面积来计算圆的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？（可能是为了便于计算，为了使近似值能越来越接近圆的面积）
能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题转化为直边梯形的面积问题？怎样调整进而尽可能有规律地减少误差，使得“直边梯形”的面积越来越接近曲边梯形的面积？
学生再分组讨论调整方案．
片断三：特殊到一般分步探究后的割圆术故事
图２
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一、三种割圆术素材的教学处理
片断一：将割圆术的整体过程详细介绍．然后类比探究
ｙ
厂。√ｙ砜ｚ）
首先给出曲边梯形的定义，并提出本节课的主题：求曲边梯形的面积．
我们在以前的学习经历中有没有用直边图形来计算曲边图形面积这样的例子？然后教师介绍割圆术．
我们曾经用正多边形逼近圆的方法，如图１，利用正多边形的面积求出圆的面积，这就是割圆术
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图１
当边数ｎ无限增大时，正ｎ边形的面积无限逼近圆的面积．
在割圆术中为什么用正多边形的面积来计算圆的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？（学生回答是有困难的）
能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题转化为直边梯形的面积问题？进而尽可能有规律地减少误差，使得“直边梯形”的面积越来越接近曲边梯形的面积？
学生分组讨论（学生讨论探究时感觉问题跨度太大，花费时间长，效果不够理想）．
片断二：将割圆术过程分解．边讲故事边引导探究
我们在之前学习了三角形、长方形、梯形等平面图形的面积．现在我们来研究一下，在平面直角坐标系下
由及戈）＝肼２，直线ｘ＝ｌ，ｘ＝２与礴由围成的是什么图形（图
３）？面积如何得到？（梯形的面积是由割补法来得到的）
先介绍三国时期的数学家刘徽的割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣……”
再给出两个概念：我们把由直线戈＝血，ｘ＝ｂ（血≠６），ｙ＝
图３图４图５
如果把及戈）＝肼２换成图４这样的函数图像，如何求
围成的图形面积？（用切割法化为矩形和梯形的面积相加，运用的是化归思想）
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教材教法
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如果把折线段换成曲线ｙ砜戈），如图５，那么此时围
数？”感觉困难．
如何求抛物线ｙ剐２与直线ｘ＝ｌ，ｙ＝Ｏ，礴由所围成的平
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的，因此学生思考“在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？”“为什么要逐次加倍正多边形的边
成的面积又该如何求呢？给出曲边梯形定义并提出本题课题．
另外，割圆术完整过程的介绍有较大的信息量，其中包含了分割和以直代曲、逼近等思想方法，还有等分分割等要求，再加上前面的一般曲边梯形及曲边梯形面积的概念，让学生有太多的信息量需要接受，影响了后面的类比探究．
从片断二的教学实际来看，割圆术对学生来说有些
面图形的面积（近似值也行）？
ｎ
ｎ
ｎ
ｎ
陌生，再加上圆的分割与曲边梯形的分割在形式上有所不同，因此，虽然教师对割圆术分别介绍了通过分割化归为多边形求面积、通过增加多边形的边数来逼近圆的面积等，但学生较少地通过类比割圆术来探究，而是直接去求曲边梯形的面积．例如割圆术中逼近的介绍不仅没有起到类比作用，反而感觉到是中断了曲边梯形的问题探究，影响到了同一问题解决中从化归到逼近的连续性．另外，前面引入曲边梯形概念感觉不够自然，特别是曲边梯形为什么要放在直角坐标系内研究，为什么是要用ｖ＝及戈）来表示等有些突然．
片断三关注了学生的认知基础和水平，从已学知识到新问题的解决，探究中由特殊到一般，从曲边梯形概念的角度，以及戈）＝卅．２与直线ｘ＝ｌ，ｘ＝２，礴由围成的梯形为起点，到“折线梯形”，再到曲边梯形，并且都放在直角坐标系中，较自然地得到曲边梯形概念及研究的坐标系背景．从求面积近似值的角度，以学生已掌握的矩形、梯形面积等知识为基础，到抛物线ｙ剐２与直线ｘ＝ｌ，ｙ＝Ｏ，戈轴所围成的平面图形的面积，再到一般的曲边梯形面积的解决．从精确要求来看，从熟悉图形面积的精确值，到通过分割转化为已知图形的近似值，最后到极限下的精确值．学生在特殊到一般的引导下，首先明确了化归思想引领下的以直代曲，然后在解决特殊问题的探究中一方面运用以直代曲，另一方面通过逼近求近似值．由于分成了几个步骤，学生的合作探究解决成为自然．
图６
图７
（四人小组讨论）
方案一（图６）和方案二（图７）分别在局部用矩形替代了小的曲边图形，而方案三（图８）是用梯形的面积和代替平面图形的面积，它们都能求得曲边图形面积的近似值．
对于一般的由直线戈＝血，ｘ＝ｂ（血≠ｂ），ｙ＝ｏ，Ｈ曲线ｙ＝及戈）所围成的平面图形的面积应该如何来求？
回顾求曲边梯形面积的整个过程，你能否概括出求这个曲边梯形面积的方法吗？（分割、近似代替、求和、取极限）
课堂小结：本堂课学习了什么内容？用什么办法解决了求曲边梯形的面积？具体的步骤是怎样的？在解决过程中体现了哪些数学思想？
在今天同学们的共同研究中，其实显现了大家继承了中华民族优秀的数学素养，因为我们今天的研究和一个很有名问题“割圆术”的研究非常相似，三国时期的数学家刘徽也经历了这样探究过程，他在《九章算术》中描述：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣……”其中的正多边形分割，刚好切合了今天我们的等分分割，当边数ｎ无限增大时，正ｎ边形面积无限逼近圆的面积：体现以直代曲，近似代替，无限逼近．
二、三种割圆术素材的比较与分析
１．教学素材处理要关注学生的认知基础、水平及与所学内容的相关性
２．教学素材处理要关注方法与思想的有效渗透
片断一中，割圆术的介绍虽然将蕴含其中的多种思想方法强调了，但毕竟是介绍的方式学生缺少体验，在后面的求曲边梯形面积的探究中，学生难以类比探究，又由于是分割化归（以直代曲）、逼近、等分计算等都在其中，对问题的解决和其中思想方法的要求较高，因此即使是合作学习，学生还是难以解决．（下转第５３页）
在片断一中，问题“我们在以前的学习经历中有没有用直边图形的面积来计算曲边图形的面积这样的例子？”学生虽然听说过刘徽的割圆术，但时间已久，学生大多遗忘而难以想到．又由于割圆术主要是教师在介绍
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追求就十分自然地引出了自然对数．在欧氏几何中，点与直线的关系是不对称的．过两点总可作一条直线，但是，两直线总可得一个交点却并不成立．自从引进了“无穷远点”后，两平行直线相交于无穷远点，直线也成为一种封闭图形，无穷远点就是直线两端的连接点，从而点和直线就具有对称性．为什么只引进一个无穷远点，而不引进两个无穷远点？通过引进一个无穷远点，就可以在直线与点之间建立对偶关系，进而就有了对偶定理．如果引进两个无穷远点，就会破坏这种对偶性．在解析几何里，代数方程与几何图形问建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达到完美的统一．
对称性是事物经过某些变换后仍然保持不变性或某些不变性．其应用范围早已远远超出空间图形这个狭碍的领域，渗透到数学、物理等诸多学科．对称不仅是一种审美标准，还是一种思考的方向，与哲学中的不变性、相对性、客观性、偶然性、时空的本质和结构以及事物的演化等一系列概念都有相当的关系．故杨振宁先生深有感受地说“对称决定力量”．
三、对称作为一种思考方式
数学中不少概念与运算，都是由人们对“对称”问题的探讨派生出来的．数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，还可以启迪人们思考、研究问题的方法．按美学思想来设计是自然的．对称是数学家长期追求的目标，甚至有时把它作为一种尺度．大约在公元前七世纪，古希腊人在圆柱和圆锥的截口上发现了椭圆，到公元前２世纪才知道椭圆是平面上到两点之和为常数的动点的轨迹．然而古希腊人没有想到，也不可能想到这些发现有什么用途．希腊人之所以研究椭圆，可以说除这种对称美感之外，再没有什么其他动力了．倘若没有这些研究，开普勒就不可能发现行星运行规律，牛顿也不会发现万有引力定律了．人们通常采用以ｅ为底的自然对数，而不是以１０为底的常用对数．为什么做出这样的选择？原因之一就是对对称美的考虑．对数的引进对于简化运算大有好处，借助对数可将乘、除运算转化为加、减运算．但在求对数ｌｇＮ＝ｂ时，常用对数却不十分理想．真数Ⅳ及常用对数ｌｇＮ的增长表现出明显的不对称性．当真数Ⅳ均匀增长时，其常用对数ｌｇＮ的增长却不是均匀的．为了克服这种不均匀性，人们尝试用较小的底数．经试验如采用１．１、１．０１、１．００１、１．０００１、…为底时，不对称性的情况将不断得到改善，若用｛（１＋１肮）１的极限为底，则可以达到完全的对称．这个数列的极限就是ｅ，出于对对称美的
参考文献：
１．杨振宁．对称与２０世纪物理学［Ｍ］．上海：华东师范
大学出版社．１９９８．
２．段学复．对称［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７９．
３．［德］Ｈ．魏托对称［Ｍ］．北京：商务印书馆，１９８６．墨圆
的教学，通过典型例子的教学，追寻数学发展的历史足迹，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，体会我国古代数学发展的辉煌，感受数学家的创新精神，逐步形成正确的数学观．
在前面两个片断中，割圆术素材教学的处理更多的是意在帮助类比探究曲边梯形的面积，在情感态度价值观方面渗透较少．片断三则是在求曲边梯形面积问题解决后安排割圆术素材的教学，除了不同问题解决中相同思想方法的突出，更是利用这样的机会渗透了数学历史和中国古代数学发展的教学，让学生感受到数学的发现、发展就在我们的数学学习中，培养数学学习的兴趣和动机．
（上接第３２页）
片断二中，学生对于直接画出来的一般曲边梯形感觉比较抽象，还是和第一次相似，拘泥于曲边梯形概念的教学，因此让学生去解决一般曲边梯形的面积．是否可以将以直代曲的化归和求曲边梯形的面积的探究从特殊到一般．
片断三中，首先是各角度都有特殊到一般数学思想的渗透，在此过程中，学生将陌生的曲边图形通过分割化归为熟悉的矩形、梯形问题，也蕴含了化归和以曲代直的数学思想，在由近似到精确的过程中，包含了逼近和极限的思想．由于上述思想的渗透是分解在概念得到、分割、逼近、求极限及小结的各个环节中，最后的割圆术介绍正是突出了以曲代直、逼近、极限等的类比，因此方法与思想的渗透效果更有效．
３．教学素材处理要关注情感态度价值观的教学
参考文献：
１．刘绍学．等．普通高中课程标准实验教科书教师用
三维目标要求数学教学中要关注情感态度价值观
书・数学２—２［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００７．１１１１
高中版中’拿擞・７
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