将数学应用到实际生活中去

将数学应用到实际生活中去

——试析数学建模的理论与实践

随着现代科学技术的迅猛发展，人们在解决各种实际问题时须更加精确化和定量化，尤其是在计算机得到普及和广泛应用的今天，数学更加深入得渗透到各种科学技术领域。马克思说过：“只有充分应用了数学的科学才是完美的”。数学建模正是从定性和定量的角度去分析和解决实际问题，为人们解决问题提供了一种数学方法、一种思维形式，因此越来越受到人们的重视。一个企业该上什么项目？一个投资商如何投资风险最小、收益最大？在战争尚未消灭的今天，武器的发展方向是大而多还是少而精？人口众多已成为全球性的问题，如何制定一个国家的人口政策？„„所有这些问题都需建立数学模型加以论证，为投资者提供理论依据。

一、关于数学建模的注解

（一）数学教育的弊端

我国的数学教育，一个较为突出的弊端是“忽视数学的应用”。虽然我们在课上总是听到老师谈到“数学的广泛应用性”，但我们还只是周旋于纯数学的概念和推理之中，只重理论，不求实用，只管解题，不讲思想，其结果就是课本上的数学知识掌握的滚瓜烂熟，考试门门优秀，可一遇到实际问题，就丈二和尚摸不着头脑，不知从何下手，这可能就是所谓的“高分低能”吧。究其原因是没能跳出应试教育的束缚，不少教育工作者认为“正因为数学具有广泛应用性，到处都有用，毕业以后总有用，学好理论自然有用，因此不必教应用。”“考试不考应用，当然不必教应用。”„„从而使原本生动活泼的数学问题变成枯燥乏味的解题程式，使很多人讨厌、畏惧数学。

面对当前数学教育的弊端，不少有识之士提出应强调数学应用是数学教学改革的方向。怎样才能把数学知识应用于其他学科和日常生活中呢？数学建模就是数学知识与数学应用之间的一座桥梁。有些人把数学建模看得高深莫测，甚至有还人把“数学建模”误认为是“航模、造船”，其实我们早就已经接触过数学建模，大家一定都记得我们在小学阶段做过很多应用题，实际上那些就是简单的数学建模。数学建模的确切含义尚无定论，但专家们比较趋于一致的看法是：通过对实际问题的抽象、归纳、简化，确定变量与参数，并应用数学的理论和方法，建立起合理数学模型；然后运用数学和相关学科的理论、方法与计算机等技术手段，求解数学模型；同时对该模型进行验证、解释、讨论，并对该模型进行修正、改进和推广，使之规范化，并展示其实际应用的前景。简而言之，数学建模就是以现实为背景，以数学科学理论为依托，来解决实际问题的过程。事实上，任何数学概念、命题、定理、结构都是数学模型。17世纪伟大的科学家牛顿在研究变速运动的过程中发明了微积分，并以此为工具发现了万有引力定律，便是科学发展史上成功的数学建模范例。

（二）数学建模的一般方法和步骤

数学建模的一般方法是理论分析的方法，即根据客观事物本身的性质，分析因果关系，在适当的假设下用数学工具去描述其数量特征。它的主要步骤有：

第一步，了解问题，明确目的。在建模前要对实际问题的背景有深刻的了解，进行全面的、深入细致的观察。明确所要解决问题的目的和要求，并按要求收集必要的数据。

第二步，对问题进行简化和假设。一般地，一个问题是复杂的，涉及的方面较多，不可能考虑到所有的因素，这就要求我们在明确目的、掌握资料的基础上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，对问题进行适当的简化，提出几条合理的假设。不同的简化和假设，有可能得出不同的模型和结果。

第三步，建立模型。在所作简化和假设的基础上，选择适当的数学理论和方法建立数学模型。在保证精度的前提下应尽量用简单的数学方法，以便推广使用。

第四步，对模型进行分析、检验和修改。建立模型后，要对模型进行分析，即用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明、稳定性讨论等数学的运算和证明得到数量结果，将此结果与实际问题进行比较，以验证模型的合理性。一般地，一个模型要经过反复地修改才能成功。

第五步，模型的应用。用已建立的模型分析、解释已有的现象，并预测未来的发展趋势，以便给人们的决策提供参考。

归纳起来，数学建模的主要步骤可以用下面的框图来说明：

图1

（三）数学建模的作用

学习数学的主要目的是应用数学，这就要求我们在学习数学的同时不断提高自己应用数学的意识、兴趣和能力。而这方面正是当前数学教育的薄弱环节，所以在数学教育中开展数学建模活动是相当有益的，主要表现在以下几个方面：

1．数学建模可以在很大程度上解决现存的“学何以致用”的问题

知识是能力的载体，只有把所学的知识理论用于其他学科和日常生活中的现实问题，才能称为具备了某方面的能力，否则只能称之为“纸上谈兵”。而数学建模正是数学知识与应用能力共同提高的最佳结合点，通过数学建模的学习和实践，我们拥有的不仅是数学知识，还拥有了数学思想和解决实际问题的能力。

2．数学建模可以使数学教育生动化

数学建模可以使学生更好地理解教材的概念、定理、思想和方法，既清楚“来龙”，也了解“去脉”，而不单单是严格的证明、抽象的逻辑思维以及数学公式的套用。数学建模可以使学生真正体会到“数学源于显示，寓于现实，用于现实”的事实，帮助学生认识数学及科学技术的发展道路。数学建模充分调动和刺激了学生学习的积极性，形成学习——应用——再学习——再应用的良性循环，教学过程也趋于生动化。

3．数学建模可以尝试数学教学改革

数学建模的教学已突破纯粹由教师讲、学生听、做习题的模式。教师要变主导为引导，在整个过程中充当组织者、质疑者、评价者的角色，充分发挥学生的主观能动性，增强学生的应用意识，有效提高了解决问题的能力，这符合我国当前教育改革的方向。

二、数学建模的典型范例

数学是高度抽象和严密的，它的结论和方法可以用在许多方面，如物理、生物、化学、经济、人口、医学等，随着人类社会的进步、科学技术水平的提高以及数学本身的发展，数学在各个学科中的应用显得越来越重要了。应用数学去解决各类实际问题时，

建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。下面我们就通过三个简单的问题来看一看如何应用数学知识建立模型，解决问题。

例1 一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道。若地球半径R=6400km，卫星距地面的高度h=36000km，那么卫星的覆盖面积是多少？

我们大家都知道，地球表面是凹凸不平的，所以为了简化计算，我们假设地球表面是光滑的。这是一个求卫星覆盖面积的问题，换句话说，就是求从卫星上向下看，所能看到的地球表面面积，可以立体几何球体模型。

解法1：如图2.1-1所示，这是过卫星A 和球心O 的截面图，设AB 、AC 切大圆O 于B 、C ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，作BF ⊥AO ，球冠CDB 的球面面积即为卫星的覆盖面积，球冠的高为DF 的长度。在Rt △AOB 中，由三角函数关系知，COS ∠AOB =

OB=R=6400km，AO=AD+DO=h+R=42400km， 所以

DF =R -RCOS ∠AOB =R (1-R h ) =R () h +R R +h A

h

C B

OB ，因为AO 由球冠面积公式得： h h S =2πR ⋅DF =2πR ⋅R =2πR 2() ① R +h R +H 代入数据，我们便可得到卫星的覆盖面积为： 360002S =2π⨯64002⨯≈2. 19⨯108km . 42400

这个问题我们运用了简单的中等数学的知识，很快地 便得到了结果，那么我们是不是也可以利用高等数学的知 识来解决这个问题呢？我们在微积分中学过曲面积分，下 图2.1-1 面我们就利用微积分方法建立数学模型，解决这个问题。

解法2：取地心为坐标原点，地心到卫星中心的连线为z 轴建立坐标系，如图2.1-2所示。卫星的覆盖面积

S =⎰⎰ds ∑

图2.1-2

2其中∑是上半球面x 2+y 2+z 2=R 2(z ≥0）上被圆锥角α所限定的曲面部分，这是第一型曲面积分。所以 S =⎰D 2z x +z 2y +1dxdy =⎰⎰Rdxdy R -x -y 222D 其中D 为xoy 上的区域x 2+y 2+z 2≤R 2sin β。利用极坐标变换，得 S =⎰2π0d θ⎰R sin βR R -r 20

=2πR ⎰R sin β

2r R -r 20dr

R sin β=2πR (-R 2-r 2) 0 =2πR (R -R 2-R 2sin 2β)

=2πR 2(1-cos β)

由于cos β=R , 代入上式得： R +h

R h 2S =2πR 2(1-) =2πR 2() =2. 19⨯108km ② R +h R +h

S ==2πR 2(h h ) =4πR 2 R +h 2(R +h ) 在①式和②式中，我们注意到

其中4πR 2正是地球的表面积，所以h 恰为卫星的覆盖面积与地球表面积的比例系2(R +h )

数。将R=6400km，h=36000km代入得： h 36000≈0. 425 =2(R +h ) 2(6400+36000)

可以看到卫星覆盖了全球以上的面积（但小于），故使用三颗相间为13122π的通信卫星3

就可以覆盖几乎全部地球表面。

在计算的过程中，我们得到这样一个结论：若卫星离地面的距离为hkm ，地球的半径为Rkm ，则卫星的覆盖面积为2πR 2(h 2) km ，记住这个结论对于我们以后解决类R +h

似问题是十分方便的。

目前，在大学生头脑中有这样一种观点，高等数学太深奥、太难懂了，而且离实际生活非常遥远，没有太大用处。但是从例1中我们可以看出，用中等数学能够解决的问题，用高等数学同样能够解决。虽然解法1，简单易懂，计算简便，但解法2也有一定的优越性：首先，解法1应用了球冠面积的计算公式，在中学阶段，我们只学习了这个公式的应用，而不知道它是如何推导来的，所以对于中学生来说，只能机械地套用公式。对比一下解法2，两种方法的结果完全相同，再仔细观察一下解法2的过程，实际上就是球冠面积公式的推导过程，所以解法2能使我们更加深刻地思考问题、理解问题的本质，而不是单单停留在表面上；再次，因为高等数学是非常抽象的，如果能够学以致用的话，更能增加学生学习数学的兴趣和培养学生应用数学的能力。总之，不管是中等数学还是高等数学，都可以应用到实际生活中去。

例2 一位老人有三个儿子，老人去世后留下了11匹马。在遗嘱中，老人将这十一匹马的分给老大，分给老二，分给老三，该如何分？

这是一个智力游戏题，很多人可能都知道答案：

解法1：在原有11匹马的基础上，借来一匹，凑成12批，这样： 老大得到：12⨯=6匹； 1

2121416

1

4

1老三得到：12⨯=2匹。 6老二得到：12⨯=3匹； 将老大、老二、老三的马匹数加起来，总数仍为11匹，正好将借来的那一匹马又还回去了。这是一个十分巧妙的解法，既把所有的马都分出去了，又符合老人遗嘱的要求。这种应用中等数学的解法从直觉上是合理的，但为什么可以这样做呢？一时之间又很难说清楚。

解法2：我们应用极限理论来解决。

1111(1---) ；[1**********]第二步：继续将这11匹马的按照，，的比例分下去，剩下⨯；第三步：426121212

11111111再继续将这11匹马的⨯按照，，的比例分下去，剩下⨯⨯；按照这[1**********]12第一步：老大分得这11匹马的，老二分得，老三分得后，还剩121416

种方法一直分下去，„„，第n 步，„„我们得到：

11

2211老二得到：11（+⨯4411老三得到：11（+⨯66老大得到：11（+⨯111+⨯2+„„）匹； 12212111+⨯2+„„）匹； 12412111+⨯2+„„）匹。 12612

上面的三个式子都是无穷级数，由级数收敛的柯西准则知，这三个级数都是收敛的，所以通过计算这三个式子的极限，便可得到：

老大得到：11⨯111-12

1

11-12

1

6

11-12=6匹； 老二得到：11⨯=3匹 老三得到：11⨯=2匹

解法2有坚实的理论基础，显然是合理的，从结果上看，与解法1的结果完全相同，从而我们可以确定解法1的结果是正确的。

对于小学生、初中生来说，他们没有接触过极限理论，一般都用第一种方法来解决，但是作为老师来讲，很难使学生明白为什么“加一匹，再减一匹”是合理的。那么，我们是不是可以从解法2中得到一些启示呢？

解法3：我们将解法2中的无限化为有限，在计算过程中小数精确到0.001。

按照解法2的做法：

1≈0. 9167匹； 12

1 第二步：剩余11⨯2≈0. 0764匹； 12

1 第三步：剩余11⨯3≈0. 0064匹； 12

1 第四步：剩余11⨯4≈0匹。 12第一步：剩余11⨯

即到第四步，所有的马都分了，没有剩余了。

对于老大来说，分得的马匹数为：

11⨯1111+0. 9167⨯+0. 0764⨯+0. 0064⨯≈6匹 2222

我们观察一下在这个式子中，0. 9167+0. 0764+0. 0064=0. 9995≈1，所以这个式子可以写成：(11+1) ⨯=12⨯=6匹，这正好与解法1中的算式相符，同理老二、老三的情况也如此。这样，对于教师来讲，就可以用这种方法来解释解法1的合理性。

对比一下三种解法，解法1很巧妙，技巧性很强，但不容易自圆其说，对于小学、初中学生是很适用的；解法2理论基础明确，起点较高，对于大学生、高中生比较适用；解法3立足与于高观点，运用中等数学来解决问题，这就需要有较高的数学应用能力。从这个问题，我们可以看出，不同数学知识层次的人都能应用数学来解决实际问题，只是建立的模型有些差别。换句话说，只要具备基本数学知识的人都能应用数学，所以数学能够也应该被应用到实际生活中去。

例3 教室的墙壁上挂着一块黑板，学生距离墙壁多远，能够看得最清楚？

这个问题学生在实际中经常遇到，凭我们的实际经验，看黑板上、下边缘的视角越大，看得就会越清楚，当我们坐得离黑板越远，看黑板上、下边缘的视角就会越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？

我们先建立一个非常简单的模型：

模型1： 先对问题进行如下假设： 1．假设这是一个普通的教室（不是阶梯教室），黑板的上、下边缘在学生水平视线的上方a 米和b 处。 2．看黑板的清楚程度只与视角的大小有关。 1．设学生D 距黑板x 米，视黑板上、下边缘的的仰角分别为α, β。

由假设知：

a b , tan β, x x

tan α-tan β(a -b ) x a -b a -b ∴tan(α-β) ==2=≤ab 2ab 1+tan αtna βx +ab x +x tan α=D C 图2.3-1 1212

所以，当且仅当x =ab 时，tan(α-β) 最大，从而视角α-β最大。从结果我们可以

看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太远或太近，都会影响我们的视觉，这符合我们的实际情况。

下面我们在原有模型的基础上，将问题复杂一些。 模型2：设教室是一间阶梯教室，如图2.3-2所示。为了简化计算我们将阶梯面看成一个斜面，与

图2.3-2 水平面成γ角，以黑板所在直线为y 轴，以水平线为x 轴，建立坐标系（见图2.3-2）。则直线OE 的方程（除原点）为： γ (x >0) y =x t a n 若学生D 距黑板的水平距离为x ，则D 在坐标系中的坐标为(x , x tan γ) ， a -x tan γb -x tan γ , tan β=x x

tan α-tan β=所以tan(α-β） 1+tan αtan β则：tan α=

a -x t a n γb -x t a n γ- = a -x t a n γb -x t a n γ1+⋅x x

=a -b 22ab -(a tan γ+b tan γ) x +tan γx x +x

ab -(a tan γ+b tan γ) x +tan 2γx 2

设f (x ) =x +，要使tan(α-β) 最大，只要f (x ) 最小就x

可以了。对f (x ) 求导得：

(1+tan 2γ) x 2-ab f (x ) = x 2'

当x >ab ab ' f (x ) 时，，则随的增大而增大；当时，001+tan 2γ1+tan 2γ

ab 时，21+tan γf ' (x ）>0，则f (x ) 随x 的增大而减小，由因为f (x ) 是连续的，所以当x =

f (x ) 取最小值，也就是x =ab 时，学生的视角最大。 21+tan γ

通过这两个模型，我们便可以解释为什么学生总愿意坐在中间几排。模型1和模型2所应用的基本知识都是相同的，只是因为假设的教室的环境不同，建立的模型有些细微差别，所以结果不同，但这两个结果都是基本符合实际的。在解题过程中，我们只

考虑了一个因素，那就是视角，其实我们还可以考虑更多的因素，比如：前面学生对后面学生的遮挡，学生看黑板的舒适度（视线与水平面成多少度角最舒服），等。我们考虑的因素越多，所的结果就会越合理。但有时如果考虑的因素过多、过细的话，解题过程就会相当繁琐，有时甚至得不到结果。所以“简化假设”时就需要我们冷静的分析，在众多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的选择。因此在建立模型时既要符合实际，又要力求计算简便。

三、数学建模的教育功能

随着数学建模的研究的发展进步，以及计算机的普及，数学建模应该成为数学教育中的一个必不可少的内容。大约在70年代末80年代初，英国剑桥大学就为研究生开设了数学建模课程，并开设了牛津大学与工业界研究活动。差不多同时，在欧洲、美国等工业发达的国家开始把数学建模的内容正式列入研究生、大学生乃至中学生的教学计划中去。80年代初这门课引入我国一些高等院校，发展非常迅速，反应良好。

由于数学建模问题一般来源于工程技术或管理科学中的实际问题，更由于数学建模的过程都是理工渗透、文理渗透、学科交叉的结合，因此从某个角度看，数学建模对学校来说，反映了其整体实力和教学质量；对教师来说，反映了他的教学水平和科研能力；对学生来说，则是将知识学习、能力培养、素质提高集于一体。事实上，数学建模在相当程度上模拟了大学毕业后的工作环境，对大学生的教育、培养、训练是全方位、多层次的，其作用许多别的课程无法比拟的，其效果也是许多教学环节无法替代的。并且，数学建模已对数学的教学改革产生的实质性影响：

其一，目前数学建模活动已经发展成为规模相当大的数学教学改革试验，广泛地进入了全国大、中学校的课堂，学校为了适应教育改革要面向21世纪的趋势，适时地对数学的课程设置、教学内容和教学方法进行了调整和改革。

其二，将数学建模引入教学后，既能使数学专业的学生在书本上接触一些实际问题，形成了理论联系实际的思想，培养初步的分析、解决实际问题的能力，也能使学生学会怎样用数学去解决实际中存在的问题，从而自觉培养运用数学工具解决实际问题的能力。

其三，许多教师在所开设的各类数学课程中，对本课程的内容和方法进行了某些必要的调整和改革，在教学过程中力图渗透数学建模的思想方法，讲授一些典型的数学建模实际问题，引起了学生的浓厚兴趣，取得了良好的教学效果。

其四，接受数学建模教学与培训的学生，大都不同程度地学习了诸如图论、数理统计、最优化方法、计算方法、模糊数学、数学软件包的使用等一些近代数学的基本理论与方法，涉猎了数学的一些新领域，拓宽了数学的知识面。

其五，由于数学建模是在较高的数学平台上进行的，因此通过数学建模教学和竞赛活动，可以综合测试、检验学生主动运用数学工具分析、解决实际问题的意识和能力，及时发现数学教学及改革中一些行之有效的做法和进一步解决有待改进的问题。

实践证明，数学建模确实可以提高学生的应用能力和实际动手能力，它的发展推动了数学教学改革，那么为了更好的发挥数学建模的作用，还应该进一步扩大数学建模的推广面、提高它的推广力度，使数学被更多的人所掌握，所应用。为了更好地培养应用型人才，我认为今后的发展方向应该是教师彻底抛弃原有的应试教育的模式，充分将数学建模的思想带入课堂，此外广泛组织数学建模竞赛、开展科技立项活动，也是行之有效的方法。数学建模的发展前景是非常广阔的，它将是“数学的广泛应用性”成为事实，使数学真正成为各行各业专家以至普通百姓手中必不可少的强有力的工具。