用三角代换法妙解有理函数积分
科技信息○高校讲坛○SCIENCE &TECHNOLOGY INFORMATION 2010年第19期
用三角代换法妙解有理函数积分
刘玉娟王法有
(河南理工大学数学与信息科学学院河南
焦作
454000)
【摘要】对于有理函数求不定积分,我们常使用拼凑法或待定系数法把有理函数化成若干个部分式来求解积分,但是在求解过程中对有些有理数积分比较麻烦,有时也可根据所得到的一些递推公式来求解有理函数积分问题。本文主要通过三角代换法解决有理函数的积分问题,会发现有时是非常简便的。
【关键词】不定积分;待定系数法;三角代换法
首先看一个简单的例子求解:
x (x 3+1)dx .
3(A 、B 、C 为待定系数)=A +Bx+Cx (x +1)x +13
我们发现上面的方法虽然可行,但使用起来比较麻烦。对于不定积分的求解我们知道基本方法:换元积分法和分部积分法。而换元积分法中的第二类换元法常用的三角代换法主要是解决带根式如
姨a
±x 的被积函数的积分问题,我们把三角代换法拿来解决有理函
x (x +1)
=A (x +1)+(Bx+C)x
x (x +1)
2
2
2
数的积分问题,会发现有时是非常简便的。
对
有3=A (x +1)+(Bx+C)x =(A+B)x +Cx+A由两边对应系数得,A =3,B =-3,C =0.
x (x 3+1)dx .
∴=3+-3x. x +1x (x +1)从而,
3
解:
x (x +1)tan t (tan t +1)d tan t =3乙tan t sec t dt
3
3sec t
2
3dx =2
x (x +1)
1
乙
(3+-3x)dx x x 2+1
2
=3
=3ln x -3
x +1d (x +1)
2
t dt =3ln sin t +C =3ln x 乙cos 1+x
3又如1(x +1)(tan t +1)
2
+C .
d tan t
=3ln x -3ln (x +1)+C.
然而,上面所用方法对有些有理数积分是比较麻烦的,有时可根据所得到的一些递推公式来求解有理函数积分问题。
例如:求
==
乙
sec t dt =sec t
2
乙cos tdt
2
t+1dt =1(sin2t +t)+C =1(x cos21+x
+arctanx )+C .
1dx . (x +1)
解:由求I n =
(x 1
+1)
通过上面例子,不难发现,对有理函数积分,从理论上讲总可以“积”出来,但过分的墨守成规会造成很大的运算困难,因此,遇到有理函数积分的问题,最好先分析被积函数的特点,灵活选择解法。科
dx 用分部积分法推导出递推公式:+(2n -3)I n-1
●
【参考文献】
[1]同济大学数学系,编.高等数学.高等教育出版社.
I n =
1x (x +1)
乙
x 1+1dx )
则I 2=
(x 1+1)
dx =1(x +I 1)=1(x +
x +1x +1
[2]华东师范大学数学系,编.数学分析.高等教育出版社.
[3]陈纪修,於崇华,金路,编.数学分析.高等教育出版社.
=1(x +arctanx )+Cx +1
[责任编辑:张慧]
(上接第514页)文献的人际传播指的是文献通过两者或两者以上当面进行的点对点的传播,或凭借简单媒介如电话、书信等非大众传播媒介进行的点对点的传播。文献的人际传播一般分为以下两种:3.1赠送
作者将自己的手稿或者刊行的作品赠送给亲朋好友,这是文献的人际传播的一条途径。如唐代大诗人白居易写好诗就读给老妪听,这是当面进行的点对点的文献传播,而他的目的是要看老妪是否能听懂,老妪的懂与不懂是对白居易的传播行为的反馈,这种反馈直接、迅捷,人际传播的优点也在于此。但是只凭作者一人,财力精力有限,这个传播途径的辐射面很窄。此外,第三方购买文献赠送给亲朋好友也是一条传播途径,但通过这条途径进行的文献传播范围更小,一般只针对单个人。3.2交换
文献阅读者之间互相交换自己拥有的文献,形成一张小型传播网。这种传播有可能是面对面的,也有可能借助非大众传播媒介进行。
文献的人际传播在生活中很普遍,而且简单易行,成本较低,但人
际传播的辐射面一般情况下是较窄的。
文献传播所流经的途径经常不是单一的,而是可以交叉的。要达到“童子解吟长恨曲,胡儿能唱琵琶篇”的传播效果,除了文献内容本身的魅力,还需要各种传播机构优化组合。科
【参考文献】
[1]于宏敏. 浅谈文献传播[J].东方艺术,2005年14期. [2]谭宝全. 从新闻眼看报纸读书版[J].新闻记者.2003.
[3]李琦, 秦慧英. 中国电视读书节目现状与前瞻[J].传媒观察,2009.
[4]第24次中国互联网络发展状况调查统计报告[N/OL].[2009-07-16].http://
research.cnnic.cn/html/1247710466d1051.html.
[5]IFLA/FAIFE关于图书馆和知识自由权的声明[N/OL].[2006-11-06].http://blog.sina.com.cn/s/blog_56e[1**********]iv.html.
[责任编辑:张慧]
543