带有积分边界条件的微分方程的数值求解算法
第26卷第1期
哈尔滨师范大学自然科学学报
NATURAL SCIENCES J OURNAL OF HARBIN NORM AL UN I V ERS I TY
V o. l 26, N o . 12010
带有积分边界条件的微分方程的数值求解算法
徐 杰, 么焕民
(哈尔滨师范大学)
摘要 在区间[0, 1]中研究带有积分边界条件的微分方程数值求解问题, 给出了这类方程精确解的表达式, 证明了近似解一致收殓到精确解, 误差随结点数的增
加单调递减. 算例验证了本文算法是有效的.
关键词:带有积分边界条件的微分方程; 再生核空间; 迭代序列; 精确解
再生核空间W 3[0, 1]和W 1[0, 1]的定义参
0 引言
在再生核空间W 3[0, 1]中研究以下二阶非线性带有积分边界条件的微分方程的数值求解问题
u ! (x ) + u ∀(x ) =f(x, u (x ) ), 0
h (x) u (x) d x , ∃
h (x) u (x) d x , ∃
010
121
见参考文献[12].
定理1. 1 再生核空间W 3[0, 1]是个完备的再生核空间, 即对任意固定的x #[0, 1],存在
R x (y ) #W 3[0, 1],使W 3=u(
x ) 成立. 对任意的u(y ) #W 3[0, 1]和y #[0, 1]再生核R x (y ) 可以写成以下形式 R x (y ) =
∋∋
6
6
i=1
a i y b i y
i-1
--10
∋c H
i=1
i
2
i
(y), y (x,
(1)
i-1
i=1
10
10
10
∋
10
2
c i H i (y ), y >x ,
10
i
i=1
其中f:[0, 1]%R &R, h 1:R &R (i =1, 2) 的连续函数, , 2) 是非负实数. i (i =1
带有积分边界边值问题常应用于化学工程、非线性源产生的非线性扩散理论、气体的热点火问题、化学或生物的浓度、地下河流动和人口流动问题研究中, 已经成为近年来重要的研究领域
[1~8]
其中H i (y ) =
h (y ) d y d y d y d y d y d y, ∃∃∃∃∃∃
i =1, 2, a i , b i 和c i , i =1, 2, ) , 6与 1, 2, h 1(x) 和h 2(x ) 有关. 证明参见文献[12].1. 2 引入线性算子L
令Lu =u ! + u ∀:L:W 3[0, 1]&W 1[0, 1],则(1) 可转化为以下等价的算子方程
Lu =F u, [F(u) ](x) =f (x,u(x ) ), 0
10
. 这类问题被许多学者研究, 其解对于气体
的热点火问题以及化学或生物的浓度问题等方面显示了其很好的作用, 而带有积分边界条件的二阶微分方程的解存在性问题已经得到广泛的研究
[9~11]
(2)
其中u(x ) #W 3[0, 1],f (x , y ) #W 1[0, 1]和y =
h (x) u(x ) d x, u(1) ∃
11
, 而研究数值解的问题很少, 所以在本文
中提出了方程的近似和精确解.
1 定义与定理
1. 1 再生核空间W 3[0, 1]和W 1[0, 1]
收稿日期:2009-12-11
+ (1) =1u ∀
h (x ) u (x) d x. ∃
2
容易证明L 是有界的线性算子.
34
哈尔滨师范大学自然科学学报2010年
现在构造标准正交函数系{ i (x ) }i=1, 令! i (x ) =K x i (x ), i (x ) =L ! i (x ), 其中L 是L 的共轭算子, K x (y ) 是再生核空间W 1[0, 1]的再生核. 由K x (y) 的再生性质, 可得
W 3=W =3
W 1=Lu (x i ), i =1, 2, ) 引入以下引理, 在参考文献[13]中已证. 引理1. 1 若u (x ) #W 3[0, 1]则存在M 1>0, 使得+u +C 2[0, 1](M 1+u +W 3, 其中
+u +C 2[0, 1]=x #m ax |u(x ) |+x #m [0ax |u ∀(x) |+[0, 1], 1]
x #[0, 1]
*
*
*
∗
构造迭代序列u n (x ), 令
u 0(x ) #W 3[0, 1],u n (x ) =
∋A
i=1
i n
i
(x) (4)
其中
A 1=
∀11f(x 1, u 0(x 1) ), A 2=
∋
2
k=1
∀2k f (x k ,
(5)
u k-1(xk ) ), ) , A 2=
∋∀
k=1
n
nk
f(x k , u k-1(x k ) )
接下来证明由迭代公式(4) 给出的近似解
u n (x ) 一致收敛于(2) 的精确解.
定理2. 2 假设下列条件满足:(i ) +u n +W 3
2
有界; (ii ) {x i }i=1在[0, 1]内收敛; (iii ), F (x,y (x) ) #W 1[0, 1],对任意y (x) #W 2[0, 1],则迭代公式(4) 给出的u n (x) 一致收敛于(2) 的精确解, 并且u (x ) =
, 其中A ∋A
i=1
i
i
∗
i
3
∗
m ax |u ! (x ) |.
通过对{ i (x ) }i=1实施G ra m -Schm idt 正交
∗
∗
化过程, 可以得到标准正交函数系{ i (x) }i=1, 且成立 i (x ) =系数.
引理1. 2 若+u n -u +W 3&0, x n &x, (n &∗), 对于x #[0, 1],y #(-∗, +∗), f (x,y ) 是
连续的, 则f(x n , u n -1(xn ) ) &f (x , u (x) ), (n &∗), (证明参见参考文献[14].)
∋
i
k=1
∀ik k (x), 其中∀ik 是正交化
由(5) 给出.
证明 (i ) 首先, 证明u n (x ) 的收敛性. 由(4), 有u n+1(x) =u n (x) +A n+1 n +1(x), 由{ i (x ) }i=1的正交性, 推出
+u n+1+W 3
+u n-1+
2
W 3
2
∗
=
2
+u n +W 3
2
2
+(An+1)
n+1
2
=
2
2 算子方程(2) 精确解的表达
定理2. 1 若{xi }i=1在[0, 1]处稠密并且u(x ) #W 3[0, 1]是(2) 的解, 则u(x ) 满足
u(x ) =
∗
i
∗
+(An ) +(An +1) =) =
∗
∋
i=1
(Ai )
(6)
从+u n +W 3的有界性, 可得
∋∋
∋
i=1k =1
∀ik f (xk , u(x k ) ) i (x)
(3)
i=1
(Ai )
2
#
证明 因为u (x ) #W 3[0, 1],
∗
∋
∗
i=1
l (i =1, 2, ) ).
令m >n, 根据(u m -u m-1) −(u m-1-u m-2) +u m -u n +W 3=(
2
2
−) −(u n+1-u n ) 推出
+u m -u m-1+W 3+) +(Ai ) &0, (m,n &∗)
(7)
考虑W 3[0, 1]的完备性, 存在u (x ) #W 3[0, 1],使得u n (x ) u (x ) (n &∗).
(ii ) 其次证明u (x ) 是(2) 的解.
由引理1. 1 以及定理2. 2中的(i ), u n (x) 一致收敛于u(x ), 由(4) 知, u (x) =于
(Lu) (x j ) =
∗
2
2
i (x ) >W 3 i (x) 是u (x) 在标准正交系{ i (x ) }i=1下的Fourie r 级数, W 3[0, 1]是H ilbe rt 空间, 所以级数
∋
∗
+u n+1-u n +
i=1
W 3 i (x ) 在
2
W 3
=
i=n +1
∋
m
范数+, +W 3意义下是收敛的.
又因为u(x ) 是连续的, 所以有u(x ) =
+, +W
∋
∗
3
i=1
W 3 i (x) =
∋∋
∗i
i=1k =1
∀ik W 3 i (x) =
∗
*
W 3
∋∋
i
ik
∗i
i=1k=1
∀ik %
i (x ) =
W 3u(x ) ), ! k (x ) u(k i >W 1 i (x)
=
∋∋
i=1
i=1k =1
∗i
∋∋∀
i
∋A
i=1
∗
i
i . 由
%
∀ik
ik
k
i=1k =1∗
∋A
i=1*
i
W 3=
∋∋∀f (x ,
k =1
∋A
i=1
∗
i
W =3
∋A
i=1
∗
i
j ) W 3,
第1期
n
∗
带有积分边界条件的微分方程的数值求解算法
35
∋∋
n j=1
j=1
∀ij (Lu) (x j )
=
∗
∋
i=1
A i
解.
∀nj j (x) >W 3=
∋
i=1
A i W 3=A n .
(8)
3 数值算例
考虑以下问题:
u ! (x ) +u ∀(x ) +co s [u(x ) ]u(x ) =f(x ) u (0) -u ∀(0) =u (1) +(
10
从而容易得到
(Lu) (x j ) =f (xj , u j-1(xj ) )
∗
注意到{x i }i=1在[0, 1]内稠密, 对任意y #
[0, 1],存在序列{xn j },使得x n j &y (i &∗). 因此, 令j &∗在(8) 中, 由u n (x ) 的收敛性以及引理1. 2, 有(Lu) (y ) =f (y , u (y) ), 其中u (x ) 是(2) 的解u (x ) =
∋A
i
i=1∗
i
-u(x ) d x ∃
1
11
-) u ∀(1) =
2e
(2x +2) u (x ) d
x ∃
4
2
其中A i 在(5) 中给出.
从引理1. 2, 有以下推论.
推论2. 1 假设定理2. 2成立, 则u n (x ) 满足+u n -u +C 2[0, 1]&0, n &∗, 其中u (x ) 是(4) 的
表1
结点0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 91. 0
精确解u (x) 0. 1105170. 2442810. 4049580. 596730. 8243611. 093271. 409631. 780432. 213642. 71828
其中精确解u(x ) =x +x +1, f (x) =1+12x +
344
4x +(1+x +x ) cos (1+x +x ), 数值计算结果参见表1. 一阶导数和二阶导数的均方差分别是6. 23575E -6和6. 84763E -6.
绝对误差4. 75991E -77. 50109E -71. 05524E -61. 38952E -61. 75429E -62. 16013E -62. 63643E -63. 24081E -64. 054E -65. 14329E -6
相对误差4. 30695E -63. 07068E -62. 60579E -62. 32855E -62. 12806E -61. 97584E -61. 87031E -61. 82024E -61. 83137E -61. 089211E -6
近似解与精确解的数值计算结果
近似解u 240(x)
0. 1105180. 2442810. 4049590. 5967310. 8243621. 093271. 409631. 780442. 213652. 71829
参 考 文 献
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36
哈尔滨师范大学自然科学学报2010年
The Solution of D ifferent Equation w it h
Integral Boundary Conditi ons
Xu Jie , Y ao H uanm i n
(Harb i n Nor m alU n i vers it y)
ABSTRACT
In this paper , d ifferentia l equati o n w it h i n tegra l boundary conditi o ns on [0, 1]is so lvea. l Its exact so lu
ti o n is represented in the for m o f series in the reproducing ker nel space and a ne w m ethod to so lve the equa ti o n . The appr ox i m ation of t h e exact so l u ti o n is proved to converge to the exact so l u ti o n . Num erical results are sho w ed that the m ethod e m ployed i n the paper is va li d
K eyw ords :D ifferentia l equation w it h integral boundary condition ; Reproducing kernel space ; Iterati v e sequence ; Exact solution
(责任编辑:李双臻)
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The Constructure of Cartan -Type M odular L ie Superal gebras HO
W ang W e ifeng
(Harb i n Nor m alU n i vers it y)
ABSTRACT
So m e pr operties are constructed i n this paper about the finite-d i m ensional restricted Cartan-Type m od u lar Lie superalgebras H O on t h e field w ith the character of p >3, so m e si m ple pr operties about the generators and generated sets ofm ulti p lication are estab lished , on the basis of these results , the concrete for m of its so m e m ax i m al g raded suba l g ebras is stud ied by m eans of t h e graded properti e s o f HO.
K eyw ords :C artan-Type m odu lar L ie supera l g ebras ; Ex terior algebra ; M ax i m al suba l g ebras
(责任编辑:李双臻)