用二分法求方程的近似解(修改稿)

用二分法求方程的近似解

宁波二中 孙 鋆

一、教材分析

⒈ 教材的地位和作用

用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。为了帮助学生认识函数与方程的关系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立起方程的根和函数的零点的联系。第二层面，通过二分法求方程近似解，体现函数与方程的关系。第三层面，通过建立函数模型以及运用模型解决问题，进一步体现函数与方程的关系。本课正处于第二个层面，要求学生根据具体函数的图像，能借助计算器用二分法求相应方程的近似解，沟通了函数，方程，不等式等高中的重要内容，同时为必修3的算法学习做准备。

本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想等数学思想。

⒉ 教材的重点、难点和疑点

教学重点：二分法基本思想的理解；借助计算器用二分法求所给方程近似解的步骤和过程的掌握；

教学难点：精确度概念的理解，二分法一般步骤的归纳和概括。

教学疑点：方程近似解的选取。

二、教学目标分析

通过本节的学习达到以下目标：

1、知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，了解这种

方法是求方程近似解的常用方法。

2、能力目标：利用直观想象分析问题来培养学生直观想象能力，通过让学生概括二分法

思想和步骤培养学生的归纳概括能力；培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

3、情感目标：在问题的发现、探究过程中，感受成功的体验，激发学习的兴趣。

从知识、能力和情感态度三个维度分析学生的基础、优势和不足，是制定教学目标的重要依据。这里避免使用“使学生掌握…”、“使学生学会…”等通常字眼，体现了学生的主体地位和新课程理念。

三、学况分析和学法指导

1、高一学生通过函数和本章第一节学习，对函数的基本性质及函数与方程的联系有了初步认识，初步具备了数形结合思想方法考察问题的能力。

2、积极启发诱导，使学生学会观察问题、探究问题，自主归纳总结进而得出规律。 备课不只是对知识和教学过程的准备，也包括对学情的分析掌握和学法指导。二者的和谐统一是提高教学效果的基本要求。

四、教学方法和教学手段

建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。元认知理论指出，学习过程既是认识过程又是情感过程，是“知、情、意、行”的和谐统一。遵循教师为主导，学生为主体的教学原则，体现知

识为载体，思维为主线，能力为目标的教学思想，二分法是一种方法，具有极强的可操作性，因此，引导学生自主学习、主动探索比较适合本节课知识特点，由此确定以下教学方法和教学手段：

1、 教学方法：

创设问题组，设置认知冲突，采用探索讨论法进行教学，学生主动参与提出问题、探索问题和解决问题的过程，突出以学生为主体的探究性学习活动。

2、 教学手段：

为了解决数值计算复杂和图形难画等困难，借助信息技术如几何画板、ppt、excel等实现计算机辅助教学。同时，让学生借助于计算器加强课堂练习的效果与反馈。

五、教学过程

1、温故知新、设置冲突

问题1：判断方程lnx2x60根的个数？

问题2：试求方程lnx60的根？

问题3：试求方程lnx2x60的根？

（幻灯片）

设计意图：

问题是数学的“心脏”，是数学知识、能力发展的生长点和思维的动力，把问题作为教学出发点，创设学生熟悉的问题组，构造认知冲突和悬念。问题1是书96页例1的改编，意在复习方程的根和函数零点的联系，问题2复习简单的对数方程根的求法，问题3则是求解问题1中方程的根。

由问题1与问题3构成的问题组是对同一方程从根的个数判断深入到根的求法，思路自然；由问题2和问题3组成的问题组是对不同对象同一主题（求方程根）的探求；学生解决问题3时，以往解方程的方法如变形，换元等无法求解方程，引起学生认知冲突，激起学生进一步探究的欲望。

2、问题调整，直面主题

在学生对问题3讨论中，教师适时提出对于绝大数类型的方程而言，我们是难以求出他们的精确解的；而现实中，许多实际问题也不需要精确解，而只需要符合一定精确度的近似解就可以了，进而引本课主题求方程的近似解。通过联系上节课内容,易将方程的近似解问题转化为相应函数零点的近似解问题。

问题4：函数零点的精确度与函数零点所在范围大小的关系？（直观想象）

o xx oba

设计意图：

一方面将研究问题进一步明确化，另一方面为引出二分法做铺垫，同时培养学生直观想象能力。利用数轴画图出简图来辅助说明，理解为求得方程更为精确的近似解，直观上就是去探求零点所处的更小的范围，即求方程近似解的问题可以转化为不断缩小零点所在范围或区间的问题。

3、创设情境，尝试探求

问题5：2007年9月18日午夜第13号超强台风“韦帕”影响宁波，次日该市某山区发现从水库闸房到防台指挥部的用电话线路某一处发生了故障，这是一条10km长的线路，每隔50m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，问如何快速找到被毁坏的电线杆？ 问题6：如何缩小零点所在区间【a，b】的范围？（二分法）

问题7：将一个区间分为两个区间，你会怎么分？

学生可能会提供各种答案，教师可根据学生提出的答案灵活处理：

答案一：直接将线路分成若干个小线路段，逐个检验，看断点在哪个更小的路段，这种方法是我们所期待的，在此基础上引出这种方法的最简单的一种——二分，从而引出二分法思想； 答案二：从两边往中间缩小，即两边夹击，可以让学生尝试夹击过程中如果发现某路段无故障时，如何调整？由此获得启示：此方法尽管自然，但效率较低，无规律可循，也不便实际应用。

对于问题7的回答，教师应该抓住机会说明“取中点”缩小零点范围的方法称为“二分法”，进一步明确这种思想。对于给定的区间（a,b）,取中点m＝（a＋b）/2,若f((a+b)/2)=0，则m为函数的零点；如果 不为0，通过比较两个端点函数值符号，即可判断零点在（a，(a+b)/2）还是在（(a+b)/2，b）内，从而范围缩小一半。

由此让学生直观想象，用此法是否可以得到任意精确度的近似值？

设计意图：

(1) 问题情境的创设贴近生活，且恰时恰点，能够激起学生新的探究激情，引出本课核心的思想方法――二分法思想。

（2）“给学生提供活动的时（思维时间）空（思维空间），让主体主动构建自己的认知结构，培养学生的创造力”这是建构主义的核心观点，它充分体现了学生的主体地位和教师的主导作用。

（3）由问题5的探究解决水到渠成给出了问题6的答案，培养学生的思维迁移和转化能力。问题7引导学生从美的角度提出“取中点”的二分思想，让学生感受数学的美学情趣。并让学生在自主探索和相互交流的过程中，感受成功和失败的体验。深刻领悟到数形结合思想和转化的思想在解决数学问题中所起的作用。

4交流合作，解决问题

问题8：利用二分法不断缩小函数f(x)lnx2x6零点所在的范围（2，3） 问题9：当精确度为0.001时，求方程lnx2x60的近似解。

先让学生利用excel所给出的数据利用二分法思想不断将零点所在范围逐步缩小，让学生利用数据自我选择从而得出教科书上的表格3－2，体验二分法的过程，然后给出精确度确

进而确定零点的近似解。最后利用动态演示展现二分法的全过程，使学生的感官受到强烈的冲击，加深对二分法的理解。

设计意图：

问题8让学生动手操作、主体参与，从不同步长的数据中选择所需的数据，提高数据处理能力并为问题9的解决做好脚手架；利用多媒体辅助教学有利于完善学生认知，深刻体验二分法思想的本质，为学生自身总结归纳步骤奠定基础，并且提高教学效率。

5、归纳总结，揭示新知

先由学生独立通俗的概括，然后师生交流、讨论，着重指出“二分法”的实质是将函数零点所在的区间不断的一分为二，使得新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点。

教师板书二分法的定义，本方法所体现的思想是数学中的重要思想――逼近思想。教师进一步引导学生梳理前面的思维过程，先可以采用通俗的语言加以概括。

通俗化步骤表达：

1选取满足条件f（a）（b）f

3计算f(m);并进行判断:

(1) 若f(m)=0,则m就是函数的零点,结束;

(2)

(3) 若f（a）f（m）

4判断新区间是否达到精确度要求:

若新区间长度小于,则满足要求,取出相应的端点为零点的近似值;

否则,对新区间在重复做2～～4。

适时点拨其中可能的疑点：

（1） 步骤1中区间的开闭无关本质；

1（2） 若区间长度为1，使用二分法n次后，精确度为n，可以估计达到精确2

1度至少需要使用次数：满足n的最小自然数n； 2

（3） 如何取相应零点的近似值？

教师在此基础上引导学生转化到课本的写法上来，其中需要突破之处：

（1） 为了使所得新区间仍用（a，b）表示，需要更新a，b的值，不妨将中点

大小赋给相应的端点。

（2） 步骤改进：零点的近似解确定为最后满足精确度的区间端点的更新值（即

上一区间的中点）

设计意图：

(1) 启发诱导，揭示知识形成过程，让学生参与教学过程，倡导布鲁纳的

发现教学：让学生作学习的主人。及时梳理归纳，符合建构主义的学习原理，能较好地形成新的认知结构。

(2) 通过前面对一个具体实例的求解，归纳总结得出一般结论，遵循了从“具体到抽象”的认知规律，蕴含了从“特殊到一般”的推理方法。

(3) 先让学生用自己的语言归纳概括进而转化到形式化的算法语言，不仅降低步骤归纳的难度，又给二分法的本质理解提供了时机。

6、应用新知，练习巩固

x23x7的近似解（精确度为0.1） 例 借助计算器或计算机用二分法求方程

（如课本处理）

变式1: 精确度改为0.01呢?

变式2: 2x3x7还有其他根吗?

变式3: 精确度为0.1改为精确到为0.1呢?

设计意图：

(1)精心设计了阶梯型的变式问题，使学生主动参与教学活动，思维层层深入，体现了教师为主导，学生为主体的教学原则。

(2) 例题的变式2是让学生对一个具体函数或方程零点或根的探究有更完整的认识,变式3又设置了学生熟悉但疑惑的认知冲突,认清精确到和精确度的联系和区别:如精确到为0.01,首先必须满足精确度为0.01,其次要使所得到的新区间内每个值所保留小数点后两位有效数字都相同.(一般还得继续二分),如何停止？要求学生课后继续思考.

32f(x)x1.1x0.9x1.4在区间（0，1）内的零点。 练习1：p100：用二分法求函数

（精确度为0.1）

练习2：下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）

（D） （A） （B） （C）

设计意图：

练习1是为了巩固二分法求方程近似解的一般步骤；

练习2是为了让学生明确二分法求近似解的使用范围，即适用于变号零点的近似解问题。

7、小结评价，作业创新

由学生归纳本课主要内容：

1二分法的基本概念

2用二分法求方程的近似解的步骤，体验其中蕴涵的算法和逼近思想

课后思考题：

现有12个外观完全相同的小球，其中有一个小球的重量与不合标准（且不知此小球相对于标准的轻重），其余的小球重量均相同，若你只有一架天平，请你设计一个称重方案，以最少次数找出这个特殊的小球.

作业：1 书本102页习题31A组 3－5

2 阅读课本101页阅读材料《中外历史上的方程求解》，并搜寻相关资料写数学小论文，参考题目如下：《我看“逼近思想”》、《“二分法”的应用》

（选作）3《中学数学》2006年第12期中论文《对新教材中两道例题的解答的反思》，并提出你的观点。

设计意图：

(1)通过小结使学生明确本节课的知识。

(2)适当的作业有助于进一步巩固新知。

(3)思考题有助于学生对于二分法在实际生活中的运用，感受数学思想方法的应用价值。

(4)阅读课本材料和学写相关数学小论文，有助于让学生感受数学文化，逐步形成正确的数学观。作业的必修和选修，为学生提供了多样课程，适应了个性选择，符合新课程所积极倡导的理念。

六、评价和说明

1、这节课安排了温故知新、设置冲突；问题调整、直面主题；创设情境、尝试探求；交流合作，解决问题；归纳总结、揭示新知；应用新知、练习巩固；小结评价、作业创新等环节。整堂课围绕数形结合、逼近、化归的数学思想方法这一主题来展开的。

2、本设计注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思想场所。

3、教学中采用多媒体的手段，利用几何画板软件、excel软件、ppt课件等，画面丰富生动，使学生的多种感官获得外部刺激，有利于完善认知结构，提高教学效率。

4、本设计较为重视直观想象的应用，在培养逻辑思维的同时注重非逻辑思维的培养。并且对教材中的细节进行了较为妥当的处理和补充。如精确度和精确到的问题，步骤中的几处疑点，特别是最后零点近似解的取舍，不拘泥于教材而超越教材，又为后续算法的学习打下了较好的基础。

5、时间大致安排：问题组引入课题约3分钟，问题调整、尝试探求约9分钟，交流合作、解决问题约10分钟，归纳总结、揭示新知约5分钟，应用新知、练习巩固约15分钟，小结作业，问题创新约3分钟，依据上课的具体情况可进行适当的调整。

附:板书设计

（获宁波市2007年直属学校数学青年教师说课比赛一等奖）