全等三角形的综合运用

全等三角形的综合运用

【方法归纳】

问题一：如何证明角相等？ 方法归纳：

证明角相等有两种方法：

①直接用定理证，可用定理有：

②通过关系的转化来证明：

角与角的关系有：______________、________________、_______________、_____________等等。

例如：

1. 用等腰直角三角板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到

如图1所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的

斜边与射线OA 的夹角α为＿＿＿°.

2. 如图，已知ΔABC的两条高BD 、CE 交于点F ，延长CE 到Q ，使CQ ＝AB ，在BD 上截取BP

＝AC. 试猜想AQ 与AP 有何关系？并证明你的结论.

3. 已知：如图，△ABC 和△DEF 均为等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，请找出与

∠BDE 相等的角，并说明理由。

问题二：如何发现全等？

例如：

1. 已知：如图，AB=AB´，AC=AC´，∠BAB´＝∠CAC´＝900，判断C´B´与BB´的位置关系，并证明。

2. 如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝900，AC=BC，过C 的直线DE ，AD ⊥DE ，BE ⊥DE 。

（1）保持图1中△ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；

（2）保持图2中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．

图1 图2

图3

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问题三：如何构造全等？

1、显性辅助线：把图中存在的，但没有显示出来的全等三角形画出来。 2、常规辅助线：

3、学习型辅助线： 4、动态延伸型辅助线：

辅助线添加时要注意以下几点：

1、解决条件延伸或为求证做出铺垫的作用。 2、注意观察辅助线新增结论。 3、辅助线添加要有整体意识。 例如

1. 已知：如图，△ABC 中， D 为AB 延长线上一点，BD=AC，点P 在∠BAC 的平分线上，且满足△P AD 是等边三角形。（等边三角形的三个内角都是600，三条边都相等），图形中是否存在全等三角形，你能通过连接某两个点，找到全等的三角形吗？找出并证明。

2. 已知：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC 。求证：

B

3. 如图，△ABC 中，D 是BC 中点，求证AB+AC>2AD。

B

3. 在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．

（1）如果AB=AC．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，

并证明你的结论．

图（1）

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立？画出图形作为解

释。

图（2）

4．如图，A 、B 分别为湖两岸的一点，其距离不能直接测出．请你根据所学的知识，设计一个测量A 、B 两点之间距离的方法．要求：画出图形，写出已知和求证，并证明．

5. 如图，在五边形ABCDE 中，∠ABC=∠AED=900，AB=CD=AE=BC+DE=1。 求五边形ABCDE 的面积。

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【巩固与提高】

体会前面讲述的方法，进行下面的练习，在练习中分析，运用方法。在运用中不断领悟提高。 1. 如图，在等边三角形ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 上的点，BN 与CM 相交于点O ，且∠BOM =60°，

求证：BN =CM 。（等边三角形的三个内角都是600，三条边都相等）

2． 如图，已知：BC ∥AD ，∠BAD ＝900，AB ＝AD ，将AC 边以点A 为中点逆时针旋转900得

到线段AC´，联结B C´，判断直线B C´与直线CD 的夹角∠E 的度数，并加以证明

3． 如图1，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，则AD ＝BE 。

（1）如图2，当△ACB 以点C 为中心旋转时，AD 与BE 还相等吗？

（2）若CD ＝2，AC ＝3，△ACB 旋转到什么位置时，AD 的最大，最大值是多少？

图1 4． 如图，BA ＝4，BD ＝3，以AC 为边作等腰直角△ACE ，以BC 为边作等腰直角△BCD ，当∠ABC

变化，且其它条件不变时，求BE 的最大值，及相应∠ABC 的大小，并说明理由。

5． 四边形ABCD 中，E 是BC 中点，AE ⊥ED ，求证：AB+CD>AD。

00

6． 已知四边形ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120，∠MBN=60，∠MBN 绕B 点旋

转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．

①当∠MBN 绕B 点旋转到AE =CF 时（如图1），易证AE +CF =EF ．

②当∠MBN 绕B 点旋转到AE ≠CF 时，在图2的情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE ，CF ，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． A A E M E M B B

D D C C F F N N

图1 图2

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