特殊平行四边形:菱形
菱形
3
,BE=2,则tan∠DBE的值是( ) 5
1.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,cosA=
A.
1
B.2 C
. D
.
25
2
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=4,∠BAD=120°,则菱形ABCD的周长为( )
A.20 B.18 C.16 D.
15
3
3.如图所示,菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=5,则下列结论正确
的个数有( )
①DE=3cm ②BE=1cm ③菱形的面积为15cm ④BD=2cm A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2
4.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,则△AEF的周长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 3
A
B
E
DFC
5.如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为60︒ 的菱形,剪口与折痕所成的角α 的度数应为( )
A.15︒或30︒ B.30︒或45︒ C.45︒或60︒ D.30︒或60︒
6.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,∠AOC=45°,OC=坐标为( )
,则点B的
B.(1 C.11), A.D.+1)
7.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( ) A.35° B.45° C.50° D.55°
8、如图,①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH(不重叠无缝隙).若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形ABCD面积是11cm2,则①②③④四个平行四边形周长的总和为( ) (A)48cm (C)24cm
(B)36cm (D)18cm A
⑤
HF
C
(第10题)
G
9、在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE(点E,F分别在线段AB,CD上),记它们的面积
分别 为SABCD和SBFDE.现给出下列命题:( )
①若
SABCD=
,则tan∠EDF.②若DE2=BD∙EF,则DF=2AD. SBFDE则:
A.①是真命题,②是真命题 B.①是真命题,②是假命题 C.①是假命题,②是真命题 D,①是假命题,②是假命题
10、 如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论: ①△AED≌△DFB; ②S四边形 BCDG=
CG2; 4
③若AF=2DF,则BG=6GF.其中正确的结论
A.只有①②. B.只有①③.C.只有②③. D.①②③.
第12题图
11、如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与A、C重合),且PE//BC交AB与E,PF//CD交AD于F,则阴影部分的面积是
12、如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm,若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,则∠1= .
13、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图),则重叠四边形的面积为_______cm
.
2
14、 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,
垂足为H,则点O到边AB的距离OH= .
15、如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是 .
16、如图所示,两个全等菱形的边长为1米,一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2009米停下,则这个微型机器人停在______点。
17、 已知菱形ABCD的边长是8,点E在直线AD上,若DE=3,连接BE与对角线AC相交于点M,则
MC
的值是 。 AM
18、如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1,则第n个矩形的面积为 。
……
19、图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图2),依此规律继续拼下去(如图3),……,则第n个图形的周长是
……
图1
图2
图3
20、如图,菱形AB1C1D1的边长为1,∠B1=60;作AD2⊥B1C1于点D2,以AD2为一
边,做第二个菱形AB2C2D2,使∠B2=60;作AD3⊥B2C2于点D3,以AD3为一边做第
三个菱形AB3C3D3,使∠B3=60; 依此类推,这样做的第n个菱形ABnCnDn的边
ADn的长是
CB2 D3 C2
B1
A D2
1
B3
D1
21、如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60︒.连结对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使 ∠D1AC=60︒;连结AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使 ∠D2AC1=60︒;……,按此规律所作的第n个菱形的边长为
D
1
22、如图7,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥
AB,垂足为E. (1) 求∠ABD 的度数; (2)求线段BE的长.
图7
23、已知:如图,四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F. (1)求证:AM=DM;
(2)若DF=2,求菱形ABCD的周长.
24、已知:如图,在ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC. (1)求证:BE=DG;
(2)若∠B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?证明你的结论.
B C E F
25、两个完全相同的矩形纸片ABCD、求证:四边形BNDMBFDE如图7放置,AB=BF,为菱形.
A
D
B
E
C
D
26、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.
(1)求证:△ABE≌△ACE
(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.
27、如图,A是∠MON边OM上一点,AE∥ON. (1)在图中作∠MON的角平分线OB,交AE于点B;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)在(1)中,过点A画OB的垂线,垂足为点D,交ON于点C,连接CB,将图形补充完整,并证明四边形OABC是菱形.
28、如图所示,在Rt△ABC中,将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60︒得∠ABC=90︒.到△DEC,点E在AC上,再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180︒得到△ABF.连接 AD.
(1)求证:四边形AFCD是菱形; (2)连接BE并延长交AD于G,连接CG,请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形?为什么?
A
D
F
B
C
29、学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案,每增加一个菱形图案,纹饰长度就增加dcm
,如图所示.已知每个菱形图案的边长cm,其一个内角为60°.
第19题图
(1)若d=26,则该纹饰要231个菱形图案,求纹饰的长度L;
(2)当d=20时,若保持(1)中纹饰长度不变,则需要多少个这样的菱形图案?
30、在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AC=6.过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E. (1)求△BDE的周长;
(2)点P为线段BC上的点,连接PO并延长交AD于点Q.求证:BP=DQ.
Q
C
E
D
31、将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图(1);再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图2,证明:四边形AEDF是菱形.
B
FD
B
D
(1) (2)
32、如图,在□ABCD中,EF∥BD,分别交BC,CD于点P,Q,交AB,AD的延长线于点E.F.已知BE=BP.求证:(1)∠E=∠F(2)□ABCD是菱形.
33、在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是BD延长线上的点,且ΔACE是等边三角形。
(1)求证:四边形ABCD是菱形。
(2)若∠AED=2∠EAD,求证:四边形ABCD是菱形。
34、如图,在菱形ABCD中,P是AB上的一个动点(不与A,B重合),连接DP交对角线AC于点E,连接ED. (1)求证:∠APD=∠EBC.
(2)若∠APD=60,试问点P运动到什么位置时ΔADP的面积等于菱形ABCD的面积的1/4?为什么?
35、如图15,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论.
36、如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、F分别为边AD、CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:∆BDE≅∆BCF
(2)判断∆BEF的形状,并说明理由。
(3)设∆BEF的面积为S,求S的取值范围。
37、如图,四边形ABCD中,AB=CD,M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点,求证:MN与PQ互相垂直平分。
38、已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,在线段AD上任取一点P(点A除外),过点P作EF//AB,分别交AC、BC于点E、F,作PM//AC,交AB于点M,连结ME。
(1) 求证:四边形AEPM为菱形。
(2) 当点P在何处时,菱形AEPM的面积为四边形EFBM的一半。
39、如图1,P是线段AB上的一点,在AB的同侧作△APC和△BPD,使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,顺次连接E、F、G、H.
(1)猜想四边形EFGH的形状,直接回答,不必说明理由; (2)当点P在线段AB的上方时,如图2,在△APB的外部作△APC和△BPD,其他条件不变,(1)中的结论还成立吗?说明理由; (3)如果(2)中,∠APC=∠BPD=90º,其他条件不变,先补全图3,再判断四边形EFGH的形状,并说明理由.
P
图1 图2 图3
B
40、如图,矩形ABCD中,点P是线段AD上一动点,O为BD的中点,PO的延长线交BC于Q.
(1)求证: OP=OQ;
(2)若AD=8厘米,AB=6厘米,P从点A出发,以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,请用t表示PD的长;并求t为何值时,四边形PBQD是菱形.
41、在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N.
(1)如图25-1,当点M在AB边上时,连接BN.
①求证:△ABN≌△ADN;
②若∠ABC = 60°,AM = 4,∠ABN =α,求点M到AD的距离及tanα的值;
(2)如图25-2,若∠ABC = 90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12). 试问:x为何值时,△ADN为等腰三角形.
42、如图①,已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形(菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2︰1),∠BAD=120°,对角线均在坐标轴上,抛物线y=12x经过AD的中点M. 3
⑴填空:A点坐标为 ,D点坐标为 ;
⑵操作:如图②,固定菱形ABCD,将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转α度角(0
探究1:在旋转的过程中是否存在某一角度α,使得四边形AFEP是平行四边形?若存在,请推断出α的值;若不存在,说明理由;
探究2:设AP=x,四边形OPDQ的面积为s,求s与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围.