匀速圆周运动专题整理
常见的圆周运动模型
物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力. 物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和). 具体运动类型如下。
一、匀速圆周运动模型及处理方法
1．随盘匀速转动模型（无相对滑动，二者有共同的角速度）
例4． 如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。轻绳长度为L 。现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度ω
（1）物体运动一周所用的时间T ；
（2）绳子对物体的拉力。
2。火车转弯模型（或汽车拐弯外侧高于内侧时）
汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽
力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F 向＝mg tan 车的支持力的合θ，根据牛顿第v 2
二定律：F 向＝m ， R
tan θ＝，
例. 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L . 已知重力加速度为g . 要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向) 等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
h d gRh B. L gRh C. d gRL h gRd B对． h
3。圆锥摆模型
小球在水平面内是匀速圆周运动，重力和拉力合力提供向心力mg tan θ
例6. 如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻
力，关于小球受力有以下说法，正确的是（ ）
A. 只受重力 B.只受拉力
C. 受重力. 拉力和向心力 D.受重力和拉力
4. 双星模型
练习．如图所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细
绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是
A ．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B ．小球只受重力和绳的拉力作用
C ．θ 越大，小球运动的速度越大
D ．θ 越大，小球运动的周期越大
练习. 有一种叫“飞椅”的游乐项目, 示意图如图所示, 长为L 的钢绳一端系着座椅, 另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘. 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动. 当转盘以角速度ω匀速转动时, 钢绳与转轴在同一竖直平面内, 与竖直方向的夹角为θ. 不计钢绳的重力, 求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
二、匀速圆周运动中实例分析
例．如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面．若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角为B, 女运动员的质量为m, 转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r, 求这时男运动员对女运动员的拉力大小及两人转动的角速度。
练习. 如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A 和B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则 （ ）
Ａ．球A 的角速度一定大于球B 的角速度
Ｂ．球A 的线速度一定大于球B 的线速度
Ｃ．球A 的运动周期一定小于球B 的运动周期
Ｄ．球A 对筒壁的压力一定大于球B 对筒壁的压力
答案：
练习．如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m 的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r 的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是( )
A ．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡
B ．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心
C ．此时手转动塑料管的角速度ω＝
mg
μ
r
D ．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动 答案：A
练习．中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是( )
A ．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动
B ．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动
C ．公路在设计上可能内(东) 高外(西) 低
D ．公路在设计上可能外(西) 高内(东) 低
解析：由题图可知发生事故时，卡车在做圆周运动，从图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动，故选项A 正确，选项B 错误；如果外侧高，卡车所受重力和支持力提供向心力，则卡车不会做离心运动，也不会发生事故，故选项C 正确． 答案：AC
练习. 甲、乙两名溜冰运动员, 面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演, 如图所示. 已知M 甲=80 kg,M 乙=40 kg, 两人相距0.9 m,弹簧秤的示数为96 N,下列判断正确的是 ( )
A. 两人的线速相同, 约为40 m/s B. 两人的角速相同, 约为2 rad/s
C. 两人的运动半径相同, 都中0.45 m D. 两人的运动半径不同, 甲为0.3 m,乙为0.6 m
答案 BD
二、常见的变速圆周运动模型
1、线球模型（高中阶段只要求分析特殊位置最高点、最低点）
如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv/R→v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
2②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当V ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：V ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）。
2、杆球模型
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力。
①当v ＝0时，N ＝mg （N 为支持力）
②当 0＜v ＜Rg 时， N随v 增大而减小，且mg ＞N ＞0，N 为支持力．
③当v=Rg 时，N ＝
注意：当v ＞Rg 时，N 为拉力，N 随v
管壁支撑情况与杆子一样。若是图（b ）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力。 例．如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是 （ ）
A ．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C ．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则在最高点的速率为gL
D ．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 答案：CD
练习、定性分析竖直摆在摆动的过程中拉力的大小变化情况
例． 如图所示，可视为质点的、质量为m 的小球，在半径为R 的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（ACD ）
A ．小球能够通过最高点时的最小速度为0
B ．小球能够通过最高点时的最小速度为gR
C ．如果小球在最高点时的速度大小为2gR ，则此时小球对管 道的外壁有作用力
D ．如果小球在最低点时的速度大小为gR ，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力
三、圆周运动与其它运动的结合（学到机械能动能定理才能做）
例. （学了动能定理能做）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地。如题24图所示。已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为
空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小3d, 重力加速度为g 。忽略手的运动半径和4v 2。
（2）向绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，
要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
例．（学了动能定理能做）如图所示，离心轨道演示仪结构示意图。弧形轨道下端与半径为R 的圆轨道相接，质量为m 的小球从弧形轨道上端高h =4R 的A 点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开圆轨道。不计一切摩擦阻力，重力加速度为g 。试求:
(1)小球运动到圆轨道最高点时速度的大小；
(2)小球在圆轨道最高点时对轨道压力的大小。
例．如图所示， AC为竖直平面内的四分之一圆弧轨道，O 为圆心，C 位于O 点正下方，圆轨道下端C 与水平轨道相切。一质量为m 的小球，自A 点由静止开始沿轨道下滑。已知轨道半径为R ，不计各处摩擦及空气阻力，重力加速度用g 表示，求
1（1）小球下滑到距水平轨道的高度为R 时速度的方向，并2A O
画出示意图；
（2）小球到达C 点时的速率；
（3）小球经过圆弧轨道的C 点时，对轨道的压力。 圆周运动和其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结
合点：如位移关系、速度关系、时间关系等．还要注意圆周运
动的特点：如具有一定的周期性等．
点评：对于比较复杂的问题，一定要注意分清物理过程，而分析物理过程的前提是通过分析物体的受力情况进行．