论数学的对称美在数学学习中的意义

论数学的对称美在数学学习中的意义

摘要： 人们对数学美的追求与数学的研究是同步进行的，数学的美，如同音乐家演奏的美妙旋律，画家笔下的精美作品一样。同样是在表达美，只不过形式不同而已。本文通过对数学的对称美的研究，希望能引起共鸣，使更多的人来关注数学美学的发展。

关键词： 对称美 数学思想

中图分类号：O1-099 文献标识码：A

T alk about the symmetrical American meaning in mathematics is studied of mathematics

Summary : People's study on mathematics beautiful pursuit and mathematics is carried on in step , mathematics is beautiful, like the wonderful melody which the musician plays, the exquisite works in the works of the painter are the same. Expressing too beautifully, only forms are different. This text passes the symmetrical and beautiful research to mathematics, hope Y es to cause the sympathetic response, make more persons pay close attention to the development of mathematics aesthetics

Keyword: Symmetrical an beautiful Mathematics thought

1. 引言

“万物皆数”这是毕达哥拉斯学派的观点，的确数学的发展与人类社会的发展是密不可分的，人类对文明的追求，正是沿着挖掘事物美这条道路前进的，同样数学的发展也是追求数学美的过程。数学也是自然科学的语言，故它有一般语言文学艺术所共有的美学特征，即数学在内容结构上，方法上也都有自身的某种美，即所谓的数学美。因此数学美是具体的，形象生动的，数学的美起源遥远，历史悠久。

2. 什么是数学的对称美

在原始意义上，对称性是指组成一种事物或对象的两个部分的对等性。从古希腊起，对称美就是数学美的一个基本形式。对称美是数学美的一个特征。除次外，还有统一美，简洁美等等。毕达哥拉斯学派认为：一个图形的对称性越多，图形越完美。他们指出：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”因为这两个形体各个方面都是对称的。

随着数学的发展，对称的概念得到了不断的发展，即由一个含糊的概念发展成为精确的几何概念，包括双侧的，旋转的，平移的，对称的等等，至今更为一般的概念，指元素的构形在自相变换下的不变性，另外由数学历史可以看出，对于对称性的追求的确在具体的数学研究中发挥着极其重要的作用。

3. 对称美在具体问题中的应用

数学问题浩如烟海，解题时很难找到一定的程式。有时在美的号召下，凭借美的感受，领悟问题显露的美，并以此为思维导向，另辟新径。常可获得别开生面的妙解。

例如 求 P=sin100sin 300sin 500sin 700的值

解：设q=cos100cos 300cos 500cos 700

pq=1

2sin 200112sin 60012sin 100012sin 1400 =

=161cos 700cos 300cos 500cos 100

16q

1

16而q ≠0, 所以p=

这里为求p 而巧设q ，解法巧妙，呈现了平衡的对称美，令人愉快，具有美感。

利用题目中的已知条件，如果图形，式子具有某种对称性，可考虑结论是否符合对称性的要求。

例2 若三角形ABC 边长为a,b,c 且满足等式 a 2+b 2+c 2=ab +bc +ac 判断三角形ABC 的形状。

A 直角三角形 B等腰三角形 C 钝角三角形 D等边三角形

由于题目的条件等式关于a,b,c 是对称的，而A ，B ，C 并不满足这样的条件，所以都是错误的。事实上，由条件可得 (a -b ) 2+(b -c ) 2+(c -a ) 2=0即有a=b=c所以正确答案为D 。

数学中的许多结论都具有惊人的对称性。出于对称性的考虑，数学家常常不满足于一个命题本身的研究，而且还要探讨它的逆命题，否命题，逆否命题。因此，一个完美的命题，它的“充要条件”使得命题具有对称美。

利用数学的对称性解决数学问题，例如欧几里德曾证明希帕索斯的发现—无理数的存在，他的证法如下：

设正方形的对角线长 n

m （ m,n不可约） 12+12= () 2，即 m 2=2n 2，从m n

而m 为偶数，n 必为奇数。。又设m=2p,则 4p 2=2n 2因而n 是偶数，这便产生了矛盾，即对角线长不能用整数之比来表示。

上述是利用了等式的对称性。等式是对称的，那么等式的两边必须有相同的意义。又如古希腊科学家海罗巧妙的运用“对称变换”，解决了几何著名极值问题“A ，B 是直线CD 两侧两点，试求CD 上一点使得PA+PB最短。”德国几何学家斯丹纳在证明“周长一定的一切平面封闭图形中，以圆的面积最大”时，由于灵活应运了图形的对称性而使得证法简洁而又漂亮。

涉及到对称的还很多，如代数的多项式方程的虚根的成对出现，线性方程组的矩阵和克莱姆法则齐次轮换对称式等等，甚至对称与群也存在着密切的关系。我们知道，关于两个对称图形，我们总可以通过一些变换将它们叠合。这些变换最基本的有：平移变换，旋转变换，反射变换，这三种变换都是对称变换，因此在某种意义下也可以说合同变换也是对称变换，所有的对称变换构成群，我们称

之为对称群。

进而我们还可以看到，图形的对称性和它的对称群是密切相关的。凡对称图形，总存在若干个非恒等的对称变换，这些变换的全体与恒等对称变换一起构成该图形的对称群。反之，如果一个图形，存在着一个关于它的非恒等的对称变换，那么该图形是对称图形。图形的对称性程度的高度是与它的对称群的阶密切相关的，这样就启发人们用群去刻画对称图形及其性质。用群的理论去研究对称的数学理论。许多数学分支实际就是研究其中变换群下的不变性的。

4. 数学中的对称思想及应用

数学美学中的对称美并不局限于客观事物外形的对称。正如魏尔所说: “对称是一种思想。多少世纪以来，人们希望借助它来解释和创造秩序，美和完善. ”数学的对称主要是一种思想，它着重追求的是数学对象乃至整个数学体系的合理，匀称与协调。数学概念，数学公式，数学运算，数学方程式，数学结论甚至数学方法中，都蕴含着奇妙的对称性。

数学的对称思想是数学思想的一种平移，对称，或者是类比。研究对称思想不仅使人眼界豁然开阔，而且能推陈出新出一种新的领域。

从数学发展的历史来看，对称性的考虑在一定程度上促进了数学的发展。例如，加法与减法，乘法与除法。微分与积分等逆运算的建立，甚至黎曼积分与 Lesbegue 积分(对定义域的划分与值域的分割) ，这些都是追求数学美的产物。真数N 与对数的增长表现出明显的不对称性，而且真数的增长均匀，而对数的增长不均匀，数学家从对数的对称美考虑，而导致自然对数的产生。又比如，在射影平面内，两点那能确定一条直线，反之两直线未必有一个交点，为解除这个不对称关系，法国数学家笛沙格大胆猜想：两条平行线相交于一个理想点(无穷远点) 这样就创立了对偶原理(射影平面内的定理中将直线与点互换后成立) 以至射影几何学 。

1931年狄拉克从数学对称美考虑，大胆的提出反物质的假说：认为真空中的反电子就是正电子。1932年美国物理学家安德逊终于在宇宙射线中发现了正电子，从而使狄拉克的假说从数学形式的美终于变成了物理世界的真。因此对于数学美的探讨，可以启迪人们的思维，开阔人们的眼界，指出发展的前景，告戒人们方法„„

例如，在数学模型中，如何求解速降线的运动轨迹问题？如果直接用解析几何方法去解决，困难很大，我们将物体的运动轨迹，分解为每点的运动联想到物理学中光折射后的运动，类比光的折射定理。从而可求出速降线轨迹方程。

再比如说，解析几何的坐标法与纯几何证法之间的对称关系。一道陌生的几何证明题摆在面前时，常使人感到无从下手，当我们用解析几何方法去解决时，把这个问题化成一个代数问题之后，问题转化为很明确，很具体的一系列代数演算，只要耐心的算下去，通常是可以算出一个结果的。

然而，用解析几何的方法证明一个几何命题之后，我们往往仍不满足，总想再找一个不用坐标的纯几何证法。解析几何法与纯几何证法之间，并没有一条不可逾越的鸿沟，解析几何法中，把坐标轴看成是待定的辅助线，把点的坐标记为x,y 换成对应的线段，解析几何中解题中的语言，几乎可以逐字逐句的对称平移为纯几何证法的语言。如：两点间的距离公式对称为勾股定理，定比分点对称为相似三角形对应边成比例，求两直线的交点坐标对称为比例相似形求线段长，点

到直线的距离公式对称为利用三角形求高等等。

研究解析几何证法与纯几何的对称关系。一方面这不仅纯几何证法的证明方式常常是巧妙的。简洁的，给人一种艺术上的美感，而且也出于是教学工作上的需要。一个初中生问的问题。教师本人虽然会用解析几何的方法求解，但是只能用纯几何的证明，就有了很大的好处了。另一方面，研究解析几何与纯几何之间的关系，去处理同一个题目，这不仅使我们对题目本身有了更好地理解，有助于我们更深刻的认识解析几何与纯几何之间的联系。既能提高我们处理问题时的直观想象，而且又能提高我们处理几何问题时的分析运算能力。

5. 小结

数学是逻辑的实用的，也是美妙的，激励人心的。数学美集中体现在数学本身的简单美，对称美，相似美，和谐美和奇异美。在数学教学中，深入挖掘数学材料的美学因素，并揭示数学美让学生充分体会数学符号，数学概念的简洁精炼美，解题方法的技巧美，几何图形和数学排列的对称美，黄金分割与数量关系的和谐美，数学的严谨美„„尽量显示数学美的因素，给人美的感受和美的熏陶，这有助于培养他们的审美能力，有助于激发他们的学习兴趣和培养他们的创造力。

由审美获取数学发现已成为不争的事实，被称为数学中的美学方法。解题与数学发现有着相同的创造本质，在数学解题中，往往是通过数学审美而获得数学美的直觉，使题感经验与审美直觉相配合，激发数学思维中的关联因素，从而产生解题思路。与方法和策略相比，用数学美启发解题的思路应该是指导性原则，我们称之为审美思想。法国数学家庞加莱说过：“缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者”。

致谢 感谢袁晓红老师的悉心指导。

参考文献

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