几何图形的五大模型

几何图形的五大模型

一、等积变换模型

1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

三、蝴蝶定理模型

（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。）

四、相似三角形模型

相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。

相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

1. 甲、乙、丙三人在A 、B 两块地植树，A 地要植900棵，B 地要植1250棵. 已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A 地植树，丙在B 地植树，乙先在A 地植树，然后转到B 地植树. 两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A 地转到B 地？

总棵数是900＋1250＝2150棵，每天可以植树24＋30＋32＝86棵

需要种的天数是2150÷86＝25天

甲25天完成24×25＝600棵

那么乙就要完成900-600=300棵之后，才去帮丙

即做了300÷30＝10天之后 即第11天从A 地转到B 地。

2. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩. 草地上的草一样厚，而且长得一样快. 第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。

把每头牛每天吃的草看作1份。

因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份

所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份

因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份

所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份

所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份

所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份

所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份

第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份 新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛

所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。

两种解法：

解法一：

设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为（84-60）/（45-30）=1.6每亩原有草量为

60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42（头）

解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15木，可以推出15亩每天新长草量（28*45-30*30）/（45-30）=24；15亩原有草量：1260-24*45=180；15亩80天所需牛180/80+24（头）24亩需牛：（180/80+24）*（24/15）=42头

3. 某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元. 在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？

甲乙合作一天完成1÷2.4＝5/12，支付1800÷2.4＝750元

乙丙合作一天完成1÷（3＋3/4）＝4/15，支付1500×4/15＝400元

甲丙合作一天完成1÷（2＋6/7）＝7/20，支付1600×7/20＝560元

三人合作一天完成（5/12＋4/15＋7/20）÷2＝31/60，

三人合作一天支付（750＋400＋560）÷2＝855元

甲单独做每天完成31/60－4/15＝1/4，支付855－400＝455元

乙单独做每天完成31/60－7/20＝1/6，支付855－560＝295元

丙单独做每天完成31/60－5/12＝1/10，支付855－750＝105元

所以通过比较

选择乙来做，在1÷1/6＝6天完工，且只用295×6＝1770元

4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块. 现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面. 再过18分钟水已灌满容器. 已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比.

把这个容器分成上下两部分，根据时间关系可以发现，上面部分水的体积是下面部分的18÷3＝6倍

上面部分和下面部分的高度之比是（50－20）：20＝3：2

所以上面部分的底面积是下面部分装水的底面积的6÷3×2＝4倍

所以长方体的底面积和容器底面积之比是（4－1）：4＝3：4

独特解法：

（50-20）：20=3：2，当没有长方体时灌满20厘米就需要时间18*2/3=12（分）， 所以，长方体的体积就是12-3=9（分钟）的水量，因为高度相同，

所以体积比就等于底面积之比，9：12=3：4

5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售. 两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？

把甲的套数看作5份，乙的套数就是6份。

甲获得的利润是80％×5＝4份，乙获得的利润是50％×6＝3份

甲比乙多4－3＝1份，这1份就是10套。

所以，甲原来购进了10×5＝50套。

6. 有甲、乙两根水管，分别同时给A ，B 两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5. 经过2+1/3小时，A ，B 两池中注入的水之和恰好是一池. 这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A 池时，乙管再经过多少小时注满B 池？

把一池水看作单位“1”。

由于经过7/3小时共注了一池水，所以甲管注了7/12,乙管注了5/12。

甲管的注水速度是7/12÷7/3＝1/4，乙管的注水速度是1/4×5/7＝5/28。

甲管后来的注水速度是1/4×（1＋25％）＝5/16

用去的时间是5/12÷5/16＝4/3小时

乙管注满水池需要1÷5/28＝5.6小时

还需要注水5.6－7/3－4/3＝29/15小时

即1小时56分钟

继续再做一种方法：

按照原来的注水速度，甲管注满水池的时间是7/3÷7/12＝4小时

乙管注满水池的时间是7/3÷5/12＝5.6小时

时间相差5.6－4＝1.6小时

后来甲管速度提高，时间就更少了，相差的时间就更多了。

甲速度提高后，还要7/3×5/7＝5/3小时

缩短的时间相当于1－1÷（1＋25％）＝1/5

所以时间缩短了5/3×1/5＝1/3

所以，乙管还要1.6＋1/3＝29/15小时

再做一种方法：

①求甲管余下的部分还要用的时间。

7/3×5/7÷（1＋25％）＝4/3小时

②求乙管余下部分还要用的时间。

7/3×7/5＝49/15小时

③求甲管注满后，乙管还要的时间。

49/15－4/3＝29/15小时

7. 小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校. 小明从家到学校全部步行需要多少时间？ 爸爸骑车和小明步行的速度比是（1－3/10）：（1/2－3/10）＝7：2

骑车和步行的时间比就是2：7，所以小明步行3/10需要5÷（7－2）×7＝7分钟 所以，小明步行完全程需要7÷3/10＝70/3分钟。

8. 甲、乙两车都从A 地出发经过B 地驶往C 地，A ，B 两地的距离等于B ，C 两地的距离. 乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B 地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C 地. 最后乙车比甲车迟4分钟到C 地. 那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车.

乙车比甲车多行11－7＋4＝8分钟。

说明乙车行完全程需要8÷（1－80％）＝40分钟，甲车行完全程需要40×80％＝32分钟 当乙车行到Ｂ地并停留完毕需要40÷2＋7＝27分钟。

甲车在乙车出发后32÷2＋11＝27分钟到达Ｂ地。

即在Ｂ地甲车追上乙车。

9. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务. 甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？

甲车和乙车的速度比是15：10＝3：2

相遇时甲车和乙车的路程比也是3：2

所以，两城相距12÷（3－2）×（3＋2）＝60千米

10. 今有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个. 那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱？

我的解法如下：（共12辆车）

本题的关键是集装箱不能像其他东西那样，把它给拆散来装。因此要考虑分配的问题。 3吨(4个） 吨（5.5吨（14个) 1吨（7个）

4个

车的数量 4辆 2辆 3辆 1辆 2辆 2个 6个 4个 2个 2个 6个 6个 1个

11. 师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个，那么徒弟一共加工了几个零件？

给徒弟加工的零件数加上10*4＝40个以后，师傅加工零件个数的1/3就正好等于徒弟加工零件个数的1/4。这样，零件总数就是3＋4＝7份，师傅加工了3份，徒弟加工了4份。

12. 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地. 大轿车的速度是小轿车速度的80%.已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地. 又知大轿车是上午10时从甲地出发的. 那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的.

这个题目和第8题比较近似。但比第8题复杂些！

大轿车行完全程比小轿车多17－5＋4＝16分钟

所以大轿车行完全程需要的时间是16÷（1－80％）＝80分钟

小轿车行完全程需要80×80％＝64分钟

由于大轿车在中点休息了，所以我们要讨论在中点是否能追上。

大轿车出发后80÷2＝40分钟到达中点，出发后40＋5＝45分钟离开

小轿车在大轿车出发17分钟后，才出发，行到中点，大轿车已经行了17＋64÷2＝49分钟了。

说明小轿车到达中点的时候，大轿车已经又出发了。那么就是在后面一半的路追上的。

既然后来两人都没有休息，小轿车又比大轿车早到4分钟。

那么追上的时间是小轿车到达之前4÷（1－80％）×80％＝16分钟

所以，是在大轿车出发后17＋64－16＝65分钟追上。

所以此时的时刻是11时05分。

13. 一部书稿，甲单独打字要14小时完成，，乙单独打字要20小时完成. 如果甲先打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时....... 两人如此交替工作. 那么打完这部书稿时，甲乙两人共用多少小时？

甲每小时完成1／14，乙每小时完成1／20，两人的工效和为：1／14＋1／20＝17／140；

因为1／（17／140）＝8（小时）......1／35，即两人各打8小时之后，还剩下1／35，这部分工作由甲来完成，还需要： （1／35）／（1／14）＝2／5小时＝0.4小时。

所以，打完这部书稿时，两人共用：8＊2＋0.4＝16.4小时。

14. 黄气球2元3个，花气球3元2个，学校共买了32个气球，其中花气球比黄气球少4个，学校买哪种气球用的钱多？ 黄气球数量：（32＋4）／2＝18个，花气球数量：（32－4）／2＝14个；

黄气球总价：（18／3）＊2＝12元，花气球总价：（14／2）＊3＝21元。

15. 一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度为20米/分的河中，从上游的一个港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小时30分，这条船从上游港口到下游某地共走了多少米？

船的顺水速度：60＋20＝80米／分，船的逆水速度：60－20＝40米／分。

因为船的顺水速度与逆水速度的比为2：1，所以顺流与逆流的时间比为1：2。

这条船从上游港口到下游某地的时间为：

3小时30分＊1／（1＋2）＝1小时10分＝7／6小时。 （7/6小时＝70分）

从上游港口到下游某地的路程为：

80＊7／6＝280／3千米。（80×70＝5600）

16. 甲粮仓装43吨面粉，乙粮仓装37吨面粉，如果把乙粮仓的面粉装入甲粮仓，那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的1/2；如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓，那么乙粮仓装满后，甲粮仓里剩下的面粉占甲粮仓容量的1/3，每个粮仓各可以装面粉多少吨？

由于两个粮仓容量之和是相同的，总共的面粉43＋37＝80吨也没有发生变化。

所以，乙粮仓差1－1/2＝1/2没有装满，甲粮仓差1－1/3＝2/3没有装满。

说明乙粮仓的1/2和甲粮仓的2/3的容量是相同的。

所以，乙仓库的容量是甲仓库的2/3÷1/2＝4/3

所以，甲仓库的容量是80÷（1＋4/3÷2）＝48吨

乙仓库的容量是48×4/3＝64吨

17. 甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2，甲、乙两数之和是478. 那么甲、乙丙三数之和是几？ 根据题意得：

甲数＝乙数×商＋2；乙数＝丙数×商＋2

甲、乙、丙三个数都是整数，还有丙数大于2。

商是大于0的整数，如果商是0，那么甲数和乙数都是2，就不符合要求。

所以，必然存在，甲数＞乙数＞丙数，由于丙数＞2，所以乙数大于商的2倍。

因为甲数＋乙数＝乙数×（商＋1）＋2＝478

因为476＝1×476＝2×238＝4×119＝7×68＝14×34＝17×28，所以“商＋1”＜17

当商＝1时，甲数是240，乙数是238，丙数是236，和就是714

当商＝3时，甲数是359，乙数是119，丙数是39，和就是517

当商＝6时，甲数是410，乙数是68，丙数是11，和就是489

当商＝13时，甲数是444，乙数是34，丙数是32/11，不符合要求

当商＝16时，甲数是450，乙数是28，丙数是26/16，不符合要求

所以，符合要求的结果是。714、517、489三组。

18. 一辆车从甲地开往乙地. 如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达，如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达. 甲、乙两地之间的距离是多少千米？

这个问题很难理解，仔细看看哦。

原定时间是1÷10％×（1－10％）＝9小时

如果速度提高20％行完全程，时间就会提前9－9÷（1＋20％）＝3/2

因为只比原定时间早1小时，所以，提高速度的路程是1÷3/2＝2/3

所以甲乙两第之间的距离是180÷（1－2/3）＝540千米

山岫老师的解答如下：

第18题我是这样想的：原速度：减速度=10：9，

所以减时间：原时间=10：9，

所以减时间为：1/（1-9/10）=10小时；原时间为9小时；

原速度：加速度=5：6，原时间：加时间=6：5，

行驶完180千米后，原时间=1/（1/6）=6小时，

所以形式180千米的时间为9-6=3小时，原速度为180/3=60千米/时，

所以两地之间的距离为60*9=540千米

19. 某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍. 如果每班60人，这个方阵至少要有4个班的同学参加，如果每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加. 那么组成这个方阵的人数应为几人？

利用平方数解答题目：

根据题意，方阵人数要满足60×3＜方阵人数≤60×4，并且满足70×2＜方阵人数≤70×3

说明总人数在60×3＝180和70×3＝210之间

这之间的平方数只有14×14＝196人。

所以组成这个方阵的人数应为196人。

20. 甲、乙、丙三台车床加工方形和圆形的两种零件，已知甲车床每加工3个零件中有2个是圆形的；乙车床每加工4个零件中有3个是圆形的；丙车床每加工5个零件中有4个是圆形的. 这天三台车床共加工了58个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4：3：3，那么这天三台车床共加工零件几个？

我用份数来解答：

甲车床加工方形零件4份，圆形零件4×2＝8份

乙车床加工方形零件3份，圆形零件3×3＝9份

丙车床加工方形零件3份，圆形零件3×4＝12份

圆形零件共8＋9＋12＝29份，每份是58÷29＝2份

方形零件有2×（3＋3＋4）＝20个

所以，共加工零件20＋58＝78个

（170＋10*4）／7＝30个

30*4－40＝80个

或者：

把师傅加工的零件数减去10*3＝30个，师傅的1/3就正好等于徒弟的1/4。

（170－10*3）／（3＋4）*4＝80个

21. 圈金属线长30米，截取长度为A 的金属线3根，长度为B 的金属线5根，剩下的金属线如果再截取2根长度为B 的金属线还差0.4米，如果再截取2根长度为A 的金属线则还差2米，长度为A 的等于几米？

用盈亏问题思想来解答：

截取两根长度为B 的金属线比截取两根长度为A 的金属线少用2－0.4＝1.6米

说明每根B 比A 少1.6÷2＝0.8米

那么把5根B 换成A 就会还差0.8×5＝4米，

把30米分成3＋5＋2＝10根A ，就差4＋2＝6米

所以长度为A 的金属线，每根长（30＋6）÷10＝3.6米

利用特殊数据与和差问题思想来解答：

如果金属线长30+2=32就够5个A 和5个B,

那么每根A 和B 共长6.4米

每根A 比B 长（2－0.4）÷2＝0.8米

A 长（6.4＋0.8）÷2＝3.6米

22. 某公司要往工地运送甲、乙两种建筑材料. 甲种建筑材料每件重700千克，共有120件，乙种建筑材料每件重900千克，共有80件，已知一辆汽车每次最多能运载4吨，那么5辆相同的汽车同时运送，至少要几次？

这是最优方案的问题。

每次不能超过4吨，将两种材料组合，看哪种组合最接近4吨，

最优办法是900×2＋700×3＝3900千克

所以，80÷2＝40，120÷3＝40，所以，40÷5＝8次

23. 从王力家到学校的路程比到体育馆的路程长1/4，一天王力在体育馆看完球赛后用17分钟的时间走到家，稍稍休息后，他又用了25分钟走到学校，其速度比从体育馆回来时每分钟慢15米，王力家到学校的距离是多少米？

用份数来解答：

把家到体育馆的路程看作4份，家到学校就是5份

从体育馆回来每分钟行4÷17＝4/17份，去学校每分钟行5÷25＝1/5份

所以每份是15÷（4/17－1/5）＝425米

家到学校的距离是425×5＝2125米

24. 师徒两人合作完成一项工程，由于配合得好，师傅的工作效率比单独做时要提高1/10，徒弟的工作效率比单独做时提高1/5.两人合作6天，完成全部工程的2/5，接着徒弟又单独做6天，这时这项工程还有13/30未完成，如果这项工程由师傅一人做，几天完成？

徒弟独做6天完成：1－13／30－2／5＝1／6，所以徒弟独做的工效为：

25. 六年级五个班的同学共植树100棵. 已知每个班植树的棵数都不相同，且按数量从多到少的排名恰好是一、二、三、四、五班. 又知一班植的棵数是二、三班植的棵数之和，二班植的棵数是四、五班植的棵数之和，那么三班最多植树多少棵？ 一班＝二班＋三班，二班＝四班＋五班；

可知，五个班的总和＝一班＋二班＋三班＋二班＝二班×3＋三班×2＝100

所以二班×5＞100＞三班×5

所以二班人数超过20，三班人数少于20人

如果二班植树21棵，那么三班植树（100－21×3）÷2＝17.5，棵数不能为小数。

如果二班植树22棵，那么三班植树（100－22×3）÷2＝17棵

所以三班最多植树17棵。

26. 甲每小时跑13千米，乙每小时跑11千米，乙比甲多跑了20分钟，结果乙比甲多跑了2千米. 乙总共跑了多少千米？ 乙多跑的20分钟，跑了20/60×11＝11/3千米，

结果甲共追上了11/3－2＝5/3千米，

需要5/3÷（13－11）＝5/6小时，

乙共行了11×（5/6＋20/60）＝77/6千米

27. 有高度相等的A ，B 两个圆柱形容器，内口半径分别为6厘米和8厘米. 容器A 中装满水，容器B 是空的，把容器A 中的水全部倒入容器B 中，测得容器B 中的水深比容器高的7/8还低2厘米. 容器的高度是多少厘米？

这个题目要注意是“底面积”而不是“底面半径”，与高的关系！

容器A 中的水全部倒入容器B ，

容器B 的水深就应该占容器高的（6×6）÷（8×8）＝9/16

所以容器高2÷（7/8－9/16）＝6.4厘米

28. 有104吨的货物，用载重为9吨的汽车运送. 已知汽车每次往返需要1小时，实际上汽车每次多装了1吨，那么可提前几小时完成.

用进一法解决问题，次数要整数才行。

需要跑的次数是104÷9＝11次„„5吨，所以要跑11＋1＝12次

实际跑的次数是104÷（9＋1）＝10次„„4吨，故10＋1＝11次

往返一次1小时，所以提前（12－11）×1＝1小时。

29. 师、徒二人第一天共加工零件225个，第二天采用了新工艺，师傅加工的零件比第一天增加了24%，徒弟增加了45%，两人共加工零件300个，第二天师傅加工了多少个零件？徒弟加工了几个零件？

这个题目有点像鸡兔同笼问题：

如果两人工作效率都提高24％，那么两人共加工零件225×（24％＋1）＝279个

说明徒弟提高45％－24％＝21％的工作效率就可以加工300－279＝21个

所以徒弟第一天加工21÷21％＝100个，那么徒弟第二天加工了100×（1＋45％）＝145个

那么师傅加工了300－145＝155个零件。

30. 奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米. 去时用了4天，回来时用了3天，问学校距离百花山多少千米？

利用等差数列来解答：

行程每天增加2千米我是这样理解的，第一天按照原来的速度行使，从第二天开始，都比前一天多行2千米。所以形成了一个等差数列。

由于前面四天和后面三天行的路程相等。

去时，四天相当于原速行四天还要多2＋4＋6＝12千米

返回时，三天相当于原速行三天还要多8＋10＋12＝30千米

所以原速每天行30－12＝18千米，可以求出学校距离百花山18×3＋30＝84千米

（1／6）／6＝1／36；

徒弟合作时的工效为：（1／36）＊6／5＝1／30；

师傅合作时的工效为：（2／5）／6－1／30＝1／30；

师傅独做时的工效为：（1／30）＊10／11＝1／33；

师傅独做需要：1／（1／33）＝33天。

31. 某地收取电费的标准是：每月用电量不超过50度，每度收5角；如果超出50度，超出部分按每度8角收费. 每月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？

因为33÷8＝4...1，33÷5＝6...3，即都有余数，所以，既不可能两户都达到或超过50度用电量，也不可能两户都未达到50度用电量，因此只有一种情况：

32. 王师傅计划用2小时加工一批零件，当还剩160个零件时，机器出现故障，效率比原来降低1/5，结果比原计划推迟20分钟完成任务，这批零件有多少个？

效率比原来降低1／5，即变为原来的4／5，那么所用时间就是原来的5／4，比原来多用：

5／4－1＝1／4

所以，推迟的20分钟就是原来完成160个零件所用时间的1／4。原来完成160个零件需要：

20／（1／4）＝80分钟

这批零件共有：160／（80／120）＝240个。

160个的时间比是4:5,相差1份, 是20分钟

4份是80分钟

160个前做了120-80=40分,

80分160个,40分160/2=80

160+80=240

我也来做一种方法：

推迟的20分钟，即1/3小时相当于后来用时的1/5，所以，后来用时1/3÷1/5＝5/3小时

原来的工效做160个零件就用了5/3－1/3＝4/3小时。

所以，每小时可以完成160÷4/3＝120个

2小时完成任务，这批零件就有120×2＝240个

33. 妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，甲种卡每张0.50元, 丙种卡每张1.20元. 用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张. 妈妈给了红红多少钱？乙种卡每张多少钱？

买甲比买丙多8+6=14张，而丙每张比甲贵0.70元，多买14张甲一共0.50*14=7元，所以可以支付丙7/0.70=10张，钱数一共是1.20*0=12元，可以买乙10+6=16张，所以乙的价钱是12/16=0.75元。

34. 一位老人有五个儿子和三间房子，临终前立下遗嘱，将三间房子分给三个儿子各一间. 作为补偿，分到房子的三个儿子每人拿出1200元，平分给没分到房子的两个儿子. 大家都说这样的分配公平合理，那么每间房子的价值是多少元？ 我的思路是这样的。

三个儿子共拿出1200×3＝3600元，

这3600元刚好就是两个儿子应该分得的钱。

每个儿子应该分得3600÷2＝1800元。

三间房子共值1800×5＝9000元，

那么每间房子值9000÷3＝3000元。

再做一种思路：

每人应该分得3÷5＝3/5间房子，那么分得房子的就多分了1－3/5＝2/5间

也就是说2/5间房子值1200元，所以每间房子值1200÷2/5＝3000元

继续分享算法：

如果还有5－3＝2间房子，每人都分得房子，那么就要拿出1200×5＝6000元

所以，每间房子值6000÷2＝3000元。

35. 小明和小燕的画册都不足20本，如果小明给小燕A 本，则小明的画册就是小燕的2倍；如果小燕给小明A 本，则小明的画册就是小燕的3倍. 原来小明和小燕各有多少本画册？

我的思考如下：

小燕两次相差2A ，且两次相差总画册的1/3－1/4＝1/12

当A ＝1时，两人的总和是2÷1/12＝24本，少于38本

当A ＝2时，两人的总和是4÷1/12＝48本，多于38本

所以，A ＝1

第一次交换，小燕有24×1/3＝8本，

原来小燕有8－1＝7本

小明有24－7＝17本

36. 有红、黄、白三种球共160个. 如果取出红球的1/3，黄球的1/4，白球的1/5，则还剩120个；如果取出红球的1/5，黄球的1/4，白球的1/3，则剩116个，问（1）原有黄球几个？（2）原有红球、白球各几个？

先理清思路：根据题意可以得出下面的关系。

37. 爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁. 当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁. 现在三人的年龄各是多少岁？

充分利用年龄差来解答问题。

妹妹：9岁， 哥哥：兄妹差＋9 ，爸爸：（兄妹差＋9）×3

妹妹：兄妹差， 哥哥：兄妹差×2，爸爸：34岁

因为爸爸和哥哥的年龄差也将恒定不变。

所以，（兄妹差＋9）×2＝34－兄妹差×2

所以，兄妹差是（34－2×9）÷4＝4岁

即当妹妹9岁时，哥哥4＋9＝13岁，爸爸13×3＝39岁

三人年龄和是9＋13＋39＝61岁

所以，再过（64－61）÷3＝1年，年龄和就是64岁了。

所以，现在妹妹9＋1＝10岁，哥哥13＋1＝14岁，爸爸39＋1＝40岁

38. B在A ，C 两地之间. 甲从B 地到A 地去送信，出发10分钟后，乙从B 地出发去送另一封信. 乙出发后10分钟，丙发现甲乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来. 已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间？

我选择让丙先去追后出发的乙，10÷（3－1）＝5分钟追上，

拿到信后去追甲，甲乙相距甲行10＋10＋10＋5＋5＝40分钟的路程，

丙用40÷（3－1）＝20分钟追上甲

交换信后返回追乙，这时乙丙相距乙行40＋20×2＝80分钟的路程，

丙用80÷（3－1）＝40分钟追上乙，把信交给乙。

所以，共用了5＋20＋40＝65分钟。

乙共行了65＋10＝75分钟，丙回到B 地还要75÷3＝25分钟。

所以共用去65＋25＝90分钟

又想到一个思路，追上并返回。

追上乙并返回，需要10÷（3－1）×2＝10分钟

追上甲并返回，需要10×3÷（3－1）×2＝30分钟

再追上乙并返回，需要（10×2＋30）÷（3－1）×2＝50分钟

共用10＋30＋50＝90分钟

39. 甲、乙两个车间共有94个工人，每天共加工1998竹椅. 由于设备和技术的不同，甲车间平均每个工人每天只能生产15把竹椅，而乙车间平均每个工人每天可以生产43把竹椅. 甲车间每天竹椅产量比乙车间多几把？

假设全是甲车间的工人，共生产：94＊15＝1410把；

40. 甲放学回家需走10分钟，乙放学回家需走14分钟. 已知乙回家的路程比甲回家的路程多1/6，甲每分钟比乙多走12米，那么乙回家的路程是几米？

如果甲的速度和乙相同，那么甲的路程应该是乙的10／14＝5／7，比乙少2／7；

而实际甲是乙的6／7，比乙少1／7，是因为甲每分钟比乙多走12米、10分钟共多走12＊10＝120米。

所以，这120米就是乙路程的2／7－1／7＝1／7；

乙回家的路程为：120／（1／7）＝840米。

我也做两种基本的方法

方法一：

乙行甲那么远的路，就要14÷（1＋1/6）＝12分钟

所以甲回家有12÷（1/10－1/12）＝720米

所以乙回家的路程是720×（1＋1/6）＝840米

方法二：

甲行乙那么所需要的时间是10×（1＋1/6）＝35/3分钟

所以乙回家的路程是12÷（3/35－1/14）＝840米

比实际少生产：1998－1410＝588把；

一个甲车间工人换成乙车间的，多生产：43－15＝28把；

乙车间共有工人：588／28＝21人；

甲车间每天比乙车间多生产：1998－21＊43＊2＝192把。

红球×1/3＋黄球×1/4＋白球×1/5＝160－120＝40„„„„„„①

红球×1/5＋黄球×1/4＋白球×1/3＝160－116＝44„„„„„„②

红球＋黄球＋白球＝160„„„„„„„„„„„„„„„„„„③

利用初中的代数消元法思想来解答。

如果按照第一种方案，取160÷40＝4次刚好取完，

红球还差4/3－1＝1/3，白球就多出1－4/5＝1/5，黄球取完了，

说明红球的1/3和白球的1/5相等，红球和白球的个数比是3：5

按照两种方案的比较发现，白球的1/3－1/5＝2/15比红球的2/15多4个

即白球比红球多4÷2/15＝30个

所以红球有30÷（5－3）×3＝45个，白球有45＋30＝75个

黄球就是160－45－75＝40个

甲超过了50度，乙未达到 50度。

因为33＝5*5＋8，可以得出：

甲用电：50＋1＝51度，乙用电：50－5＝45度。

如果都超过50度，那么相差就应该是8的倍数，显然33不是8的倍数；

如果都没有超过50度，那么相差就应该是5的倍数，同样33也不是5的倍数。

因此，甲50度以上，乙50度以下。

33－8×n的得数是5的倍数（从个位数字可以得出）只有33－8×1＝25＝5×5符合要求。

所以甲50＋1＝51度，乙50－5＝45度

小升初数学训练题

发布时间：2010-1-25 11:37:26 浏览次数：418 浏览方式:大 中 小 加入收藏 打印文档 关闭

一、填空题。（每空1分，共20分）

l 、一个数的亿位上是5、万级和个级的最高位上也是5，其余数位上都是0，这个数写作（ ），省略万位后面的尾数是（ ）。

2、0. 375的小数单位是（ ），它有（ ）个这样的单位。

3、6. 596596„„是（ ）循环小数，用简便方法记作（ ），把它保留两位小数是（ ）。

4、＜＜，（ ）里可以填写的最大整数是（ ）。

l —— 20的自然数中，（ ）既是偶数又是质数；（ ）既是奇数又是5、在

合数。

6、甲数=2×3×5，乙数=2×3×3，甲数和乙数的最大公约数是（ ）。最小公倍数是（ ）。

7、被减数、减数、差相加得1，差是减数的3倍，这个减法算式是（ ）。

8、已知4x ＋8=10，那么2x ＋8=（ ）。

9、在括号里填入＞、＜或=。

1小时30分（ ）1. 3小时 1千米的（ ）7千米。

10、一个直角三角形，有一个锐角是35°，另一个锐角是（ ）。

11、一根长2米的直圆柱木料，横着截去2分米，和原来比，剩下的圆柱体木料的表面积减少12. 56平方分米，原来圆柱体木料的底面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。

12、在含盐率30％的盐水中，加入3克盐和7克水，这时盐水中盐和水的比是（ ）。

二、判断题。对的在括号内打“√”，错的打“×”。（每题1分，共5分）

1、分数单位大的分数一定大于分数单位小的分数。（ ）

2、36和48的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12。（ ）

3、一个乒乓球的重量约是3千克。（ ）

4、一个圆有无数条半径，它们都相等。（ ）

5、比的前项乘以，比的后项除以2，比值缩小4倍。（ ）

三、选择题。把正确答案的序号填入括号内。（每题2分，共10分）

1、两个数相除，商50余30，如果被除数和除数同时缩小10倍，所得的商和余数是（ ）。 （l ）商5余3 （2）商50余3 （3）商5余30 （4）商50余30

2、4x ＋8错写成4（x ＋8），结果比原来（ ）。

（1）多4 （2）少4 （3）多24 （4）少24

3、在一幅地图上，用2厘米表示实际距离90千米，这幅地图的比例尺是（ ）。

（1） （2） （3） （4）

2厘米， 4、一个长方体，长6厘米，宽3厘米，高它的最小面的面积与表面积的比是（ ）。 （l ）l :3 （2）1:6 （3）l :12 （4）l :24

5、甲数是840，840÷（l ＋），那么横线

上应补充的条件是（ ）。

（1）甲数比乙数多 （2）甲数比乙数少

（3）乙数比甲数多 （4）乙数比甲数少

分） 四、计算题。（共35

1、直接写出得数。（5分）

529＋198= 992= 305－199＝ 2. 05×4＝

8×12.5%= 0.28÷= ＋×0= =

0.68＋＋0.32= ÷＋0.75×8=

2、用简便方法计算。（6分）

25×1. 25×32 （3. 75＋4. 1＋2. 35）×9. 8

3、计算。（l2分）

5400－2940÷28×27 （20.2×0. 4＋7. 88）÷4. 2

（）÷＋ 10÷[－（÷＋）]

4、列式计算。（6分）

（l ）0. 6与2. 25的积去除3. 2与l . 85的差，商是多少？

（2）一个数的比30的25％多1. 5，求这个数。

5、计算体积。（单位：米）（3分）

五、应用题。（30分）

1、一个长方形和一个圆的周长相等，已知长方形的长是10厘米，宽是5. 7厘米。圆的面积是多少？

2、三新村开展植树造林活动，5人3天共植树90棵，照这样计算，30人3天共植树多少棵？

3、甲乙两列火车同时从相距500千米的两地相对开出，4小时后没有相遇还相距20千米，已知甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？

4、王老师领取一笔1500元稿费，按规定扣除800元后要按20％缴纳个人所得税，王老师缴纳个人所得税后应领取多少元？

5、小明读一本故事书，第一天读了24页，占全书的，第二天读了全书的37. 5％，还剩

20%

多少页没有读？

6、生产一批零件，甲每小时可做18个，乙单独做要12小时完成。现在由甲乙二人合做，完成任务时，甲乙生产零件的数量之比是3:5，甲一共生产零件多少个？

奥数专题讲座-数的整除性

发布时间：2010-1-28 9:29:35 浏览次数：841 浏览方式:大 中 小 加入收藏 打印文档 关闭

三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。

数的整除性质主要有：

（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。

灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。

例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。

分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，

所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。

例2 由2000个1组成的数111„11能否被41和271这两个质数整除？ 分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400

节，

因为2000个1组成的数11„11能被11111整除，而11111能被41

和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111„11能被41和271整除。

例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？

分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：

12=12×1=6×2=3×4。

要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：

（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；

（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；

（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12

整除。

容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。

对于第（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。

对于第（3）种情况，四个数中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。

综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。

例4 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？ 分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：

①各数位上的数字之和等于43；

②能被11整除。

因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。有两种情况：

（1）五位数由一个7和四个9组成；

（2）五位数由两个8和三个9组成。

上面两种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被

11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。满足这些要求的五位数是： 97999，99979， 98989。

例5 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？

分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。

假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除，推知1～10的和也应能被3整除。实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。

练习5

1. 已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？

2. 如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？

3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？

题目］甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，第一次相遇时离A 地12O 米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距A 地15O 米处再次相遇。求A 、B 两地的距离。

［分析与解］这道题如果从速度、时间和路程的关系来分析，会感到缺少条件。我们可从整体来分析题目的数量关系：甲乙两人同时出发，相向而行，他们第一次相遇时，共行了A 、B 两地的1个全程；两人从出发到再次相遇，共行了3个A 、B 两地的全程（如下图）。

两人共行1个全程，其中甲行的路程是12O 米，那么两人从出发到再次相遇共行了3个全程，则甲共行了12O×3＝36O （米），这时甲距A 地还有15O 米，如果甲再行15O 米，则甲共行了2个全程，所以A 、B 两地的距离是：

（120×3＋15O ）÷2＝255（米）。

小学奥数复习纲要

1、 近整法 99+107

2、分组法 99+107+203+307+303

3、基准法 346+353+339+327+343

4、定理法：一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大。

5、规律法 33×34=1122 333×334=111222 111 ×111=12321 11111×11111=123454321 11×1111=12221 25×25=625 35×35=1225 45×45=2025 55×55=3025 111111111=12345679×9

两个接近100、1000„的数相乘的速算

两个都略小于100(或1000、10000、„.. ) 的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和) ：例如99×97=9603 两个都略大于100(或1000、10000、„.. ) 的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和-1) ：例如102×105=10710

一个略大于100(或1000、10000、„.. )、一个略小于100(或1000、10000、„.. ) 的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和或-1) ：例如97×105=10185

6、公式法

7、定义新运算

深入理解运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律）

8、等差数列及其运用

等差数列的定义 ：若前后两项的差为定值，我们把这样的数列称之为等差数列。

公式：a n =a1+(n-1)×d s n =na1+n(n-1)d/2

s n =(a1+an ) ×n/2 1+3+5+7+9+…….+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+……+2n=n(n+1)

1+2+3+4+5+….+(n-1)+n+(n-1)+….+5+4+3+2+1=n2

9、等差中项：如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。如果a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这就是等差中项的基本性质。

10、等比数列

等比中项性质：等比中项的值等于距该项等距的积的平方根

11、方程

数阵图 填横式 列方程解应用题的基本步骤 ：根据题意，设未知数； 寻求等量关系，建立方程 ；解方程，求出答案（注意：要注意检验，一是要满足方程，二是要有实际意义。 作答 。

12、不定方程 Ax+by=c X+Y+XY=4(含交差项)

若整数系数方程ax+by=c的一组特解是

1. 一元一次方程的解法步骤

有分母的先去分母，在去分母的同时，若分子是多项式，应添括号，与此同时，每一项都有应乘以最小公分母，特别是常数项。 去括号，在去括号的同时，要注意符号。 移项。一般将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。 合并同类项。 化成最简形式：ax=b

I.

讨论：

1. 绝对值方程的解法

2. 一次方程组的解法

二、应用题

1、行程问题 ：

行程问题是研究物体运动的，它涉及的主要是速度、距离、时间三者之间的相依关系。行程问题有一个物体运动甚至三个物体运动的情况，但主要是两个物体相向运动和同向运动。两个物体相向和同向运动大致有以下四种情形：

同时相向而行：相遇时间＝距离÷速度和；

同时同地相背而行：距离＝速度和×时间；

同时同向而行：速度慢的在前，快的在后，追及时间＝距离÷速度差；

同时同地同向而行：速度慢的在后，快的在前，距离＝速度差×时间。

这类问题，除了速度、距离、时间外，还涉及如下一些重要因素，解题时千万不可忽视。

运动方向：相向、相背、同向。

出发地点：同地、不同地。

运动途径：直线、圆周。

运动结果：相遇、相距、交叉而过、追及。

解答这类问题，关键在于考虑相同的单位1与整体之间的关系，相同单位1的数也称“同数”，所以行程问题，又叫同数问题。

2、工程问题

工作总量（一般视为单位1）=工作效率×工作时间

3、

浓度问题： 溶液=溶质+溶剂一种物质溶解到另一种物质里，形成均一的、相对稳定的混合物，通常叫做溶液。我们把前一种物质叫做溶质，后一种物质叫做溶济。解决浓度问题的关键是根据题意，明白溶质、溶液、与浓度三者之间的关系。

4、利率问题 利息=本金×期数×利率 备注：在建立方程时，用加减号连接起来的每一项具有相同的物理意义；方程里每一个单项式都要有相同的物理意义。

三、几何问题

1、计数问题 定理一：对于n ×n 个顶点，可作出斜向正方形的个数恰好等于（n-1）× (n-1)个顶点时所有正方形的个数。例如：

2、 图形的剪拼 定理一：剪拼前后，面积不变。定理二：将一个大正方形分割成n 个大小、形状相同的图形，则分割线必过中心点，而且将其中一个绕中心点旋转360/n的倍数后，必与其它图形重合。

3、 格点与面积 定理一：如果用S 表示面积，用N 表示图形内的格点数，用L 表示周界上的格点数，那么S=N+L/2-1（正方形格点，且最小正方形面积为1个单位）定理二：（同上，关于三角形格点的面积）S=2N+L-2（最小三角形面积为1个单位）

4、面积 如果两个图形能够完全重合，则这两个图形面积相等。把一个图形分成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分的面积和。这两条性质是面积割补的理论依据。导出三角形：以平行四边形的一条边为底边，第三顶点在平行四边形中这条边对边上的三角形，叫做该平行四边形的一个导出三角形。同一个平行四边形的所有导出三角形的面积相等，且等于平行四边形面积的一半。平行四边形的一条对角

形平分该平行四边形面积。等底等高的三角形等积。共边三角形面积与边比。图形绕定点的旋转：在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置、产生一种新的图形结构。利用这种图形结构可以帮我们解决面积的计算问题，当然，图形在转动过程中形状大小不发生改变。轴对称与图形的折叠：轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧的部分可以完全重叠，因此如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积。等腰三角形是轴对称图形，由顶点引向底边的高所在的直线是它的对称轴。长方形是轴对称图形，对边中点连线是它的对称轴。长方形有两条对称轴。正方形是轴对称图形，对边中点连线、两条对角线所在直线都是它的对称轴，正方形共有四条对称轴。菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的对称轴。筝形也是轴对称图形，其中有一条对角线是另一条对角形的垂直平分线，这条对角线所在直线是筝形的对称轴。圆是最典型的轴对称图形。过圆心的任一条直线都是它的对称轴，因此，圆的对称轴有无数多条。圆的直径平分圆的面积。弦图的妙用（一般不要求掌握，但参加华赛杯竞赛理解）三角形的等积变形 定理一：等底等高的三角形面积相等。定理二：底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。定理三：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。定理四：梯形的两条对角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。定理五：梯形的两条对角形及上、下两底所形成的两个三角形的面积比等于上、下底边长的平方。定理六：中线将三角形的面积平方。定理七：若两个三角形的两边的积相等，且夹角相等或互补，那么这两个三角形的面积相等。

面积公式： 正方形面积：S=a2长方形面积：S=ab平形四边形面积：S=底×高 三角形面积：S=底×高/2等边三角形面积：

梯形的面积：S=（a+b）X h/2

度分秒与弧度的互化

图形的变换（轴对称、中心对称图形、求几何最短距离、平移、轴变换、旋转变换）

轴对称和轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折过来，如果它能够与另一个重合，那么我们说这两个图形叫做关于这条直线对称的轴对称图形。两个图形的对应点（互相重合的点）叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连线被对称轴垂直平分。两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上。中心对称和中心对称图形：把一个图形绕着一个点旋转180度后，它和另一个图形重合，那么我们说这两个图形叫做关于这个点对称的中心对称图形，这个点叫对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于这个对称中心的对称点。平移变换：一个图形沿着一定的方位移动一定距离的运动叫做图形的平移。平移后的图形与原图形全等，即对应边、对应角都相等。

四、图形面积的巧算

1、周长公式：

2、体积公式

五、基本常识：

1、线段、角、角平分线、三角形中位线、梯形中位线、高、中线、相交线、平行线 2、三角形、等腰三角形、三角形的不等关系、直角三角形、勾股定理、四边形、平行四边形、平行四边形、矩形、正方形、梯形、菱形、筝形。 3、三角形中位线性质：中位线平行于底边且等于底边长的一半。4、三角形的不等关

系：两边之和大于第三边，两边之差（大减小）小于第三边。5、这条性质也是判断三角形成立的依据。6、等腰三角形性质：两腰相等，底角相等。7、平行四边形性质：对边相等且平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分。8、梯形性质：两底平行，上、下两邻角互补。9、勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方。（在Rt Δ中，a 2+b2=c2）10、直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么该角所对的直角边等于斜边的一半。11、直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。12、角平分线定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。13、中垂线定理：中垂线上的点到该线段两个端点的距离相等。

14、比例的四大性质

15、比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。

如果a:b=c:d,则bc=ad 了解比例中项。

16、圆 基本元素：圆周角、弦切角、直径、半径、弦、周长、弧、拱形、圆心角、公切线、优弧、劣弧、半圆 五心：外心、内心、垂心、中心、旁心

定理一：直径所对的圆周角为直角。

定理二：同弦所对的圆心角等于圆周角的两倍。

六、排列组合

1、乘法原理 一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，„. ，做第n 步有mn 种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1×m 2ׄ×m n 种不同的方法。

2、加法原理 一般地，如果完成一件事有K 类方法，第一类方法中有m 1种不同方法，第二类方法中有m 2种不同的方法，„.. ，第K 类方法中有m k 种不同的方法，则完成这件事共有N=m1+m2+….+mk 种不同的方法。

3、排列 一般地，从n 个不同的元素中任取m 个元素（m ≤n ），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

一般地，从n 个不同的元素中任取m 个元素（m ≤n ）的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素中取出

m m 个元素的排列数，我们把它叫做P n .

4、组合 一般地，从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

一般地，从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数，记作C n m .

5、排列组合 运用这两个基本原理时要注意：

不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立的把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数。不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数。

解决排列组合，主要有两种方法：捆绑法、插空法。

七、数学游戏

1、轮流报数，最后致胜策略

2、数阵图 一般地说，在n ×n(n行n 列) 的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n 个自然数的和都相等，这样的数表叫做n 阶幻方。这个和叫做幻和，n 叫阶。（九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出）

3、统筹规划 串行性 并行性

八、整除问题

1、整数问题 约数和倍数：如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。

记作：b|a

2. 如果bc|a,则b|a,c|a.

3. 如果b|a且c|a,且(b,c)=1,那么bc|a.

4. 数的整除特征：（2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，29）

定理一：能被2或5整除的特征，是它的末位数字能被2（或5）整除。

定理二：能被4(或25) 整除的特征，是它的末两位数字能被4（或25）整除。

定理三：能被8(或125) 整除的特征，是它的末三位数字能被8(被125) 整除。

定理四：能被11整除的特征，是这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字的和的差能被11整除。 定理五：能被7(11或13) 整除特征，是奇位千进位的总和与偶位千进位的总和的差（或者反过来）能被7(11或13) 整除。

定理六：能被17整除特征，是末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除。

定理七：能被19整除的特征，是末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除。

定理八：能被23（或29）整除的特征，是末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29) 整除。

5、质数（素数）、合数、质因数、分解质因数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。注意：1不是质数，也不是合数。如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

6、约数个数的判断：

36=22×32 约数的个数=(2+1)×(2+1)

7、所有约数的和：

36=22×32 约数的和=(1+2+4)×(1+3+9)

8、最大公约数和最小公倍数

1）、熟练运用辗转相除法

2）、定理：两个数最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。（a,b ）x[a,b]=axb

3）、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

4）两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

9、带余除法

方法一 例如：一个数除以3余款，除以5余额，除以7余款，求适合这条件的最小的数。解：先分别求出被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5整除余1的数（21），能被3和5整除而被7整除余1的数（15）70 × 2 + 21 × 3 +15 × 2 –3 ×5 ×7 ×n=233-105n=23

方法二 方法三

10、同余性质

定理一：若a ≡b(mod m),c≡d(mod m),那么ac≡bd(mod m)可乘性

定理二：若a≡b(mod m),那么a n ≡b n (mod m)其中n 为自然数

定理三：若ac≡bc(mod m),(c,m)=1,那么a≡b(mod m)

定理四：对于模n 同余的两个整数a 和b ，它们的差一定能被n 整除。

定理五：被除数扩大（或缩小）n 倍，除数不变，则商和余数也相应扩大（或缩小）相同的倍数。

11、数的进位制（各种进制的互化、与计算机相关部分的了解、基数、数码）

12、完全平方数

1）、完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9 。 一个完全平方数的约数的个数必是奇数，反之，一个自然数的约数的个数是奇数，这个数是2）、完全平方数：一个非完全平方数的约数的个数必是偶数。

3）、完全平方数的个位数字为奇数时，它的十位数字必是偶数；完全平方数的个位数字是6 时，它的十位数字一定是奇数。

4）、一个完全平方数的质因数分解因式中，每个质因数的冥指数都有是偶数。

5）、完全平方数被4整除或被4整除余1.

相邻两个整数a 和(a+1)的平方a 与(a+1)之间，不存在完全平方数。

13、把一个整数拆成几个自然数的和，使得所有数的积最大的原则： 1）、拆出的数不能有1

2）、拆出的数中以2和3最好 3）、既能拆成若干个2，又能拆成若干个3时，应当拆成3

14、数的分类扩展（数的表示方法及各种不同的进制表示方法、奇偶性）

九、分数问题

1、加成分数

2、单位分数

1/n=1/x+1/y 1/n=1/x+1/y+1/z

4/n=1/x-1/y

3、循环小数与分数（判断有限小数及小数位数、无限小数、纯循环小数、混循环小数及循环节最少位数和22不循环部分位数、循环小数化分数的两种方法） 循环小数：一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数。循环小数是无限小数，它的位数是无限的。循环小数的小数部分中，依次不断重复的数字，叫做它的一个循环节。如果循环节从小数部分第一位（十分位）开始的，叫做纯循环小数；循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

定理一：如果最简分数的分母除2、5质因数外，不含其它质因数，这个分数能化成有限小数。将能化成有限小数的最简分数的分母进行质因数分解，看质因数2和5的冥指数，较大的那个指数的大小就是有限小数的位数。

定理二：如果最简分数的分母除2、5质因数外，含其它质因数，这个分数不能化成有限小数。

一个最简分数的分母里，如果只含有2,5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数，这个纯循环小数循环节的最少位数，等于9、99、999、9999 „„诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数 。 一个最简分数的分母里，如果除含有2或5质因数外，还含有其它质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数。这个不纯循环部分里的数字的个数，等于2、5中较多的一个数的个数。循环节的最少位数等于9、99、999、9999 „„诸数中能被分母4、5以外的质因数（或质因数的乘积）整除的最小那个数里9的个数。

循环小数化分数有以下三种方法：（1）纯循环小数化分数，分子是一个循环节的数字所组成的数，分母各位都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。混循环小数化分数，分子是小数点后面第一个数字到第一人循环节末的数字减去不循环数字所组成的数的差；分母的头几位数字都是9，末几位数字都是0,9

的个数与循环节中的数字的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同 。（2）采用方程法。

（3）循环小数化分数，也可以运用无穷递缩等比数列的求和公式。[S=a1/(1-q）]，设有一无穷递缩等比数列：a1,a1q,a1q2,…….(公比|q|

S=a1+a1q+a1q 2+a1q 3+a1q 4+a1q 5+….., (1)

两边同乘以q 得：

Sq=a1q+a1q +a1q +a1q +a1q +a1q „„. (2)

(1)-(2),得

S （1-q ）=a1 23456

所以：

（4）、巧化分母是7的分数为小数

分数数列的求和

裂项求和

一般地，可得用下面的等式，巧妙的计算一些分数求和的问题：

（5）、繁分数和连分数（掌握运算规则、分数化边分数） 一个分数的分子部分或分母部分仍含有分数或含有四则运算，这样的数叫做繁分数（或繁分式）。繁分数的化简方法：一般先把繁分数的分子和分母部分分别计算出来，再用分子除以分母进行化简。

（6）、分数大小的比较（小数法、倒数法、观察法、差1法、通分法、对角相乘法、 性质法、作商法）

十、抽屉原理：如果把(n+1)个元素放到n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里放有不止一个这样的元素。

1. 建立抽屉的基本方法 同余法构造抽屉

分割图形构造抽屉 状态分析构造抽屉

2. 扩展抽屉原理：一个（正）数，分放于几个抽屉里，必有一个抽屉里存放的数大于或等于平均值。（应用于解关于求整数解的不定方程）

十一、时钟问题 时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。分针速度是时针速度的12倍，

分针每走60÷这里列出一个基本公式，在初始时刻需追赶的格数÷（1-1/12）=追及时间（分钟），其中，1-1/12为分针每分钟比时钟多走的格数。

十二、逻辑推理 十三、容斥原理 十四、递推方法

有序思考 定理一：在十个连续的自然数中，每个数字都出现一次，而在一百个连续的自然数中，每个数字都出现十次。同样的道理，在一百个连续的自然数中，十位上也将出现十个同样的数字。 汉洛塔问题解决策略。

十五、最佳选择

1、站点的选择 2、 图论（一笔画）。