由费马点引出的若干竞赛问题
03-02
1999年第4期 中学数学
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由费马点引出的若干竞赛问题
436500 湖北省黄梅一中 方亚斌
1 费马点及其性质
如果F为△ABC的费马点,a、b、c和S分别为△ABC的三条边长和面积,FA=x,FB=y,FC=z,f=x+y+z(下同),那么费马点F有下述性质:
定理 当△ABC的三内角均小于120°时,
(1)a2+b2+c2+43S
2
当△ABC的最大内角(不妨设为∠A)不小于120°
(2)时, f=b+c.
f=
由S=S△AFB+S△BFC+S△CFA可得
xy+yz+zx=④
3
①、②、③三式相加,并利用④式,得22
2(x+y+z2)+(xy+yz+zx)=a2+b2+c2,
∴ 2(x+y+z)2
=a2+b2+c2+3(xy+yz+zx),
2f2=a2+b2+c2+4
3S,
证明 若△ABC三内角均小于120°,如图1,在△BFC,△CFA和△AFB中,由余弦定理,分别可得
y2+z2+yz=a2 ①z2+x2+zx=b2 ②x+y+xy=2
2
2
a2+b2+c2+43S.
2
若△ABC有一内角(不妨设为A)不小于120°,则点F重合,此时x==b,从而f=c.
AB120°时,
∴ f=
1
2226f
证明 根据定理的证明过程
=
(3)
(2m2+3m3+…+rmr)
332(n2+n). ≤+=
333104.给定质数p>3,设M为平面上的点集:M={(x,y)