密码学数学基础试卷2015
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专密北京电子科技学院2015～2016学年第一学期 1431、1432班密码学数学基础 期末考试试卷
一、判断对错题（对的在括号内打对号，错的打错号；每小题2分，共20分） 1. 实数域R 上的全体m×m 阶可逆方阵关于矩阵的普通乘法构成了一个群。（） 2. 设p 为素数，a ，b 为整数，若p|ab，则p|a或p|b。（） 3. 若a 3≡b3mod n成立，则a≡bmod n。（） 4. 若环R 存在单位元，则其任意子环也一定存在单位元。（） 5. 如13 | n，46| n，则299| n。（） 6. 如果群H 是群S 的正规子群，群S 是群G 的正规子群，则群H 一定是群G 的正规子群。（） 7. 对一个无零因子环(F, +, ∙) ，如其存在单位元，且满足交换律，则环 (F, +, ∙) 为除环。（） 8．设H 是群G 的子群，G 是H 在G 所有右陪集的并。（） 9. 与m 互素的剩余类的个数记为φ(m)，φ(m)就被称为欧拉函数；若（k ，m ）=1，则k φ(m)≡1 (mod m)。（） 10. 设m /|a ，模m 的一次同余式ax ≡b (modm ) 有解的充要条件是（m ，a ）| b。( ) 二、计算题（每小题10分，共50分） x ≡1（mod3）1. 求同余方程组 2x ≡3（mod 13）的解。
4x≡5（mod 23）
2. 判断二次同余方程x 2≡30(mod 113)是否有解。
3. 求（791，2625）及整数x ，y ，使得:（791，2625）=791x+2625y。
4. 求模17的原根。
5. 判断同余方程226x≡4(mod 454)是否有解；如有解，求出其解。
三. 证明题：（30分）
1. 令M2(R)是实数域R 上的全体2阶方阵关于矩阵的普通加法和乘法运算构成
a b 的环。又F={ |a，b ∈R }。 −b a
证明 (1)关于矩阵的普通加法和乘法运算，F 是M2(R)的子域。（10分）
a b (2) ：a+bi→ 是复数域C 与域F 的同构映射。（10分） −b a
2. M=(11)是整数环Z 中由素数11生成的理想，证明M 为整数Z 的极大理想。（10分）