2015年长沙市学用杯初中数学九年级复赛试题答案
2015年《中学生理化报》课外读书活动 长沙市“学用杯”初中数学应用与创新能力大赛
复 赛 试 题 参 考 解 答
一、选择题（每题7分）
1．选D ．理由：由于图象过点（－1，0）、（0，－1），则有⎨
⎧c =-1，
a -b +c =0. ⎩
从而a =b -c =b +1，即知s =a +b +c =b +1+b -1=2b . 又由题设条件知图象开口向上，有a >0且-
a
>0，即得2b 0推知b >-1. 故2b >-2. 有-2
2．选B ．理由：由边长分别为a ，c 的正方形上方的两个小直角形相似有
b -a a
=，即(b -a )(b -c ) =ac ，化简得b =a +c . c b -c
3．选B ．理由：由题设知9
=3+b ，即15=9+6b +b 2，亦即b +6b=6. 又
4
3
2
4
3
2
2
2
2
的整数部分为
2
3，于
4．选A ．理由：由P +3为质数，可知P 为偶数，又P 为质数，则P =2. 从而P 17+33=217+33=（24）4×2+33.因（24）4的末位数为6，则217的末位数为2，因此P 17+33的末位数为5.
5．选D ．理由：如右图，均联结两个直角三角形的锐角顶点. 均考虑四边形ADBC 的面积. 图（1）S 四边形ADBC =S ∆ABC +S ∆ABD =ab +c 2 又S 四边形ADBC ＝S 梯形BCED －S △AED =(a +b ) 2-ab 由ab +c 2=(a +b ) 2-ab 有a 2+b 2=c 2
112211
又S 四边形ADCB ＝S △ADB +S △DCB =c 2+a (b -a )
22
1111
由b 2+ab =c 2+a (b -a ) 有a 2+b 2=c 2
2222
11
图（3）S 四边形ACBD =S ∆ACB +S ∆ABC =ab +c 2
22
又S 四边形ACBD ＝S ∆ACB +S ∆ABE +S ∆AED －S ∆BDE
1111
=ab +b 2+ab -a (b -a ) 2222
由上即有a 2+b 2=c 2.
12
12
12
12
12
12
12
12
b +12b +37b +6b -20=(b +2 6b +36b ) +(b +6b ) -20=(b +6b ) +(b +6b ) -20=22.
3
图（2）S 四边形ADCB =S ∆ADC +S ∆ACB =b 2+ab
此图（3）也可以考虑四边形ABED 的面积.
二、填空题
6．填2015．理由：由两个条件有a 2+a (c +d ) +cd +2015=0，b 2+b (c +d ) +cd +2015=0，知a ，b 是关于x 的方程x 2+(c +d ) x +cd +2015=0的两个不同的根，由韦达定理，有a +b =-(c +d ) ，ab =cd +2015.
因此(a +c )(b +c ) =c 2+c (a +b ) +ab =c 2+c [-(c +d ) ]+cd +2015=2015．
7．填5．理由：如图，延长AD 、BC 交于点E ，则△ABE 为正三角形．设AB ＝x ，则DE =x －3，CE =x －1， ∠DEF ＝60°．作DF ⊥CE 于点F ，则∠EDF ＝30°， 从而EF =DE =(x -3)
11
CF =CE -EF =x -1-(x -3) =(x +1) ．由勾股定理，
22
1
212
有DE 2-EF 2=DC 2-CF 2
即(x -3) 2+(x -3) 2=12-(x +1) 2，解得x =5．
2
2
8．填1．理由：能解组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，
5
32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54共8个，又是偶数的则只有4个：12，24，42，54．故所求概率为4=1．
20
5
9．填191．理由：由题设条件有1+1=15，1+1=16，1+1=17，
1008
a
b
a
c
b
c
三式相加有1+1+1=24，
a
b
c
于是由此式分别减去前三式可得a =，b =，c =．
222
因a 3+b 3+c 3-3abc =1(a +b +c ) ⎡⎤(a -b ) +(b -c ) +(c -a ) ⎣⎦，
1
71819
2
a +b +c -3abc 11111191
从而． =(a +b +c ) =++) =222
(a -b ) +(b -c ) +(c -a ) 227891008
3
3
3
10．填50︒．理由：如图，作P F ⊥B D 于点F ，作PG ⊥AC 于点G ，作PE ⊥AB 于点E ， 则PE =PF =PG ，从而P 也在∠EAG 的平分线上. 由
11
∠BPC =∠PCF -∠PBC =(∠ACF -∠ABC ) =∠BAC =40︒，
2
2
得∠BAC ＝80°．于是∠EAC =100︒，故∠CAP =50︒．
三、解答题
11．（1）由二次函数过点（1，1）得
n 2
m =
2
． „„„2分
„„„4分
n 2
注意到m -(n +4) =-(n +4) =1(n 2-2n -8) =1(n -4)(n +2)
222
⎧n 2
当n ≤-2或n ≥4⎪
p =⎨2
⎪n +4当-2
所以 „„„8分
再利用图象知，当n =－2时，p min =2． „„„10分 （2）设图象与坐标轴的三个不同交点为A (x 1，0), B (x 2，0), C (0，-n 2) „„„12分 又x 1x 2=-n 2，若n =0，则与三交点不符， 故x 1x 2=-n 2
所以x 1, x 2分别在原点左右两侧. „„„16分 又x 1x 2=n 2 . „„„18分 1，所以，存在点P 0(0,1)使得OA OB =OP 0OC 故A 、B 、C 、P 0四点共圆. 即这些圆必过定点P 0(0,1)． „„„20分
12．由题设得，acb +bac +bca +cab +cba =3194. „„„2分 两边加上abc 得222(a +b +c ) =3194+abc „„„4分 则222(a +b +c ) =222⨯14+86+abc „„„6分 即知abc +86是222的倍数，且a +b +c >14 „„„10分 设abc +86=222k ，因abc 是三位数， 依次取k =1，2，3，4，
分别得出abc 的可能值为136，358，580，802． „„„18分 注意到a +b +c >14，知abc 为358． „„„20分
13．如右图所示，在凸六边形中有两类对角线： 一类是“长对角线”，它们连接两个相对顶点如A 2A 5； 另一类是“短对角线”，它们连接两个间隔一顶点的顶点 如A 1A 3、A 2A 6、A 2A 4等． „„„5分 如果仅作长对角线，题中所要求的性质不能满足，
因此，在所作的对角线中一定要有短对角线 „„„10分 但是，一旦作了某条短对角线，如图A 1A 3，那么， 它只能与由A 2所引出的三条对角线在形内相交．
因此，此时就要作短对角线A 2A 4和长对角线A 2A 5；„„„15分 再对短对角线A 2A 4作类似的考虑，
发现又要作短对角线A 3A 5和长对角线A 3A 6；
继续这种下去，就会发现，所有的对角线都需要作出． 此时，显然不能满足题目要求．„„„20分
14．如右图，（1）连接AI 、IE ，则IE ⊥AE . „„„2分
且∠AEF =∠DEC =90︒-1∠C ，以及
2
11
∠AIF =180︒-∠AIB =180︒-(90︒+∠C ) =90︒-∠C ．
22
„„„8分
从而∠AEF =∠AIF ．故A 、I 、E 、F 四点共圆． „„„10分
（2）连接AF ，由A 、I 、E 、F 四点共圆，
知∠AFI =∠AEI =90︒．即知△ABF 为直角三角形．„„„12分 设直线FN 交AB 于点M ，由MF ∥BC ，
知∠MFB =∠FBC =∠FBM ，从而△MBF 为等腰三角形，„„„14分 即MF =MB ．
由∠ABF 与∠BAF 互余，∠MFB 与∠MFA 互余， „„„16分 则∠MFA =∠MAF ，有MF =MA ．
即知M 为AB 的中点，从而N 为AC 的中点． „„„18分 故AN :NC =1 „„„20分
F
B
D