高考数学大题经典习题

1. 对于函数f (x )=-

13

(a +2) x -bx +(a -2) x 。

32

（1）若f (x )在x =1和x =3处取得极值，且f (x

)的图像上每一点的切线的斜率均不超过

2sin t cos t -t +

2

t 的取值范围；

（2）若f (x )为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(a , b )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。

1. （1）由f (x )=-

2

13

(a +2) x -bx +(a -2) x ，则

32

f ' (x )=-(a +2) x -2bx +(a -2)

因为f (x )在x =1和x =3处取得极值，所以x =1和x =3是f ' (x )=0的两个根 ⎧-(a +2) ⋅12-2b ⋅1+(a -2) =0⎧a =-12

⇒ ∴f ' x =-x +4x -3 ()⎨⎨2

⎩b =-2⎩-(a +2) ⋅3-2b ⋅3+(a -2) =0

因为f (x

)的图像上每一点的切线的斜率不超过2sin t cos t -t +

2

所以f ' (

x )≤2sin t cos t -t +

2

2

x ∈R 恒成立，

而f ' (x )=-(x -2)+1，其最大值为1．

故2sin t cos t -t +

2

≥1

π⎫π7π⎛

⇒2sin 2t -⎪≥1⇒k π+≤t ≤k π+, k ∈Z

3412⎝⎭（2）当a =-2时，由f (x )在R 上单调，知b =0

当a ≠-2时，由f (x )在R 上单调⇔f ' (x )≥0恒成立，或者f ' (x )≤0恒成立． ∵f ' (x )=-(a +2) x -2bx +(a -2) ，

2

∴∆=4b +4(a -4) ≤0可得a +b ≤4

2222

从而知满足条件的点P (a , b )在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为

S =4π

32

2. 函数f (x ) =ax +bx +cx （a >0）的图象关于原点对称，A (α, f (α)) 、B (β, f (β))

分别为函数f (x ) 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，f (α) -f (β) =β-α. （Ⅰ）求b 的值；

（Ⅱ）求函数f (x ) 的解析式； （Ⅲ）若x ∈[-2, 1],f (x ) >m -2. （Ⅰ） b =0

f (x ) =ax +cx

（Ⅱ） ' 2

∴f (x ) =3ax +c =0的两实根是α, β

⎧α+β=0⎪则 ⎨c

α⋅β=⎪

3a ⎩

3

6m

恒成立，求实数m 的取值范围.

|AB|＝2⇒(α-β) +(f (α) -f (β) ) =4⇒(α-β) =2 -4⋅

c 3a

=2⇒c =-

3

222

32

a

3

f (α) -f (β) =β-α⇒a α+c α-a β-c β=β-α

⇒a (α+αβ+β+c ) =-1⇒a [(α+β) -3αβ+c ]=-1

∴a (-

c a

+c ) =-1⇒-c +ac =-1⇒

32a -

32

a =-1

3

2

222

又a >0

∴a =1 f (x ) =x -

32

x

（Ⅲ） x ∈[-2,1]时，求f (x ) 的最小值是-5 -5>m -

6m ⇒

(m +6)(m -1)

m

m

3. 已知f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A ，B ，C 三点，若

点B 的坐标为（2，0），且f (x )在[-1, 0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，

5]上有相反的单调性． （1）求c 的值；

（2）在函数f (x )的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得f (x )在点M 的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由； 3. ⑴ ∵f (x )在[-1, 0]和[0, 2]上有相反单调性，

∴ x=0是f (x )的一个极值点，故f ' (x )=0， 即3ax 2+2bx +c =0有一个解为x=0，∴c=0 ⑵ ∵f (x )交x 轴于点B （2，0） ∴8a +4b +d =0, 即d =-4(b +2a )

令f ' (x )=0，则3ax 2+2bx =0, x 1=0, x 2=- ∵f (x )在[0, 2]和[4, 5]上有相反的单调性 ∴2≤-

2b 3a

≤4， ∴-6≤

b a ≤-3

2b 3a

假设存在点M （x 0，y 0），使得f (x )在点M 的切线斜率为3b ，则f ' (x 0)=3b

2 即 3ax 0+2bx 0-3b =0

2

∵ △=(2b )-4⨯3a ⨯(-3b )=4b 2+36ab =4ab

⎛b

⎫+9⎪⎝a ⎭

又-6≤

b a

≤-3， ∴△＜0

∴不存在点M （x 0，y 0），使得f (x )在点M 的切线斜率为

4. 已知函数f (x ) =ln x

（1）求函数g (x ) =f (x +1) -x 的最大值； （2）当0

4. （1） f (x ) =ln x , g (x ) =f (x +1) -x ∴g (x ) =ln(x +1) -x

(x >-1) g '(x ) =

1x +1

-1 令g '(x ) =0, 得x =0

2a (b -a ) a +b

2

2

；

当-10 当x >0时g (x )

∴ 当且仅当x =0时，g (x ) 取得最大值0

（2）f (b ) -f (a ) =ln b -ln a =ln 由（1）知ln(1+x ) ≤x

2

2

b a

=-ln

a

f (b ) -f (a ) ≥-

1b >

2a

b

a -b b

2

=-ln(1+

=

a -b b

)

b -a b >

又 02ab ∴

a +b

2

∴

b -a b

2b (b -a ) a +b

2

2

∴f (b ) -f (a ) >

2a (b -a ) a +b

2

2

5. 已知f (x ) 是定义在[-1，0) (0，1]上的奇函数，当x ∈[-1，0]时，f (x ) =2ax +（a 为实数）．

（1）当x ∈(0，1]时，求f (x ) 的解析式；

（2）若a >-1，试判断f (x ) 在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a ，使得当x ∈(0，1]时，f (x ) 有最大值-6． 5. （1）设x ∈(0，1]，则-x ∈[-1，0) ，f (-x ) =-2ax +

f (x ) =2ax -

1x

2

1x

2

1x

2

，f (x ) 是奇函数，则

，x ∈(0，1]；

2x

3

（2）f ' (x )=2a +=2(a +

1x

) ，因为a >-1，x ∈(0，1]，3

1x

3

≥1，a +

1x

3

>0，

即f ' (x ) >0，所以f (x ) 在[0，1]上是单调递增的．

（3）当a >-1时，f (x ) 在(0，1]上单调递增，f (x ) max =f (1) =a ⇒a =-

3

52

（不

含题意，舍去），当a ≤-1，则f ' (x ) =0，x =-

1a

3

，如下表f (x ) max =f (-

1a

)

=-6⇒a =-22⇒x =

22

∈(01]，

所以存在a =-22使f (x ) 在(0，1]上有最大值-6． ．

6. 已知f (x ) =kx 3-x 2+x -5在R 上单调递增，记∆ABC 的三内角A , B , C 的对应边分别为a , b , c ，若a 2+c 2≥b 2+ac 时，不等式f [m +sin 2B +cos(A +C ) ]

（Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）求角cos B 的取值范围； （Ⅲ）求实数m 的取值范围．

19. (1)由f (x ) =kx 3-x 2+x -5知f '(x ) =3kx 2-2x +1， f (x ) 在R 上单调递增，

∴f '(x ) >0恒成立，∴3k >0且∆0且4-12k

13

334) 恒成

，

当∆=0，即k =

13

时，f '(x ) =3kx 2-2x +1=(x -1) 2，

13

∴x 0，x >1时，f '(x ) >0，即当k =∴k ≥

13

2

时，能使f (x ) 在R 上单调递增，

．

a +c -b

2ac

2

2

2

(2) a +c ≥b +ac ，由余弦定理：cos B =

分

(3) f (x ) 在R 上单调递增，且f [m +sin

m +sin

2

2

2

22

≥

ac 2ac

=

12

，∴0

π

3

，----5

B +cos(A +C )

]

334

) ，所以

B +cos(A +C )

334

2

334

334

=cos B +cos B +

2

-sin B -cos(A +C ) +=-sin B +cos B +

29

12

=(cosB +) +7≥8，---10分 42

2

故m -2m

7. 已知函数f (x ) =ax -

3

32

(a +2) x +6x -3

2

（I ）当a >2时，求函数f (x ) 的极小值

（II ）试讨论曲线y =f (x ) 与x 轴的公共点的个数。 7. （I ）f '(x ) =3ax 2-3(a +2) x +6=3a (x - a >2, ∴

2a 2a

2a

2a

)(x -1)

2a

或x >1时，f '(x )>0；当

2

∴f (x ) 在(-∞, ) ，（1，+∞) 内单调递增，在(, 1) 内单调递减

a

故f (x ) 的极小值为f (1) =-

a 2

（II ）①若a =0, 则f (x ) =-3(x -1) 2 ∴f (x ) 的图象与x 轴只有一个交点。……6分

②若a

2a

a 22a

当或x >1时，f '(x )

2a

0

∴f (x ) 的极大值为f (1) =->0

2

f (x ) 的极小值为f ()

a 2

③若01。

a 22

∴当x 时，f '(x )>0，当

a a

∴f (x ) 的图象与x 轴只有一个交点

④若a =2，则f '(x )=6(x -1) 2≥0 ∴f (x ) 的图象与x 轴只有一个交点 ⑤当a>2，由（I ）知f (x ) 的极大值为f () =-4(

a 2

1a -34) -

2

34

综上所述，若a ≥0, f (x ) 的图象与x 轴只有一个公共点；

若a

1. 已知点C （-3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足

CP ⋅PM =0, PM =

12MQ

（1）当点P 在y 轴上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；

（2）是否存在一个点H ，使得以过H 点的动直线L 被轨迹C 截得的线段AB 为直径的圆始终过原点O 。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。

6. （1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0) 则CP =(3, t ), PQ =(s , -t )

由CP ⋅PQ =0得3s —t =0……………………………………………………① 又由PM =

12

MQ 得(x , y -t ) =

12

(s -x , -y )

2

1⎧x =(s -x ) ⎧s =3x ⎪⎪⎪2

， ∴⎨∴⎨3……………………………………②

⎪t =y ⎪y -t =1(-y )

2⎩⎪2⎩

32

把②代入①得9x -(y ) 2=0，即y =4x，又x ≠0

2

2

∴点M 的轨迹方程为：y =4x（x ≠0）

（2）如图示，假设存在点H ，满足题意，则

OA ⊥OB 即OA ⋅OB =0

2

2

设A (

y 1y 216

2

y 14

2

, y 1), B (

y 24

, y 2) ，则由OA ⋅OB =0可得

+y 1y 2=0解得y 1y 2=-16

又k AB =

y 2-y 1y 24

2

-

y 14

2

=

4y 1+y 2

则直线AB 的方程为：y -y 1=

2

4y 1+y 2

2

(x -

y 14

2

)

即(y 1+y 2) y -y 1-y 1y 2=4x -y 1把y 1y 2=-16代入，化简得 (4x -16) -(y 1+y ) y =0

令y=0代入得x=4，∴动直线AB 过定点（4，0） 答，存在点H （4，0），满足题意。

2. 设x , y ∈R , i , j 为直角坐标平面内x,y 轴正方向上的单位向量，若向量

a =x i +(y +2) j , b =x i +(y -2) j , 且a +b =8.

(1)求点M （x,y ）的轨迹C 的方程；

(2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 的交于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 即点M(x,y)到两个定点F 1(0,-2)、F 2(0,2)的距离之和为8,

∴点M （x,y ）的轨迹C 为以F 1(0,-2)、F 2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为

2. (1) a =(x , y +2), b =(x , y -2), 且a +b =8

y

2

16

+

x

2

12

=1.

(2)由题意可设直线l 方程为y =kx +3, A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，

⎧y =kx +3⎪2由⎨y 2消去y 得：(4+3k)x2 +18kx-21=0. x

==1⎪

12⎩16

18k ⎧

x +x =-122⎪⎪4+3k 22

此时，△=(18k)-4(4+3k (-21)>0恒成立，且⎨

21⎪x x =-

122⎪4+3k ⎩

由OP =OA +OB 知：四边形OAPB 为平行四边形.

假设存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，则OA ⊥OB , 即

OA ⋅0B =0 .

因为OA =(x 1, y 2), OB =(x 2, y 2) ，所以x 1x 2+y 1y 2=0， 而y 1y 2=(kx 1+3) ⋅(kx 2+3) =k 2x 1x 2+3k (x 1+x 2) +9， 故(1+k 2)(-

214+3k

2

) +3k (-

18k 4+3k

2

) +9=0，即k

2

=

518

, 得k =±

54

.

所以，存在直线l ：y =±

x +3，使得四边形OAPB 为矩形. 4

3. 一束光线从点F 1(-1, 0) 出发，经直线l :2x -y +3=0上一点P 反射后，恰好穿过点

5

F 2(1, 0) ．

（Ⅰ）求点F 1关于直线l 的对称点F 1'的坐标； （Ⅱ）求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；

（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到F 2的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．

12. （Ⅰ）设F 1'的坐标为(m , n ) ，则解得m =-

95, n =

25

n m +1

=-

12

m -12

n 2

且2⋅-+3=0．

， 因此，点 F 1'的坐标为(-

92

, ) ． 55

（Ⅱ） P F 1'=PF 1，根据椭圆定义， 得2a =|P F 1'|+|PF 2|=|F 1'F 2|=

∴

a =

2，b =

(-

95

-1) +(

2

25

-0)

2

=22，

2-1=1． x

2

∴所求椭圆方程为（Ⅲ）

a

2

2

+y

2

=1．

c

设点Q 的坐标为(t , 2t +3) (-2

=2，∴椭圆的准线方程为x =±2．

圆的右准线的距离． 则d 1=d 1d 2

=

(t -1) +(2t +3)

2

2

=

2

5t +10t +10，d 2=t -2．

2

5t +10t +10

t -2

t +2t +2(t -2)

2

2

2

=5⋅

t +2t +2(t -2)

2

，

令f (t ) =

f '(t ) =

(-2

2

2

(2t +2) ⋅(t -2) -(t +2t +2) ⋅2(t -2)

(t -2)

43, 43

4

=

-(6t +8) (t -2)

3

，

43

当-2

43

0， t =-，f '(t ) =0．

∴ f (t ) 在t =-因此，

d 1d 2

时取得最小值．

43) =

22

最小值＝5⋅f (-，此时点Q 的坐标为(-

41

, ) ． 33

注：f (t ) 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

说明：求得的点Q (-

d 141

的最小值即为椭圆的离心 , ) 即为切点P ，

33d 2

94

4. 已知椭圆的一个焦点F 1(0, -22) ，对应的准线方程为y =-e ，

43

2

，且离心率e 满足

23

，

成等比数列.

(1)求椭圆的方程；

(2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x =-平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. 4. （1）∵

23, e ,

43

2

12

成等比数列 ∴e 2=

23

⨯

43

e =

23

2

设p (x , y ) 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得 x +(y +22) y +

94

2

2

=

223

, 化简得9x +y

22

=9 即x +

2

y

2

9

=1为所求的椭圆方程.

（2）假设l 存在，因l 与直线x =-

12

相交，不可能垂直x 轴

因此可设l 的方程为：y =kx +m 由

⎧y =kx +m 22消去y , 得9x +(kx +m ) =9整理得 ⎨22

⎩9x +y =9

(k

2

+9) x +2kmx +(m -9) =0 ①

22

方程①有两个不等的实数根

∴∆=4k 2m 2-4(k 2+9)(m 2-9) >0即m 2-k 2-9

2

-2km k

2

+9

12

平分 ∴-

12

=

x 1+x 2

2k

2

即-

2

2km k +9

2

2

=-1

k

2

+9

2

2k 4k

2

③ 把③代入②得 (-1

, ) (

2

+9

2k

) -(k +9)

∵k +9>0 ∴

k +9

>3解得k >)

3或k

∴直线l 的倾斜角范围为(

ππ

3

2

π

2

,

2π3

5.

已知向量a =(x ), b =(1,0), 且(a + ) ⊥(a -) .

（Ⅰ）求点Q (x , y ) 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设曲线C 与直线y =kx +m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0,-1) ，当A M 时，求实数m 的取值范围。

5. 由题意得：

=A

⎧y =kx +m

⎪

（II ）由⎨x 2得(3k 2+1) x 2+6m kx +3(m 2-1) =0,

2

+y =1⎪⎩3

由于直线与椭圆有两个不同的交点，∴∆>0，即m 2

（1）当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x p , y p ), x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，则 x p =

x M +x N

2

=-

3m k 3k +1

2

从而y p =kx p +m =

m +3k +13mk

2

m 3k +11k

2

k AP =

y p +1x p

2

=-

m +3k +13m k

2

又AM =AN , ∴AP ⊥M N , 则-=-即2m =3k +1 ②.

2m -13

>0, 解得m >

12

22

将②代入①得2m >m ，解得0

,

故所求的m 取值范围是(, 2)

2

1

（2）当k =0时，AM =AN , ∴AP ⊥M N , m

-1

6. 设直线l :y =k (x +1)

x +3y

2

2

2

22

与椭圆

=a (a >0) 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.

2

（I ）证明：a >

3k

22

1+3k

；

（II ）若AC =2CB , 求∆OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. 6. 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故y =k (x +1) 可化为x =

1k y -1.

将x =

(1k

2

1k

y -1代入x +3y

2

22

=a , 消去x ，得

2

+3) y -

2k 1

y +1-a

2

=0. ①

由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得

∆=

2

4k

2

-4(

k

2

2

-3)(1-a ) >0,

2

整理得(

1k

2

+3) a

2

>3，

即a >

3k

1+3k

2

.

2k

2

（II ）解：设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2). 由①，得y 1+y 2=

1+3k

-2k

因为AC =2CB , . 得y 1=-2y 2，代入上式，得y 2=2

1+3k

13

于是，△OAB 的面积 S =|OC |⋅|y 1-y 2|=|y 2|

22

=

3|k |1+3k

2

3|k |23|k |

3

=

32

.

其中，上式取等号的条件是3k 2=1, 即k =±由y 2=将k =

-2k 1+3k 33

2

3

.

, 可得y 2=±

33

33

. 33, y 2=

33

, y 2=-

及k =-

这两组值分别代入①，均可解出a 2=5.

所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是x 2+3y 2=5.

7. 如图，已知⊙O '：(x +2)+y 2=8及点A (2, 0)，在 ⊙O '上任取一点A ′，连AA ′并作AA ′的中垂线l ，设l 与直线O 'A ′交于点P ，若点A ′取遍⊙O '上的点.

（1）求点P 的轨迹C 的方程；

（2）若过点O '的直线m 与曲线C 交于M 、N 两点, 且O 'N =λO 'M , 则当λ∈[6,+∞) 时, 求直线m 的斜率k 的取值范围.

7. (1) ∵l 是线段A A '的中垂线，∴PA =PA ',

∴||PA|－|PO '||=||PA '|－|PO '||=|O 'A '

|=即点P 在以O '、A 为焦点，以4

为焦距，以C 的方程为

x

2

2

2

-

y

2

2

=1.

(2)设M (x 1, y 1) , N (x 2, y 2) , 则直线m 的方程为y =k (x +2) , 则由O 'N =λO 'M , 得 x 2=λ(x 1+2) -2, y 2=λy 1. 由⎨

y 1+y 2=

4k 1-k

2

⎧y =k (x +2) ⎩x -y =2

2

2

, 得(1-k 2) y 2-4ky +2k 2=0. ∴

, y 1y 2=

2k

22

1-k

, ∆=16k 2-8k 2(1-k 2) =8k 2(1+k 2) >0. , y 1y 2=

2

由y 2=λy 1, y 1+y 2= 消去y 1, y 2, 得

81-k

2

4k 1-k

2

2k

22

1-k

,

1

=

(1+λ)

λ

=λ+

1

λ

+2. ∵λ≥6, 函数g (λ) =λ+

λ

+2在[6,+∞) 上单调

递增. ∴

81-k

2

≥6+

16

+2=

496

,

149

≤

k

17

2

2

17

或≤k

7

1

故斜率k 的取值范围为(-1, -] [,1) .

7

1

⎛⎛⎫⎫2

8. 如图，已知⊙O '

：x 2+ y +在 ⊙O '上任取一⎪=4m (m >0)及点M

0, ⎪， ⎪ ⎪33⎝⎭⎝⎭

点M ′，连M M ′，并作M M ′的中垂线l ，设l 与O 'M ′交于点P ， 若点M ′取遍

⊙O '上的点.

（1）求点P 的轨迹C 的方程；

（2）设直线l :y =k (x +1)(k ≠0) 与轨迹C 相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于

点D . 若AD =2DB , 求∆OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．

8. (1) ∵l 是线段M M '的中垂线，∴PM =PM ',

∴|PM|+|PO '|=|PM '|+|PO '|=|O 'M '|=2m(m >0). 即点P 在以O '、M

3

为焦距，以2m 为长

轴长的椭圆上，故轨迹C 的方程为

y m

22

+

x m

22

=1，即

3

3x +y =m .

222

（2）由 y =k (x +1) (k ≠0) 得x =将x =

(3k

2

2

1k

2

y -1.

1k 6k 3k

2

y -1代入3x +y =y +3-a =0. ①

2

22

m 消去x ，得

+1) y -

由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得

∆=

36k

2

-4(+1)(3-m ) >0,

2

整理得(

3k

2

+1) m >3，即m >6k 3+k

2

22

3k

22

3+k

.

设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2). 由①，得y 1+y 2=

.

∵AD =2D B , 而点D (-1, 0) , ∴(-1-x 1, -y 1) =2(x 2+1, y 2) ，所以y 1=-2y 2，

代入上式，得y 2=

-6k 3+k

2

.

12

|O D |⋅|y 1-

y 2|=

32|y 2|=

于是，△OAB 的面积 S =

9|k |3+k

2

≤

=

2

2

其中，上式取等号的条件是k =

3, 即k =

由y 2=将k =

-6k 3+

k

2

. 可得y 2=.

y 2=

k =y 2=

a =15.

2

2

2

∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是3x +y =15.

第三组：数列不等式

一．先求和后放缩

例1．正数数列{a n }的前n 项的和S n ，满足2S n =a n +1，试求： （1）数列{a n }的通项公式； （2）设b n =

1a n a n +1

，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n

12

解：（1）由已知得4S n =(a n +1) 2，n ≥2时，4S n -1=(a n -1+1) 2，作差得：

4a n =a n +2a n -a n -1-2a n -1，所以(a n +a n -1)(a n -a n -1-2) =0，又因为{a n }为正数数

2

2

列，所以a n -a n -1=2，即{a n }是公差为2的等差数列，由2S 1=a 1+1，得a 1=1，所以a n =2n -1 （2）b n =

12

1a n a n +1

=

1

(2n -1)(2n +1)

=1(

1

-

12n +1

) ，所以

22n -1

B n =

(1-

13

+

13

-

15

12n -1

-

12n +1

) =

12

-

12(2n +1)

12

注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{a n }满足条件a n +1-a n =f (n )）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和． 二．先放缩再求和

1．放缩后成等差数列，再求和

2

例．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n , 且a n +a n =2S n .

(1) 求证：S n

a n +a n +1

4

22

；

(2)

⋅⋅⋅+

2

解：（1）在条件中，令n =1，得a 1+a 1=2S 1=2a 1， a 1>0∴a 1=1 ，又由条件

a n +a n =2S n 有a n +1+a n +1=2S n +1，上述两式相减，注意到a n +1=S n +1-S n 得

22

(a n +1+a n )(a n +1-a n -1) =0 a n >0∴a n +1+a n >0 ∴a n +1-a n =1

所以， a n =1+1⨯(n -1) =n ，S n =

n (n +1)

2

12

n +(n +1)

2

2

2

n (n +1) 2

2

2

所以S n =

a n +a n +1

4n 2

（2）因为n

n (n +1)

2

n +12

，所以

S 1+

2

S 2+ S n =

1⨯22

+

2⨯32

+ +

n (n +1) 2

12

22

22

+

32

n 2=

+ +

n +12

=

=

n +3n 22

=

S n +1-1

2

；S 1+S 2+ S n >

++ +

n (n +1) 22

S n 2

2．放缩后成等比数列，再求和

例．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：a 2n -(-a ) n ≥(a +1) ⋅a n ； （2）等比数列{a n }中，a 1=-

a n

2

12

，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成

1

等差数列．设b n =

1-a n

，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜．

3

解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，a

n

2n

-(-a ) =a (a +1) ≥(a +1) ⋅a ．

2

n n n n

当n 为偶数时，a －1≥1，且a ≥a ，于是

a

2n

-(-a ) =a (a -1) ≥(a -1) ⋅a

n n n 2n

=(a +1)(a -1) ⋅a

n

≥(a +1) ⋅a ．

a 9a 8

=-

12

n

（2）∵A 9-A 7=a 8+a 9，A 8-A 9=-a 9，a 8+a 9=-a 9，∴公比q =

1

a n =(-∴

12

) ． b n =

n

．

4

n

1-(-

12

=)

n

14-(-2)

1

n

n

≤

13⋅2

n

．

B n =b 1+b 2+ b n ≤∴

13⋅2

+

13⋅2

2

+ +

13⋅2

n

=

13

⋅

2

(1-1-

12

12

2

) =

13

(1-

12

n

)

13

．

3．放缩后为差比数列，再求和

例4．已知数列{a n }满足：a 1=1，a n +1=(1+

n 2

n

) a n (n =1, 2, 3 ) ．求证：

a n +1>a n ≥3-

n +12

n -1

n 2

n

证明：因为a n +1=(1+即a n +1-a n =即a n +1-a n =令S n =

12S n =

1212++2212

22

) a n ，所以a n +1与a n 同号，又因为a 1=1>0，所以a n >0，

n 2n 2

n

a n >0，即a n +1>a n ．所以数列{a n }为递增数列，所以a n ≥a 1=1， a n ≥

n

n

n

+ ++12

3

2n -12

n -1

，累加得：a n -a 1≥，所以

12

n -1

1222

3

+

22

2

+ +

n -12

n -1

．

122

S n =

12

2

++ +

n -12

n -1

n

，两式相减得：

n +12

n -1

+ +n +12

n -1

-

n -1

n

，所以S n =2-

n +12

，所以a n ≥3-

，

故得a n +1>a n ≥3-

．

4．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列(n +1) n (n -1) 321的逆序数为a n ，如排列21的逆序数a 1=1，排列321的逆序数

a 3=6．

（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令b n =

a n a n +1

a n +1a n

+

，证明2n

解（1）由已知得a 4=10, a 5=15，a n =n +(n -1) + +2+1=

a n a n +1

a n +1a n

n n +2

n +2n

n n +2

n +2n

n (n +1) 2

.

（2）因为b n =

+=+>2⋅=2, n =1, 2, ，

所以b 1+b 2+ +b n >2n . 又因为b n =

n n +2

+n +2n

=2+

2n 11-

2n +23

, n =1, 2, ， 12-14

) + +(2n +1

-

1-

1n +2

)]

所以b 1+b 2+ +b n =2n +2[(-) +(

1

=2n +3-

n

2

n +2

综上，2n

1k -

1k +1

=

1k (k +1)

2

1k (k -1)

=

1k -1

-

1k

(k ≥2)

（2）．2(

1k

-

1k +1

) =

2k +

k +1

1k

2k +

k -1

=2(

1k -1

-

1k

)(k ≥2)

在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论

n +3n 22

2

、

n (n +1) 22

为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数

1

12

n

列，再求和即可；如例3要证明的结论(1-

3

)

13

为等比数列求和结果的类型，则把通

n +12

n -1

项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论3-为差比数列求和结果的类

2n +1

-

2n +2

型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论2n +3-为

裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可． 虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．