2016届山西省朔州市高考数学模拟试卷(理科) 解析版
2016年山西省朔州市高考数学模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x∈Z||x|≤1},则A ∩(∁Z B )=( ) A .∅
B .{4} C .{3,4}
D .{2,3,4}
【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;对应思想;定义法;集合. 【分析】根据交集与补集的定义,进行化简运算即可. 【解答】解:∵集合A={1,2,3,4}, B={x∈Z||x|≤1}={﹣1,0,1}, ∴A ∩(∁Z B )={2,3,4}. 故选:D .
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目.
2.已知椭圆C 2过椭圆C 1:为( ) A . B.
C . D.
的两个焦点和短轴的两个端点,则椭圆C 2的离心率
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】方程思想;分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】求得椭圆C 1的焦点和短轴的两个端点,可得椭圆C 2的a=3,b=心率公式可得. 【解答】解:椭圆C 1:短轴的两个端点为(0,±3), 由题意可得椭圆C 2的a=3,b=可得c=
=2,
,
的焦点为(±
,0),
,求得c ,由离
即有离心率e==. 故选:A .
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的性质,求得a ,b ,c 是解题的关键,属于基础题.
3.若点(sin A .
,cos B .
)在角α的终边上,则sin α的值为( )
C. D.
【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】计算题;规律型;三角函数的求值.
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sin α的值. 【解答】解:角α的终边上一点的坐标为(sin 则由任意角的三角函数的定义,可得sin α=故选:A .
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,根据三角函数的值求角,属于基础题.
4.若p :θ=
+2kπ,k ∈Z ,q :y=cos(ωx+θ)(ω≠0)是奇函数,则p 是q 的( )
,cos ,
)即(,
),
A .充要条件 B.充分不必要条件 C .必要不充分条件
D .既不充分也不必要的条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】函数思想;定义法;三角函数的图像与性质;简易逻辑.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可. 【解答】解:若θ=充分性成立,
若y=cos(ωx+θ)(ω≠0)是奇函数,则θ=即p 是q 的充分不必要条件, 故选:
B
+kπ,k ∈Z ,则θ=
+2kπ,k ∈Z 不一定成立,
+2kπ,则y=cos(ωx+θ)=cos(ωx+
+2kπ)=﹣sin ωx 为奇函数,即
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据三角函数的奇偶性的性质是解决本题的关键.
5.某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票,小明口袋里有一元餐票2张,两元餐票3张,五元餐票1张,若从他口袋中随意摸出2张,则其面值之和不少于4元的概率为( ) A .
B .
C . D.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】计算题;转化思想;概率与统计. 【分析】从他口袋中随意摸出2张,基本事件总数n=
,再求出其面值之和不少于4元包
含的基本事件个数,由此能示出从他口袋中随意摸出2张,其面值之和不少于4元的概率.【解答】解:小明口袋里有一元餐票2张,两元餐票3张,五元餐票1张, 从他口袋中随意摸出2张,基本事件总数n=其面值之和不少于4元包含的基本事件个数m=
∴从他口袋中随意摸出2张,其面值之和不少于4元的概率: p==
.
=15,
=8,
故选:B .
【点评】本题考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
6.点O 为△ABC 内一点,且满足S 2,则
=( )
,设△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、
A . B. C. D.
【考点】向量的线性运算性质及几何意义.
【专题】计算题;转化思想;综合法;平面向量及应用.
【分析】延长OC 到D ,使OD=4OC,延长CO 交AB 与E ,由已知得O 为△DABC 重心,E 为AB 中点,推导出S △AEC =S△BEC ,S △BOE =2S△BOC ,由此能求出结果. 【解答】解:延长OC 到D ,使OD=4OC,
延长CO 交AB 与E , ∵O 为△ABC 内一点,且满足∴
=,
,
∴O 为△DABC 重心,E 为AB 中点,
∴OD :OE=2:1,∴OC :OE=1:2,∴CE :OE=3:2, ∴S △AEC =S△BEC ,S △BOE =2S△BOC , ∵△OBC 与△ABC 的面积分别为S 1、S 2, ∴
=.
故选:B .
【点评】本题考查两个三角形面积比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量、三角形重心等知识的合理运用.
7.四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,AB=2,若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上,且该球的表面积为A . B. C.2
D .
,则该棱锥的高为( )
【考点】球内接多面体.
【专题】计算题;方程思想;综合法;立体几何.
【分析】利用条件确定球的直径,利用勾股定理,即可求棱锥的高.
【解答】解:可以将四棱锥P ﹣ABCD 补成球的内接长方体,其对角线PC 即为球的直径. ∵球的表面积为∴球的半径为,
设PA=x,则PC 的长等于故选:A .
【点评】本题主要考查球的表面积公式,构造长方体是解决本题的关键.
=
,即x=.
,
8.若实数x 、y 满足
,则z=x+y的最大值是( )
A . B. C . D .1
【考点】简单线性规划.
【专题】数形结合;综合法;不等式.
【分析】画出满足条件的平面区域,求出B 点坐标,从而求出z 的最大值即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:
,
由z=x+y得:y=﹣x+z,
显然直线y=﹣x+z和圆相切时z 最大, 自O 向y=﹣x+z做垂线,垂足是B , ∵OB=1,∠BOX=∴B (
,
),
, ,
将B 代入z=x+y得:z=故选:C .
【点评】本题考察了简单的线性规划问题,考察数形结合思想,考察切线问题,是一道中档题.
9.执行如图所示的程序框图(其中[x]表示不超过实数x 的最大整数),则运行后输出的结果是( )
A .31 B .33 C .35 D .37
【考点】程序框图.
【专题】计算题;对应思想;试验法;算法和程序框图.
【分析】模拟程序框图的运行过程,得出终止循环时输出的i 值是什么. 【解答】解:模拟程序框图运行,如下; S=0,i=1,S ≤30成立,S 是整数,S=; i=3,S ≤30成立,S 不是整数,S=[]=0,S=; i=5,S ≤30成立,S 不是整数,S=[]=1,S=3; i=7,S ≤30成立,S 是整数,S=5; i=9,S ≤30成立,S 是整数,S=7; …
i=31,S ≤30成立,S 是整数,S=29; i=33,S ≤30成立,S 是整数,S=31; i=35,S ≤30不成立,终止循环,输出i=35. 故选:C .
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序语言的运行过程,以便得出准确的结论.
10.函数f (x )=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<
)的部分图象如图所示,则( )
A .函数f (x )在区间[0,B .函数f (x )在区间[0,C .函数f (x )在区间[0,D .函数f (x )在区间[0,【考点】正弦函数的图象.
]上单调递增 ]上单调递减 ]上的最小值为﹣2 ]上的最小值为﹣1
【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ,由周期求出ω,由特殊点求出φ的值,可得函数的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f (x )在区间[0,【解答】解:由函数f (x )=Asin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<可得 A=2, =再根据图象经过点(故f (x )=2sin(2x ﹣在区间[0,
]上,2x ﹣
=
﹣
,求得ω=2.
+φ=kπ,k ∈Z ,求得φ=﹣
,
]上的最值.
)的部分图象,
,0),可得2•). ∈[﹣
,
],f (x )∈[﹣1,2],
故f (x )在区间[0,故选:D .
]上没有单调性,当f (x )有最小值为﹣1,故排除A 、B 、C ,
【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A ,由周期求出ω,由特殊点求出φ的值,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ﹣1)=f(x+1),且当x ∈[﹣1,1]时,f (x )=x(1﹣A .f (﹣3)
),则( )
B .f ()<f (﹣3)<f (2)
D .f (2)
C .f (2)
【考点】奇偶性与单调性的综合;函数的周期性.
【专题】函数思想;转化思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】根据条件判断函数的周期性,奇偶性以及单调性,利用函数奇偶性和周期性和单调性之间的关系进行转化求解即可. 【解答】解:∵f (x ﹣1)=f(x+1), ∴f (x )=f(x+2), 即函数的周期是2,
当x ∈[﹣1,1]时,f (x )=x(1﹣
)=x•
,
则f (﹣x )=﹣x •则函数f (x )为增函数,
=﹣x •=x•=f(x ),
当0≤x <1时,函数y=x为增函数,y=1﹣也为增函数,
则函数f (x )=x(1﹣则f ()=f(﹣2)=f(),
)=x•在0≤x <1为增函数,
f (﹣3)=f(﹣3+2)=f(﹣1)=f(1), f (2)=f(0),
则f (0)<f ()<f (1), 即f (2)故选:D .
【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据条件判断函数的周期性,奇偶性以及单调性是解决本题的关键.
12.某多面体的三视图如图所示,则该多面体各面的面积中最大的是( )
,
A .1 B . C . D .
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何.
【分析】作出几何体的直观图,根据几何体的结构特征计算各个面的面积.
【解答】解:由三视图可知该几何体为底面为正方形的四棱锥P ﹣ABCD ,P 在底面的投影E 在DA 的延长线上,且PE=AE=AD=CD=1, ∴S △PAD ==,S 底面ABCD =1×1=1,PA==
,PD=
=
,
PF==
, ∴S △PCD =
=
,S △PAB =
=
.S △PBC =
=
.
∴在四棱锥的五个面中,△PCD 的面积最大. 故选C .
【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图,作出棱锥的直观图是解题关键.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.是复数z 的共轭复数,若复数z 满足=1+i,则z=
.
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【专题】计算题;转化思想;定义法;数系的扩充和复数.
【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算,以及共轭复数的概念,即可求出. 【解答】解:∵ =1+i, ∴==,
∴z=
,
故答案为:.
【点评】本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力.
14.已知函数f (x )=【考点】定积分.
【专题】计算题;对应思想;导数的概念及应用.
【分析】将被积函数利用可加性分段表示,再分别求出各段上的定积分. 【解答】解:f (x )=
,则,则
=π+6.
=
故答案为:π+6.
=+(+2x)|=π+6;
【点评】本题考查了分段函数的定积分;利用定积分的可加性和定积分的运算公式解答;属于基础题.
15.设F 1、F 2分别为双曲线C 1:
的左、右焦点,以F 1为圆
|F1F 2|为半径的圆C 2与双曲线的右支交于P 、Q 两点,∠F 1PF 2=75°,心,若△PF 1F 2的面积为4,则C 2的方程为 (x+2)2+y2=16. 【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意可得△PF 1F 2为等腰三角形,且腰长为2c ,根据三角形的面积公式计算即可.【解答】解:∵|F1F 2|为半径的圆C 2与双曲线的右支交于P 、Q 两点,∠F 1PF 2=75°, ∴∠PF 1F 2=30°, ∵△PF 1F 2的面积为4, ∴×2c •2c •sin30°=4, ∴c=2,
∴C 2的方程为(x+2)2+y2=16, 故答案为:(x+2)2+y2=16.
【点评】本题考查了双曲线的定义和方程,以及圆的定义和方程以及三角形的面积公式,属于基础题.
16.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若大值为 8 .
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】计算题;转化思想;综合法;解三角形;不等式的解法及应用. 【分析】由已知式子和正弦定理可得B=大值.
【解答】解:∵在△ABC 中∴(2a ﹣c )cosB=bcosC,
∴(2sinA ﹣sinC )cosB=sinBcosC,
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA, 约掉sinA 可得cosB=,即B=
, =
,
,再由余弦定理可得ac ≤16,即可求得a+c的最
=
,b=4,则a+c的最
由余弦定理可得16=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac ≥2ac ﹣ac , ∴ac ≤16,当且仅当a=c时取等号,
∴16=a2+c2﹣ac=(a+c)2﹣3ac ,可得:(a+c)2=16+3ac≤64,解得a+c≤8,当且仅当a=c时取等号. 故答案为:8.
【点评】本题考查解三角形,涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式,属中档题.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知数列{an }为等差数列,数列{bn }满足b n =an +n,若b 2,b 5,b 11成等比数列,且b 3=a6. (1)求a n ,b n ; (2)求数列{
}的前n 项和S n .
【考点】数列的概念及简单表示法;等比数列的通项公式. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】(1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2)
=
=
,利用“裂项求和”即可得出.
【解答】解:(1)设数列{an }的公差为d ,则a n =a1+(n ﹣1)d ,b n =a1+(n ﹣1)d+n, ∵b 2,b 5,b 11成等比数列,且b 3=a6. ∴
,
解得.
于是a n =n+2,b n =2n+2. (2)∴S n ===
.
=
+
=+…+
.
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.M 为CC 1的中点,∠ABC=90°,在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ,AC=A1A ,∠A 1AC=60°,AB=BC=2. (1)求证:BA 1=BM;
(2)求二面角B ﹣A 1M ﹣C 的余弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;棱柱的结构特征.
【专题】数形结合;整体思想;向量法;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)根据条件证明Rt △A 1DB ≌Rt △MDB 即可得到结论. (2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】(Ⅰ)证明:取AC 的中点D ,连接BD ,DM ,AC 1,A 1D ,A 1C ,
∵AB=BC,∴BD ⊥AC .
∵侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ,且交于AC , ∴BD ⊥平面A 1ACC 1,∴BD ⊥A 1D ,
∴BD ⊥DM .又DM=AC1,△A 1AC 为等边三角形,四边形A 1ACC 1为菱形. ∴A 1D=AC1=DM, ∴Rt △A 1DB ≌Rt △MDB . ∴BA 1=BM…
(Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系D ﹣xyz ,
则C (0,所以
,0),A 1(0,0,
,0,
),
),M (0,=(﹣
,
,
,),B ();
,0,0).
=(﹣
设=(x ,y ,z )为平面BA 1的法向量,则
,
即,
令z=又
,则=(3,1,
)为平面BA 1M 的一个法向量.
=(
,0,0)为平面CA 1M 的一个法向量,
>=
=
;
所以cos <,
所以二面角B ﹣A 1M ﹣C 的余弦值为
.…
【点评】本题主要考查空间直线相等的证明以及二面角的求解决,建立坐标系利用向量法是解决本题的关键.
19.为评估设备M 生产某种零件的性能,从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件最为样本,测量其直径后,整理得到下表:
经计算,样本的平均值μ=65,标准差=2.2,以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X ,并根据以下不等式进行评判(p 表示相应事件的频率):①p (μ﹣ς<X ≤μ+ς)≥0.6826.②P (μ﹣ς<X ≤μ+2ς)≥0.9544③P (μ﹣3ς<X ≤μ+3ς)≥0.9974.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断设备M 的性能等级. (2)将直径小于等于μ﹣2ς或直径大于μ+2ς的零件认为是次品
(i )从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数Y 的数学期望EY ; (ii )从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数Z 的数学期望EZ . 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【专题】综合题;方程思想;综合法;概率与统计.
【分析】(Ⅰ)利用条件,可得设备
M
的数据仅满足一个不等式,即可得出结论;
(Ⅱ)易知样本中次品共6件,可估计设备M 生产零件的次品率为0.06. (ⅰ)由题意可知Y ~B (2,
),于是EY=2×
=
;
(ⅱ)确定Z 的取值,求出相应的概率,即可求出其中次品个数Z 的数学期望EZ . 【解答】解:(Ⅰ)P (μ﹣ς<X ≤μ+ς)=P(62.8<X ≤67.2)=0.8≥0.6826,P (μ﹣2ς<X ≤μ+2ς)=P(60.6<X ≤69.4)=0.94≥0.9544,P (μ﹣3ς<X ≤μ+3ς)=P(58.4<X ≤71.6)=0.98≥0.9974, 因为设备M 的数据仅满足一个不等式,故其性能等级为丙;…
(Ⅱ)易知样本中次品共6件,可估计设备M 生产零件的次品率为0.06. (ⅰ)由题意可知Y ~B (2,(ⅱ)由题意可知Z 的分布列为 ),于是EY=2×
=
;…
故EZ=0×+1×+2×=.…
【点评】本题考查概率的计算,考查正态分布曲线的特点,考查数学期望,考查学生的计算能力,属于中档题.
20.已知抛物线C :y 2=4x
(1)抛物线C 上有一动点P ,当P 到C 的准线与到点Q (7,8)的距离之和最小时,求点P 的坐标;
B 两个不同的点,使OA 与OB (2)是否存在直线l :y=kx+b与C 交于A 、(O 为坐标原点)所在直线的倾斜角互补,如果存在,试确定k 与b 的关系,如果不存在,请说明理由. 【考点】抛物线的简单性质.
【专题】综合题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(1)由抛物线的定义可知,只要在抛物线上找P 到点Q 与到焦点F (1,0)的距 离之和最小,由直线段最短原理,可知只要求QF :y=(x ﹣1)与抛物线y 2=4x的交点即可;(2)由直线l :y=kx+b与抛物线y 2=4x得k 2x 2+(2kb ﹣4)x+b2=0,利用韦达定理判断k OA +kOB ≠0.
【解答】解:(1)由抛物线的定义可知,只要在抛物线上找P 到点Q 与到焦点F (1,0)的距离之和最小,
由直线段最短原理,可知只要求QF :y=(x ﹣1)与抛物线y 2=4x的交点即可. 由QF :y=(x ﹣1)与抛物线y 2=4x可得4x 2﹣17x+4=0,∴x 1=4或x 2=(舍). ∴P (4,4).…
(2)由直线l :y=kx+b与抛物线y 2=4x得k 2x 2+(2kb ﹣4)x+b2=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x2=
,x 1x 2=
,
k OA +kOB =
+=2k+=≠0
故不存在符合条件的直线l .…
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理的运用,正确转化是关键.
21.已知函数f (x )=lnx﹣ax+a﹣2,a ∈R .
(1)求函数f (x )的单调区间;
(2)当a <0时,试判断g (x )=xf(x )+2的零点个数. 【考点】函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数思想;综合法;导数的概念及应用.
【分析】(I )求出导函数,根据a 的取值范围讨论导函数的符号,判断函数的单调性及单调区间;
(II )求出g (x ),利用导数判断g (x )的单调性,根据g (x )的值域判断g (x )的零点个数.
【解答】解:(Ⅰ)f ′(x )=﹣=
(x >0).
若a ≤0,则f ′(x )>0,∴函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞); 若a >0,当0<x <时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增, 当x >时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减,
综上,若a ≤0时,函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞);
若a >0时,函数f (x )的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). (Ⅱ)g (x )=xlnx﹣
+ax﹣2x+2,g ′(x )=﹣ax+lnx+a﹣1.
又a <0,易知g ′(x )在(0,+∞)上单调递增,g ′(1)=﹣1<0,g ′(e )=﹣ae+a=a(1﹣e )>0,
故而g ′(x )在(1,e )上存在唯一的零点x 0,使得g ′(x 0)=0.
当0<x <x 0时,g ′(x )<0,g (x )单调递减;当x >x 0时,g ′(x )>0,g (x )单调递增.取x 1=ea ,又a <0,∴0<x 1<1, ∴g (x 1)=x1(lnx 1﹣设h (a )=a﹣ae a +a﹣2+
+a﹣2+
)=ea (a ﹣ae a +a﹣2+
),
+2,(a <0),h ′(0)=﹣,
,(a <0),h ′(a )=﹣ae a ﹣e a ﹣
h ″(a )=e﹣a ﹣e a +e﹣a ﹣ae a >0,
∴h ′(a )在(﹣∞,0)上单调递增,h ′(a )<h ′(0)<0, ∴h (a )在(﹣∞,0)上单调递减,∴h (a )>h (0)=0, ∴g (x 1)>0,即当a <0时,g (e a )>0.
当x 趋于+∞时,g (x )趋于+∞,且g (2)=2ln2﹣2<0. ∴函数g (x )在(0,+∞)上始终有两个零点.
【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系,函数零点个数与单调性的关系,属于中档题.
【选修4-1:几何证明选讲】
22.如图⊙O 是Rt △ABC 的外接圆,E 、F 是AB ,BC 上的点,且A ,E ,F ,C 四点共圆,延长BC 至D ,使得AC •BF=AD•BE . (1)证明:DA 是⊙O 的切线; (2)若AF •AB=1:
,试求过点A 、E 、F 、C 的圆的面积与⊙O 的面积之比.
【考点】与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定. 【专题】选作题;转化思想;综合法;推理和证明.
【分析】(1)证明:∠ACD=∠BEF ,∠DAC=∠FBE ,进而证明∠DAB=90°,即可证明DA 是⊙O 的切线;
(2)由(1)知AF 为过A ,E ,F ,C 四点的圆的直径,利用AF :AB=1:点A 、E 、F 、C 的圆的面积与⊙O 的面积之比. 【解答】(1)证明:由题意知∠ACD=90°,
∵A ,E ,F ,C 四点共圆,∴∠BEF=90°,即∠ACD=∠BEF . 又∵AC •BF=AD•BE ,∴△ADC ∽△BFE . ∴∠DAC=∠FBE .
∵∠FBE+∠BAC=90°,∴∠DAC+∠BAC=90°, 即∠DAB=90°,∴DA 是⊙O 的切线.…
(2)解:由(1)知AF 为过A ,E ,F ,C 四点的圆的直径, ∵AF :AB=1:
.∴AF 2:AB 2=1:2.
,即可求过
即过点A ,E ,F ,C 的圆的面积与⊙O 的面积之比为1:2.…
【点评】本题考查圆的切线的证明,考查四点共圆,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
【选修4-4:坐标系与参数方程选讲】
23.在极坐标系Ox 中,曲线C 的极坐标方程为p 2=点、极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. (1)求曲线C 的直角坐标方程;
,以极点O 为直角坐标原
(2)设曲线C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ,P 是曲线C 上一点,求△ABP 面积的最大值.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】计算题;整体思想;综合法;坐标系和参数方程.
【分析】(Ⅰ)由ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,能求出曲线C 的直角坐标方程.
(Ⅱ)先求出直线AB 的方程,设P (4cos θ,3sin θ),求出P 到直线AB 的距离,由此能求出△ABP 面积的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)∵曲线C 的极坐标方程为ρ2=∴9ρ2+7ρ2sin 2θ=144, 由ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,
可得曲线C 的直角坐标方程为9x 2+9y2+7y2=144. 即曲线C 的直角坐标方程为
.…
,
(Ⅱ)∵曲线C 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B , ∴A (4,0),B (0,3),∴直线AB 的方程为3x+4y﹣12=0, 设P (4cos θ,3sin θ),则P 到直线AB 的距离为: d=
=
,
当θ=
时,d max =
,
=6(
+1).…
∴△ABP 面积的最大值为×|AB|×
【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法,考查三角形面积的最大值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公式的合理运用.
【选修4-5:不等式选讲】
24.已知函数f (x )=|x﹣1|﹣|2x﹣
a|
(1)当a=5时,求不等式f (x )≥0的解集;
(2)设不等式f (x )≥3的解集为A ,若5∈A ,6∉A ,求整数a 的值. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【专题】转化思想;综合法;不等式的解法及应用.
【分析】(1)当a=5时,不等式即|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0,移项平方,可得它的解集. (2)根据条件可得
,由此求得a 的范围,从而求得a 的值.
【解答】解:(1)当a=5时,不等式f (x )≥0可化为:|x﹣1|﹣|2x﹣5|≥0, 等价于(x ﹣1)2≥(2x ﹣5)2,解得2≤x ≤4, ∴不等式f (x )≥0的解集为[2,4].
(2)据题意,由不等式f (x )≥3的解集为A ,若5∈A ,6∉A , 可得:
又∵a ∈Z ,∴a=9.
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.
,解得
,∴9≤a <10.