六上知识点归纳
第一单元 分数乘法
1.分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。
2.分数乘整数的计算法则:分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。
(为了计算简便,能约分的要先约分,整数只能与分母约分,然后再乘。) 注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
3.一个数与分数相乘,可以看作是求这个数的几分之几是多少。
4.分数乘分数的计算法则:分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。
(为了计算简便,可以先约分再乘。)
注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
5.整数乘法的交换律、结合律和分配律,对分数乘法同样适用。
乘法交换律: a × b = b × a
乘法结合律: ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律: ( a + b )×c = a c + b c ,
a c + b c = ( a + b )×c
6.乘积是1的两个数互为倒数。
7.求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。 1的倒数是1。0没有倒数。
真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。 注意:倒数必须是成对的两个数,单独的一个数不能称做倒数。
8.一个数(0除外)乘以一个真分数,所得的积小于它本身。
9.一个数(0除外)乘以一个假分数,所得的积等于或大于它本身。
10.一个数(0除外)乘以一个带分数,所得的积大于它本身。
11.分数应用题一般解题步骤。
(1)找出含有分率的关键句。
(2)找出单位‚1‛的量(以后称为‚标准量‛) 找单位‚1‛: 在分率句中分率的前面;或‚是‛、‚占‛、 ‚比‛ 、‚ 相当于‛的后面
(3)画出线段图,标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可,标准量与比较量不是整体与部分的关系画两条线段即可。
(4)根据线段图写出等量关系式:标准量×对应分率=比较量。
求一个数的几倍: 一个数×几倍; 求一个数的几分之几是多少: 一个数×几。 几
写数量关系式技巧:
(1)‚的‛ 相当于 ‚×‛ ‚占‛、‚是‛、‚比‛相当于‚ = ‛
(2)分率前是‚的‛: 单位‚1‛的量×分率=分率对应量
(3)分率前是‚多或少‛的意思: 单位‚1‛的量×(1 分率)=分率对应量
(5)根据已知条件和问题列式解答。
12.乘法应用题有关注意概念。
(1)乘法应用题的解题思路:已知一个数,求这个数的几分之几是多少? 单位‚1‛×对应分率=对应量
(2)找单位‚1‛的方法:从含有分率的关键句中找,注意‚的‛前 ‚是、比、相当于、占、等于‛后的规则。
(3)甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分之几,乙比甲少几分之几表示乙比甲少的数占甲的几分之几。
(甲-乙)÷乙(甲-乙)÷甲
(5)‚增加‛、‚提高‛、‚增产‛等蕴含‚多‛的意思,‚减少‛、‚下降‛、‚裁员‛等蕴含‚少‛的意思,‚相当于‛、‚占‛、‚是‛、‚等于‛意思相近。
(6)当关键句中的单位‚1‛不明显时,要把关键句补充完整。, 补充成‚谁是谁的几分之几‛或‚甲比乙多几分之几‛、‚甲比乙少几分之几‛的形式。
(7)乘法应用题中,单位‚1‛是已知的。
(8)单位‚1‛不同的两个分率不能相加减,加减属相差比,始终遵循‚凡是比较,单位一致‛的规则。
(9)分率与量要对应。
①多的比较量对多的分率; ②少的比较量对少的分率; ③增加的比较量对增加的分率;
④减少的比较量对减少的分率; ⑤提高的比较量对提高的分率; ⑥降低的比较量对降低的分率;
⑦工作总量的比较量对工作总量的分率; ⑧工作效率的比较量对工作效率的分率;
⑨部分的比较量对部分的分率; ⑩总量的比较量对总量的分率;
第三单元 分数除法
1.分数除法的意义:分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
2.分数除以整数(0除外),等于分数乘这个整数的倒数。整数除以分数等于整数乘以这个分数的倒数。
3.一个数除以分数的计算法则:一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。
4.分数除法的计算法则:甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
第四单元 比
1.两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。从应用的角度理解,比可以分为同类量比和不同类量比;同类量比表示倍数关系,比的前项和后项必须单位一致;不同类量比的结果产生新的量,比的前项和后项的单位不相同。
2.比值通常用分数、小数和整数表示。
3.比的后项不能为0。
4.同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;
5.根据分数与除法的关系,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值
相当于分数的值。
6.比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
7.在工农业生产中和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
比的应用
1、比的第一种应用:已知两个或几个数量的和,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量是多少?
例如:六年级有60人,男女生的人数比是5:7,男女生各有多少人? 题目解析:60人就是男女生人数的和。
解题思路:第一步求每份:60÷(5+7)=5人
第二步求男女生:男生:5×5=25人 女生:5×7=35人。
2、比的第二种应用:已知一个数量是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少?
例如:六年级有男生25人,男女生的比是5:7,求女生有多少人?全班共有多少人?
题目解析:‚男生25人‛就是其中的一个数量。
解题思路:第一步求每份:25÷5=5人
第二步求女生: 女生:5×7=35人。 全班:25+35=60人
3、比的第三种应用:已知两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量是多少?
例如:六年级的男生比女生多20人(或女生比男生少20人),男女生的比是7:
5,男女生各有多少人?全班共有多少人?
解题思路:第一步求每份:20÷(7-5)=10人
第二步求全班:(7+5)×10=120人
4、要求量=已知量×要求量份数 已知量份数
5.一个数(0除外)除以一个真分数,所得的商大于它本身。
6.一个数(0除外)除以一个假分数,所得的商小于或等于它本身。
7.一个数(0除外)除以一个带分数,所得的商小于它本身。
已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除法计算; 对应量÷对应分率=单位‚1‛
四则混合运算
1.分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。在有一级运算和二级运算的计算中,要先算二级运算再算一级运算,即:先乘除后加减。在同级运算中,应按从左到右的顺序依次计算。
2.在分数四则混合运算中,可以应用运算定律使计算简便。
运算定律包括:加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律、乘法的分配律。
第五单元 圆
1.圆的定义:平面上的一种由曲线围成的封闭图形。
2.将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等。
3.半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r 表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
4.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d 表示。
6.在同一个圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等。
7.在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。
8.在同一个圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。 用字母表示为:d =2r 或r =d 2
9.圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10.圆的周长总是直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,它是一个无限不循环小数,用字母π表示。在计算时,取π ≈ 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
11.圆的周长公式:C= πd 或C=2πr
12、圆的面积:圆所占平面的大小叫圆的面积。
13
.把圆平均分成若干份,然后把它们剪开,可以拼成一个近似长方形的图形,
这个长方形的长相当于圆的周长的一半(C =πr ),长方形的宽相当于圆的半径2
(r ),因此长方形的面积等于圆的面积,所以圆的面积是 πr ×r=πr 2
14.圆的面积公式:S=πr2
15.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
16.在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
17.一个环形,外圆的半径是R ,内圆的半径是r (其中R =r +环的宽度) 圆环的面积(铺小路的面积)=大圆的面积 - 小圆的面积=πR 2-πr 2=π(R 2-r 2)
18.环形的周长=外圆周长+内圆周长
19.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
19.半圆的周长公式:C=πd ÷2+d 或C=πr +2r
20.半圆面积=圆的面积÷2公式为:S=πr2÷ 2
21.在同一个圆里,半径扩大或缩小几倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数;面积则扩大或缩小对应数平方倍。
例如:在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径和周长就都扩大4倍,面积扩大16倍。
22.两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以上比的平方。 例如:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,而面积比是22:32=4:9。
23.当一个圆的半径增加a,它的周长就增加2πa;当一个圆的直径增加a,它的周长就增加πa。
24.在同一圆中,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积占圆面积的几分之几;所对的弧占圆周长的几分之几。
25.周长相等的长方形、正方形和圆,圆的面积最大。
面积相等的长方形、正方形和圆,圆的周长最少。
26. 轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的
这条直线叫做对称轴。
27.只有1一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。 只有2条对称轴的图形是:长方形
只有3条对称轴的图形是:等边三角形
只有4条对称轴的图形是:正方形;
只有5条对称轴的图形是:正五边形、五角星;
……
有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。
28.直径所在的直线是圆的对称轴。
第六单元百分数
1.百分数的定义:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,所以百分数不能带单位。 2、百分数与分数的区别
(1)意义不同。百分数是‚表示一个数是另一个数的百分之几的数。‛它只能表示两数之间的倍比关系,不能表示某一具体数量。因此,百分数后面不能带单位名称。分数是‚把单位‘1’平均分成若干份,表示这样一份或几份的数‛。分数还可以表示两数之间的倍比关系.
(2)应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用。
(3)书写形式不同。百分数通常不写成分数形式,而采用百分号‚%‛来表示。因此,不论百分数的分子、分母之间有多少个公因数,都不约分;百分数的分子可以是自然数,也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有:真分数、假分数、带分数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数。任何一个百分数都可以写成分母是100的分数,而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.
(4)百分数不能带单位名称;当分数表示具体数时可带单位名称。
3. 百分数应用
百分数一般有三种情况: ①100%以上,如:增长率、增产率等。 ②100%以下,如:发芽率、成长率等。 ③刚好100%,如:正确率,合格率等。
4. 百分数的意义
百分数只可以表示分率,而不能表示具体量, 所以不能带单位。
5.百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。
例如:25%的意义:表示一个数是另一个数的25%。
3.百分数通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上‚%‛来表示。分子部分可为小数、整数,可以大于100,小于100或等于100。
4.小数与百分数互化的规则:
把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号; 把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
5.百分数与分数互化的规则:
把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽的保留三位小数),再把小数化成百分数; 把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
6.百分率公式:
合格率=
勤率=合格产品数发芽种子数×100% 发芽率=×100% 出产品总数实验种子数出勤人数×100% 应出勤人数
达标学生人数成活的棵数×100% 成活率=×100% 含学生总人数总棵数 达标率=
盐率=盐的质量×100% 盐水的质量
面粉的质量油的质量×100% 出油率=×小麦的质量农作物的质量 小麦出粉率=
100% ……
。
百分数应用题(一)
求增加百分之几?减少百分之几?
公式:增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
1、‚减少百分之几与增加百分之几‛的解题方法完全相同。
2、与增加百分之几相同的还有‚多百分之几‛‚提高百分之几‛
‚增长百分之几‚等。
与减少百分之几相同的还有‚少百分之几‛‚降低百分之几‛‚节约百分之几‛等。
百分数应用题(二)
比一个数增加百分之几的数,比一个数减少百分之几的数。(单位1已知) 单位1×(1+几%) 单位1×(1-几%)
百分数应用题(三)列方程解百分数应用题
第七单元 扇形统计图
一、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。
二、常用统计图的优点:
1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有
关,圆心角越大,扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)
第八单元 数学广角
附1、常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容) 积单位换算
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天) 有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天) 的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
附2、常用平方数结果
11 = 121 12 = 144 13 = 169 14 = 196 15 = 225 22222
16 = 256 17 = 289 18222 = 324 19 = 361 2
附3、常见的分数与小数、百分数之间的互化
115 = 0.5 = 50% = 0.2 = 20% = 0.625 258= 62.5%
121 = 0.25 = 25% = 0.4 = 40% = 0.125 458= 12.5%
333 = 0.75 = 75% = 0.6 = 60% = 1.375 458= 37.5%
147 = 0.0625 = 6.25% = 0.8 = 80% = 0.875 1658= 87.5%
1234 = 0.04 = 4﹪ = 0.08 = 8﹪ = 0.12 = 12﹪ = 0.16 25252525= 16﹪