正项级数敛散性判别法的比较
正项级数敛散性判别法的比较
冯云霞 南京航空航天大学金城学院数理力学系 ２１１１５６
这种方法通常总结为八个字“大收小收，小发大发”，既形象又比较容易记住。这种判别方法比较容易理解，但是难在需要选择参考级数，参考级数的选取直接关系到能否判别出级数的敛散性，方法较多，难度较大。比如判别级数的敛散性。
级数是高等数学教学中的一个重要组成部分，它是表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具，而正项级数是级数非常重要的组成部分，许多级数的敛散性问题可以归结为正项级数的敛散性问题。而正项级数敛散性有很多种判别方法，有时很难选择，以下着重讨论如何选择判别方法使正项级数的敛散性判别更为简单，正项级数判别法有以下几种：（文中所指级数均为正项级数）
方法一：定义：正项级数
的前ｎ项和极限值存在，则
级数收敛。这种方法比较基本，但是实用价值不高，往往对通项比较简单的级数使用，对于一般的级数求前ｎ项和结果往往很复杂，不好求，所以用定义判别级数的敛散性方法不是很常用。
方法二：定理１的逆否命题。定理１：若正项级数敛，则
收
。这个定理本身不能判别级数的敛散性，但是
，则原级数发散，常用来判别级数
它的逆否命题：若
是发散的，既简单又方便，如例：判别级数的敛散性。
解：该级数的一般项为
，所以
由级数收敛的必要条件知原级数是发散的。
说明：很多粗心的同学看到这个级数往往以为原题是公比
的等比级数，所以得到结论原级数是收敛的，这样就错了。也有同学想不到这个必要条件，判别不出级数的敛散性。这里要强调这个逆否命题用来判别级数是发散的，有很多学生会用定理的逆命题（不成立的）来判别级数是收敛的，如正项级数
是发散的，但是很多学生的答案是，∴原级数收敛。教师在上课时一定要注意强
调这一点。
方法五：比值判别法：设正项级数
，
则原级数收敛，若ｌ＞１，则原级数发散，若ｌ＝１，则无法判断。这种方法与上面方法比较可知无需选择参考级数，只需用第ｎ＋１项与第ｎ项相比求极限即可，所以难度稍有降低，一般情况下，当通项里出现时往往选用此方法，但是此方法的缺点是若极限值为１，则无法判别出级数的敛散性。
方法六：根值判别法：设正项级数
则原级数收敛，若ｌ＞１，则原级
数发散，若ｌ＝１，则无法判断。这种方法与比值法的相似之处也是无需选择参考级数，但是因为通项要开ｎ次根号，所以往往在通项中出现 次方时选择此方法，缺点也是当极限值为１时，根植法失效，无法确定级数的敛散性。
综上，对正项级数敛散性的六种判别方法比较可知，在判别正项级数敛散性时，方法选择如下：
保持电容上的电压数值等于２ＸＡ＋０．７５Ｖ。因为电路中的运算放大器采用的单电源供电方式，运算放大器集成电路的内部输出级电路采用的是ＮＰＮ型三极管的推挽电路，若设计输出电压低于０．６Ｖ，会造成下偏输出三极管的工作点进入饱和区；而设计输出电压高于３．８Ｖ，则会造成上偏输出复合三极管的工作点到达接近饱和区的放大区。如果发生的以上任何一种情况，那么这个电路的输入电压与输出电压就不再是一个简单的线性函数关系了。为了既能避免以上这两种情况的发生，又能尽可能充分运用最大的输出的电压摆幅，故设计电路的地电压等于０．７５Ｖ。同时模数转换的基准模拟地电压也设计为０．７５Ｖ，最大参考电压设计等于３．７５Ｖ。
音频切换器内部采用了定时门限判停算法，即用一个定时器结合保存在存储器中的一个音量停播下限数值作为判停的标准。嵌入式软件把数字化的音频信号峰值电压作为瞬时的音量值，比较它与停播下限的数值大小。电路每秒测１００次音量数值，每１０次测量结果去掉两个最大值和两个最小值之后取平均作为最终音量值，如果其数值大于下限数值，就立即复位定时器，使其归零。如果定时器计数达到了预设的时长，就意味着在这段连续的时间之内，音量一直小于下限，也就是判定这路信号源出现了故障。音频切换器会自动按设定的预案执行切换备用信号动作并报警。这部分的软件流程如下：
当然当级数的通项中出现
法，当通项中出现ｎ次方时选择根植法。
时往往选用比值
综上所述，正项级数的判别方法是多种多样的，根据判别方法的特性和级数通项的特点来选取判别方法更有利于级数敛散性问题的解决。
五、系统硬件构成
发射机自动化控制系统的硬件系统由工控机、专业硬件录音卡、采样模块、主控制器、与发射机配套的音频切换器、ＧＰＳ校时器组成。
六、系统应用环境
操作系统：Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ Ｗｉｎｄｏｗｓ ＸＰ
数据库平台：Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ ＳＱＬ Ｓｅｒｖｅｒ ２０００
奔腾４ＣＰＵ、５１２Ｍ内存、１２８Ｍ显卡、硬盘根据录制时间长短决定ＲＳ４８５接口
七、结语
发射机自动化控制系统实现了发射台播出自动化的目标，标志发射台的发射工作进入了科学的现代化行业管理时代，为今后实现“无人值班、有人留守”打下基础。