上海大学大一高数答案第1章

《高等数学教程》第一章 习题答案

习题1-1 (A)

1.(1)(-∞, 1) ⋃(1, 2) ⋃(2, +∞) (2)[-1, 0) ⋃(0, 1]

(3)(-∞, -1) ⋃(-1, 1) ⋃(1, +∞) (4)x ≠k π且x ≠k π+π

2

(k =0, ±1, ±2, ) (5)(2k π+π

5π3

, 2k π+

3

) (k =0, ±1, ±2, )

(6)[-1, 3] 2. , 6+1

, 6+(x 29

20+h ) 3. 122

,

2, 22

, 0 5.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数

(6)当f (x ) 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；

当f (x ) 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数

6.(1)是周期函数，T =2π (2)是周期函数，T =4 (3)是周期函数，T =4 (4)不是周期函数

7.(1)y =

-dx +b cx -a (2)y =13arcsin x

2

(3)y =e x -1-2 (4)y =log x

21-x

(5)e x -e -x

y =2

1

8.(1)y =u , u =a -x 2 (2)y =e u , u =x 2 (3)y =lg u , u =cos (4)y =u 2, u =tgv , v =6x (5)y =arctgu , u =cos v , v =e w , w =- (6)y =u 2, u =ln v , v =ln w , w =x 2

9.(1)[-1, 1] (2) [2k π, (2k +1) π] (3)[-a , 1-a ]

1 2x

k ∈z

(4)若0122

，则D =Ф. 10. ϕ[ϕ(x )]=x 4，ψ[ψ(x )]=22x

，ϕ[ψ(x )]=22x ，ψ[ϕ(x )]=2x 2

. 11. a =4, b =-1

⎧1, x

0⎨0, x =0

，g [f (x )]=⎪x

⎪⎨1, x =1

⎩

-1, x >0⎪⎪⎩e -1, x >1

13. V =πh [r 2-(h 2

) 2], (0

14. V =r 324π

2

(2π-α) 24πα-α2

, 0

πr 2h 3

3[(h -r ) 2-r 2]

, (2r , +∞)

⎧900≤x ≤10016.(1)p =⎪

,

⎨90-(x -100) ⋅0. 01, 100

⎪⎩

75, x ≥1600⎧30x ,

0≤x ≤100 (2) p =(p -60) x =⎪

⎨31x -0. 01x 2, 100

⎪⎩

15x , x ≥1600 (3)p =21000(元)

2

习题1-1 (B)

1. f (x ) 为偶函数. 2. f (x ) =x 2-2, f (x -1) =x 2+

1

x

x

2-4 3. f [g (x )]=⎧⎨0, x

，g [f (x )]=⎧⎩x 2

, x ≥0

⎨0, x

⎩x 2

, x ≥0

4. 3+2x 21+x 2

8. f (x ) =⎧⎨1-e -x , -1

⎩-1,

x ≤-1

9. g (x ) =ln(1-x ) , (-∞, 0]

10. 奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12. f (2005) =1

习题1-2 (A)

1.(1)

1

2n +1

, 0 (2)(-1) n +1

1

n +1

, 0 (3)n

+2

, 1 (4)(n +1) ⋅(-1) n +1n , 没有极限 (5)

12n +1(n +1) 2+(n +1) 2+ +

(n +1) 2, 12

(n +1)(n +2)

(6)(-1) 2

, 没有极限.

2.(1)17; (2)24; (3)[3

ε

]

3.0, [1ε

]

习题1-3 (A)

3. δ=0. 0002 4. Z ≥

3

f (x ) =1 6. lim f (x ) =lim f (x ) =1, lim x →0

x →0-

x →0+

lim x →0-

ϕ(x ) =-1, x lim →0+

ϕ(x ) =1, lim x →0

ϕ(x ) 不存在.

习题1-4 (A)

3.(1)0; (2)0; (3)0

4. x lim →-1y =0; lim x →1

y =∞ 习题1-4 (B)

3. y =x cos x 在(-∞, +∞) 上无界，但当x →+∞时，此函数不是无穷大. 5. 当a =0, b =1时，f (x ) 是无穷小量； 当a ≠0, b 为任意实数时，f (x ) 是无穷大量.

习题1-5 (A)

1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)3

10

; (5)

a -13a

2

; (6)3x 2

; (7)43; (8)-1. 2.(1)-34; (2)0; (3)∞; (4)-1

4;

(5)220⋅330

15

50; (6) -4.

⎧1,

0

3.(1)⎪

⎨0,

a =1; (2)3; (3)41

⎪⎩

-1, a >1

3; (4)-2

4.(1)10; (2)

mn (n -m ) 2; (3)m

n ; (4)0; (5)0; (6)12; (7)34; (8)1

2

.

4

习题1-5 (B)

1.(1)2; (2)-; (3)-

12

12a (3-1) ; (4) 562

⎧0, k >2

3⎪

(5); (6)⎨1, k =2; (7)2; (8)0 .

22. α=1, β=-1 3. a =9 4. a =1, b =-1 5. 不一定.

1.(1)2; (6)π2

; 2.(1)e -1; (4)e -2; 1.(1)12

; (5)0; 2.(4)3; 1. 当x →0时，

⎪⎩

∞, k

习题1-6 (A)

(2)3; (3)12

; (4)-1; (7)1; (8)2; (9)1; (2)e 2; (3)e -2; (5)e -1; (6)e 2.

习题1-6 (B)

(2)2

π

; (3)1; (4)0;

(6)1; (7)0; (8)e -1. (5)

1+2

. 习题1-7 (A)

x 4-x 3比x 2+x 3为高阶无穷小.

(5)cos a ； (10)x . 5

2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价. 3. α=12

4. α=m

6.(1)3⎧0, m

2; (2)⎪

⎨1, m =n ; (3)1;

⎪⎩

∞, m >n

2 (4)1; (5)a ; (6)12b 4

.

习题1-7 (B)

1.(1)2; (2)e ; (3)1322

; (4)0; (5)1; (6)-14

; (7)∞; (8)1. 5. p (x ) =2x 3+x 2+3x . 6. A ln a .

习题1-8 (A)

1. a =1

2. f (x ) 在x =0处连续

3.(1)x =1为可去间断点，补充f (1) =-2

x =2为第二类间断点

(2)x =0和x =k π+π为可去间断点，补充f (0) =1, f (π

2

k π+2

) =0；x =k π(k ≠0) 为第二类间断点.

(3)x =1为第一类间断点 (4)x =0为第二类间断点.

6

4.(1)x =1为可去间断点，补充f (1) =23;

(2)x =0为可去间断点，补充f (0) =1

2

；

(3)x =1为可去间断点，补充f (1) =-π

2；x =0为第二类间断点；

(4)x =2为可去间断点，补充f (2) =1

4

；x =0为第一类间断点；

x =-2为第二类间断点. (5)x =0为第一类间断点； (6)x =a 为第一类间断点; (7)x =1为第一类间断点; (8)x =-1为第二类间断点.

习题1-8 (B)

1. x =±1为第一类间断点. 2. a =0, b =1 3. a =52

4. a =2n π-

π

2

(n =0, ±1, ±2, )

5. a =-π, b =0

6. (1)当a =0, b ≠1时，有无穷间断点x =0； (2)当a ≠1, b =e 时，有无穷间断点x =1.

习题1-9 (A)

1. 连续区间为：(-∞, -3), (-3, 2), (2, +∞)

l i m f (x ) =1

，lim f (x ) =-8x →

02x →-3

5

，lim x →2f (x ) =∞.

7

2. 连续区间为：(-∞, 0), (0, +∞) .

3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) -

2

; (6) -2; (7) 1; (8) 1; 2

(9) ab ; (10) e 5; (11) -1; (12) 2. 4. a =1 5. a =1

1. (1)x =0为第一类间断点； (3)x =0为第一类间断点; (5)无间断点. 2. a =0, b =1

3. (1)e -1

; (2)e -

12

; (5)0; (6)-2; 4.

1

2

一. 1. D 2. D 6. D 7. D 二.1. f (-x ) =⎧⎪⎨x 2-x , x

⎪2x ≥0

⎩x , 2. arcsin(1-x 2) , [-2, 2] 3. －1

习题1-9 (B)

(2)x =-1为第一类间断点； (4)x =±1为第一类间断点; (3)e cot a ; (4)0;

(7)1π2

2; (8)8

.

总复习题一

3. D 4. B 5. C 8. C 9. D 10. D

8

4. 必要，充分 5. 必要，充分 6. 充分必要 7.

12

8. a =b 9.

65

10. 第二类，第一类 三. 1. ϕ(x ) =

x +1x -1 2. α=-20042005, β=1

2005

3. lim n →∞x n =1 4. 4 5. e 4 6. －50 7.

1

2

ln a 8. 当α≤0时，f (x ) 在x =0处不连续；

当α>0, β=-1时，f (x ) 在x =0处不连续； 当α>0, β≠-1时，f (x ) 在x =0处不连续. 9. -28

部分习题选解 习题1-2 (B)

1. 根据数列极限的定义证明：

(1)lim n →∞

a =1(a >0时)

证明：(ⅰ) ∀ε>0

当a >1时，令a =1+h n (h n >0) ∴a =(1+h n n (n -1) n ) =1+nh n +2

h 2n

n + +h n >nh n ∴0

n

a

ε

9

∴取N =[a

ε

]+1，当n >N 时，

有a -1=h a

n

n

(ⅱ) 当a =1时，显然成立. (ⅲ) 当0

1

a

>1 ∴lim b 1n →∞=lim n →∞

n

a

=1

∴lim n

n →∞

a =1 综合(ⅰ) ，(ⅱ) ，(ⅲ) ，∴当a >0时，有lim n →∞

a =1. 习题1-6 (B)

3. 设x 0, y 0>0，x x n +y n

n +1=x n y n ，y n +1=

2

. 证明：lim n →∞x n =lim n →∞

y n 证明： x n y +y n

n ≤

x n 2

∴0≤x n +1≤y n +1(n =0, 1, 2, )

∴x

n +1=x n y n ≥x n x n =x n

y =x n +y n y n +y (n =0, 1, 2, ) n +1

2≤n

2

=y n

由此可知数列{x n }单调增加，数列{y n }单调减少， 又x 0≤x 1≤ ≤x n ≤x n +1≤y n +1≤y n ≤ ≤y 1≤y 0 ∴{x n }与{y n }都是有界的.

由“单调有界数列必有极限”准则， ∴{x n }，{y n }都收敛.

设lim

n →∞x n =a , lim n →∞

y n =b 10

由y n +1x n +y n =y n ，∴lim n →∞2=lim x n +y n n →∞2 ∴b =a +b ⇒a =b 2

x n =lim y n . 即lim n →∞n →∞

习题1-10 (B)

3. 设函数f (x ) 在[0, 1]上非负连续，且f (0) =f (1) =0， 试证：对∀l ∈(0, 1) ，必存在一点x 0∈[0, 1-l ]，使f (x 0) =f (x 0+l ) . 证明：令F (x ) =f (x ) -f (x +l ) , ∀l ∈(0, 1) f (x ) 在[0, 1]上连续，f (x +l ) 在[-l , 1-l ]上连续， ∴F (x ) 在[0, 1-l ]上连续.

F (0) =f (0) -f (l ) =-f (l ) ≤0 又 ( f (x ) ≥0) F (1-l ) =f (1-l ) -f (1) =f (1-l ) ≥0

∴F (0) ⋅F (1-l ) ≤0

(ⅰ) 若F (0) =0，取x 0=0，即f (0) =f (l ) (ⅱ) 若F (1-l ) =0，取x 0=1-l ，即f (1-l ) =f (1) (ⅲ) F (0) ≠0, F (1-l ≠0) ∴F (0) ⋅F (1-l )

使F (x 0) =0， 即f (x 0) =f (x 0+l ) . 综合(ⅰ) ，(ⅱ) ，(ⅲ) ，对∀l ∈(0, 1) ，必存在一点x 0∈[0, 1-l ]，使f (x 0) =f (x 0+l ) .

总复习题一

三.11. 设f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (x ) 在[a , b ]上无零点. 证明f (x ) 在[a , b ]上不变号. 11

证明：(反证法) 假设f (x ) 在[a , b ]变号， 即∃x 1, x 2∈[a , b ]，使f (x 1) >0, f (x 2)

12