[线性代数]复习重点内容 (详细版)

《线性代数》复习重点内容(详细版)

一、2种技术

1. 行列式的计算（“化三角形法”与“降阶法”）【P. 12例7、P. 18第七行】

2. 矩阵的初等变换（把一个矩阵变换为“行最简形”）【P. 78习题三1】

二、9种方法

1. 计算两个矩阵的乘积【P. 35例4】2. 计算矩阵的逆矩阵【P. 64例2】3. 计算矩阵的秩【P. 67例5】

4. 判断向量组的线性相关性【P. 88例5】

5. 计算向量组的秩及最大无关组【P. 93例11、P. 108习题四11】6. 计算方程组的通解（需写出“基础解系”）【P. 97例12、P. 101例16】

7. 计算矩阵的特征值及特征向量【P. 118例6、P. 119例7】

8. 求解对称矩阵的对角化问题【P. 125例12】9. 求解二次型的标准形【P. 130例14】

三、16个重要概念1. 行列式【P. 6定义】

2. 余子式、代数余子式【P. 16】3. 矩阵【P. 29定义1】4. 伴随矩阵【P. 41例9】5. 逆矩阵【P. 43定义7】

6. 奇异矩阵、非奇异矩阵【P. 43】7. 两个矩阵的等价【P. 59】8. 矩阵的秩【P. 66】

9. 满秩矩阵、降秩矩阵【P. 66】

10. 线性相关、线性无关【P. 87定义4】

11. 最大无关组、向量组的秩【P. 90定义5、P. 91推论】12. 基础解系【P. 95】13. 正交矩阵【P. 115定义4】14. 特征值、特征向量【P. 117定义6】15. 两个矩阵的相似【P. 121定义7】16. 两个矩阵的合同【P. 129定义9】

四、20个重要结论

1. 行列式等于它的任一行(列) 的各元素与其对应的

乘积之和, 即

D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+···+a in A in

(i =1, 2, ···, n ) ,

或

D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +···+a nj A nj

(j =1, 2, ···, n ) .

【P. 17定理3】

2. (AB ) T =B T A T . 【P. 39】

3. |λA |=λn |A |; |AB |=|A ||B |. 【P. 40】4. AA ∗=A ∗A =|A |E . 【P. 41例9】5. 若|A |=0, 则矩阵A 可逆, 且A −1=

1A ∗

.

【P. 43定理2】

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6. 若矩阵A 可逆, 则|A −1|=|A |−1.

7. 若矩阵AB =E (或BA =E ), 则A 可逆, 且A −1=B . 【P. 43推论】8. (AB ) −1=B −1A −1【P. 43】9. |A ∗|=|A |n −1. 【P. 56习题二24】

10. 方阵A 是可逆矩阵⇐⇒A 是非奇异矩阵⇐⇒A 是满秩矩阵⇐⇒|A |=0.

方阵A 是不可逆矩阵⇐⇒A 是奇异矩阵⇐⇒A 是降秩矩阵⇐⇒|A |=0. 11. n 元线性方程组Ax =b

(i)无解的充要条件是(ii)有唯一解的充要条件是(iii)有无穷多个解的充要条件是12. 线性方程组Ax =b 有解的充要条件是

13. n 元齐次线性方程组Ax =0有非零解的充要条件是【P. 77定理4】

14. 向量组a 1, a 2, ···, a m 线性相关的充要条件是它所构成的矩阵的

于

; 向量组线性无关的充要条件是

. 【P. 88定理4】

小

;

. 【P. 71定理3】【P. 77定理5】

18. 设n 阶矩阵A =(a ij ) 的特征值为λ1, λ2, ···, λn , 则

(i)(ii)

a 11+a 22+···+a nn ; |A |. 【P. 117】

19. 若λ是矩阵A 的特征值, 则φ(λ) 是φ(A ) 的特征值(其中φ是“多项式”，可

以出现−1次方).

20. 对称矩阵A 为正定的充要条件是:A 的

a 11>0,

a 21

a 11 . a 12

>0, ···, . . a 22

a n 1

······

都为正, 即

a 1n

. . . >0; a nn

为正.

a 11

对称矩阵A 为负定的充要条件是:【P. 133定理11】五、7个特殊公式

λ 1 λ2

1. 对角行列式 =. . .

λn a 11a 12···a 1n a ···a 222n

2. 上三角行列式 =. . . . . .

a nn

a 11···a 1k . . . . . . a k 1···a kk 3. = c 11···c 1k b 11···b 1n . . . . . . . . . . . . c n 1···a nk b n 1···b nn

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为负, 而

【P. 7例5】

15. (1)若向量组A :a 1, a 2, ···, a m 线性相关, 则向量组B :a 1, a 2, ···, a m , a m +1

也线性相关. 反言之, 若向量组B 线性无关, 则向量组A

(2)m 个n 维向量组成的向量组, 当维数n 小于向量的个数m 时一定特别地, n +1个n 维向量一定性相关, 则向量b 必能由向量组A 定理5】

16. 设m ×n 矩阵A 的秩R (A ) =r , 则n 元齐次线性方程组Ax =0的解集S 的

秩R S =

. 【P. 97定理7】

或

. 【P. 116】

.

, 且表达式是

的. 【P. 89

(3)设向量组A :a 1, a 2, ···, a m 线性无关, 而向量组B :a 1, a 2, ···, a m , b 线

.

.

. 【P. 7例6】

. 【P. 14例10】

17. 若A 为正交矩阵, 则−1T 也是正交矩阵, 且|A |=

A 1

4. 分块对角矩阵的行列式

5. 二阶矩阵的逆

(a 11a 21

a 12a 22

) −1

A 2

. . .

= A n

. 【P. 50第3行】

= −1

. 【P. 44例10】“两调一除”

λ1

6. 对角矩阵的逆

λ2

. .

. λn

=.

7. 分块对角矩阵的逆

A 1

A 2

. . . A n

−1

=

.

【P. 50第5行、例16】

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