全等三角形知识总结及典型例题
全等三角形知识总结及典型例题
(1)定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对
应边,重合的角叫做对应角 (2)“全等”用“≌”表示,读作“全等于”,记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在
对应的位置上。 例1. 如图11.1-3所示,图中两个三角形能完全重合,下列写法正确的是( )
A.△ABE≌△AFB B.△ABE≌△ABF C.△ABE≌△FBA D.△ABE≌△FAB
性质:全等三角形中,对应边相等,对应角相等。
【注意:全等三角形的对应线段(对应边上的中线,对应边上的高,对应角的平分线)相等;全等三角形的周长相等,面积相等。】 例2.如图11.1-7,△ABD≌△ACE,点B和点C是对应顶点,AB=8,AD=6,BD=7,则BE的长是( )A.1
B.2 C.4 D.6
B 例3.如图11.1-12,△ABD≌△EBC,AB=3cm,
A (1)求DE的长;
(2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由.
E
(1)“边边边”(SSS):三边对应相等的两个三角形全等。 (2)“边角边”(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (3)“角边角”(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (4)“角角边”(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 (5)“斜边,直角边”(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【注意:①三角形全等证明时要注意应用“公共边”、“公共角”、“对顶角”等 。②证明线段或角相等通常转换证明线段或角所在的三角形全等。③在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等。④有两边和一角对应相等,角必须是这两边的夹角。⑤“HL”只适合于Rt⊿ 。⑥利用全等三角形可以测出不能(或不 例4(SSS).(1) 如图,点A、C、F、D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF求证:AB//DE
(2)在∆ABC中,∠C=90︒,D、E分别为AC、AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证:DE⊥AB
1
例5(SAS).(1)已知:如图,AB=AC,AD=AE ,∠1 =∠2 。试说明:△ABD ≌△ACE 。
(2)已知:如图,△ABC中, AD⊥BC 于D,AD=BD, DC=DE, ∠C=50°。 求∠ EBD的度数。
例6(ASA).(1)已知:如图 , FB=CE , AB∥ED , AC∥FD.F、C在直线 BE上.求证:AB=DE , AC=DF.
例7(AAS).已知:如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 , 连结CM并延长交BD于点F。求证:AC=BF.
例8(HL).(1)如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN⊥AB。 求证:AN平分∠BAC。
A
M
NBC
(2)公路上A、B两站(视为直线上的两点)相距26km,C、D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB
⊥AB于点B,已知DA=16km,BC=10km,现要在公路AB上建一个土特产收购站E,使CD两村庄到E站的距离相等,那么E站应建在距A站多远才合理?
B
1.尺规作图画角平分线
①、以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于M,交OB于N。
②、分别以M、N为圆心,大于1MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB
的内部交于点
C
。
2
③、画射线OC。射线OC即为所求。【如图1】
2.角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
2
图形表示:若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,则PE=PF【如图2】 3.角平分线的判定定理: 到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 图形表示:若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD平分∠ADB 【如图3】
4.角平分线常作的辅助线:遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线得到相等.
图1 图2 图3
例 9(角平分线性质).(1)如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC
2
面积是28 cm,AB=20cm,AC=8cm,则DE的长为_________ cm. F
C B
D
(2)已知:如图,AM是∠BAC的平分线,O是AM上一点,过点O分别作AB,AC的垂线,垂足为F,D,且分别交AC、AB于点G,E. 求证:OE=OG.
B
M
D G C
例 10(角平分线判定). 课本p52第7题 例119(角平分线辅助线).课本p50第2题
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