数列的基本性质和常用结论
数列的基本性质和常用结论
一、等差数列 1. 等差数列的判定方法
(1)用定义:对任意的n ,都有a n +1-a n =d (d 为常数)⇔{a n }为等差数列(定义法) (2)2a n +1=a n +a n +2(n ∈N )⇔{a n }为等差数列(等差中项)
*
(3) a n =pn+q (p, q 为常数且p ≠0) (即为关于n 的一次函数) ⇔{a n }为等差数列
(4) S n =pn +qn (p, q 为常数) (即为关于n 的不含常数项的二次函数) ⇔{a n }为等差数列
2
2. 常用性质
(1) 若数列{a n },{b n }为等差数列,则数列{a n +k },{k a n },{a n ±b n },{ka n +b }(k, b 为非零常数)
均为等差数列.
(2) 对任何m ,n ∈N ,在等差数列{a n }中,有a n =a m +(n -m ) d ,特别的,当m=1时,便得到等差数
*
列的通项公式。另外可得公差d=
a n -a 1n -1
,或d=
a n -a m n -m
*
(3) 若m+n=p+q (m,n ,p ,q ∈N ) ,则a n +a m =a p +a q . 特别的,当n+m=2k时,得a n +a m =2a k
(4) {a n }是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即
a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=a i +1+a n -i =⋅⋅⋅。
(5) 在等差数列{a n }中,每隔k(k∈N ) 项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等差数列,且公
差为(k+1)d(例如:a 1,a 4,a 7,a 10⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)
(6) 如果{a n }是等差数列,公差为d ,那么a n ,a n -1,⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 2,a 1也是等差数列,其公差为-d . (7) 若数列{a n }为等差数列,则记S k =a 1+a 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a k ,S 2k -S k =a k +1+a k +2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 2k ,
S 3k -S 2k =a 2k +1+a 2k +2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 3k ,则S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k 仍成等差数列,且公差为k d
2
*
3. 等差数列前n 项和公式:S n
=
n (a 1+a n )
2
=n a 1+
n (n -1)
2
d =
d 2
n +(a 1-
2
d 2
) n
4. 等差数列前n 项和S n 常用的基本性质:
*
(1)在等差数列{a n }中,当项数为2n (n∈N ) 时,S 偶-S 奇=n d ,
S 奇S 偶
=
a n a n +1
(即中间两项之比) ,
*
当项数为2n +1(n∈N ) 时,S 偶-S 奇=a n +1,
S 奇S 偶
=
n +1n
(即奇偶项数之比)
a 1+a 2n -1
n (a 1+a 2n -1)
(2).若等差数列{a n },{b n }的前n 项和为S n , T n (n为奇数) ,则
a n b n
=
S ==2n -1
b 1+b 2n -1n (b 1+b 2n -1) T 2n -1
2
2
(3)在等差数列{a n }中. S n =a,S m =b ,则S n +m =
S n =m,S m =n时S n +m =-(n +m )
n +m n -m
(a -b ) ,特别地, 当S n =S m 时,S n +m =0, 当
(4) 若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,则数列{
S n n
}也为等差数列.
(5) 记等差数列{a n }的前n 项和为S n :①若a 1>0,公差d
⎧a n ≥0⎩a n +1≤0
时,则S n 有最大值;②若a 1
⎧a n ≤0
公差d>0,则当⎨时,则S n 有最小值。求S n 最值的方法也可先求出S n ,再用配方法求解。
a ≥0⎩n +1
二、等比数列 1. 等比数列的判定方法
(1)用定义:对任意的n ,都有a n +1=qa n (a n ≠0) ⇔
2
a n +1a n
=q (q≠0) ⇔{a n }为等比数列(定义法)
(2)a n =a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0)⇔{a n }为等比数列(等比中项) (3) 若数列通项公式为:a n =aq
n -1
(a , q 是不为0的常数) ⇔{a n }为等比数列(通项公式法)
2. 常用性质
(1).若数列{a n },{b n }为等比数列,则数列{均为等比数列.
(2) 对任何m ,n ∈N ,在等比数列{a n }中,有a n =a m q
*
n -m
1a n
,{k a n },{a n },{a 2n -1},{a n b n }{
2
a n b n
(k为非零常数)
,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通
项公式. 因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.
(3) 若m+n=p+q (m, n , p , q ∈N ) ,则a n a m =a p a q . 特别的,当n+m=2k时,得a n a m =a k (4) {a n }是有穷等比数列,则与首末两项等距离的两项之积都相等,且等于首末两项之积,即
*
2
a 1 a n =a 2 a n -1=a 3 a n -2=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=a i +1 a n -i =⋅⋅⋅。
(5) 在等比数列{a n }中,每隔k(k∈N ) 项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等比数列,且公比为q
k +1
*
(例如:a 1,a 4,a 7,a 10⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公比q 的等比数列)
1q
3
(6) 如果{a n }是等比数列,公比为q ,那么a n ,a n -1,⋅⋅⋅a 2,a 1也是等比数列,其公比为
(8) q>1且
{a 1
1
n
a >0,则{a }为递增数列
,0
{a 1
1
n
a >0,则{a }为递减数列
当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);当q
⎧a 1(1-q ) a 1-a n q
=(q ≠1) ⎪
1-q 项和公式:S n =⎨1-q
⎪
(q =1) ⎩na 1
n
3. 等比数列前n
4. 等比数列前n 项和S n 常用的基本性质:
(1) 在等比数列{a n }中,当项数为2n (n∈N ) 时,
*
S 奇S 偶
=
1q
,.
(2) 若数列{a n }为等差数列,则记S k =a 1+a 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a k ,S 2k -S k =a k +1+a k +2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 2k ,
S 3k -S 2k =a 2k +1+a 2k +2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 3k ,则S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k 仍成等比数列,且公差为q
k
三、通项公式a n 的求法
(1)观察法:各项的规律明显,对分式分别看分子和分母的规律。
(2)公式法:①利用等差数列或等比数列的通项公式.
②利用a n 与S n 的关系: a n =⎨
⎧S 1 n =1⎩S n -S n -1 n ≥2
特别注意:该公式对一切数列都成立。
(3)累加法:a n =a 1+(a 2-a 1) +(a 3-a 2) +(a 4-a 3) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(a n -a n -1) (4)累乘法:a n =a 1 (
a 2a 1
) (a 3a 2
) (a 4a 3
) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (
a n a n -1
)
四、数列前n 项和S n 的求法
(1) 公式法:直接利用等差或等比数列求和公式
(2) 倒序相加法(参照等差数列前n 项和公式的推导) (3) 错位相减法(参照等比数列前n 项和公式的推导) (4) 分组求和法 (5) 裂项相消法