数列专题训练及答案

数列解答题专题训练1 班级_________姓名__________日期：

1. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=

（1）求数列{a n }通项公式a n ； （2）求证：当n ≥2时，

1a 2

2

2

23

，且满足2S n +1+2S n =3a n +1 (n ∈N *) 。

2

+

1a 3

2

+

1a 4

2

2

+L +

1a n

2

94

。

解：（1）n ≥1时， 2S n +1+2S n =3a n +1……………①

n ≥2时，2S n +2S n -1=3a n …………………②………………………1分

n ≥2时，①－②得：2a n +1+2a n =3(a n +1-a n ) ∵a n >0 ∴a n +a n +1>0，a n +1-a n =令n =2，2(+a 2) +2⨯

3

a n =

23

*

22

23

……………3分

43

n ≥2时，a n =

43

+(n -2) ⨯

23=23

n 又a 1=

223

=3a 2∵a 2>0∴a 2=

2

23

∴

n (n ∈N ) ………………………6分

9(1

2

（2）当n ≥2时，左边=

9[1

94

42

+

13

2

+

14

2

+L +94(1-

1n 12

2

) 1

-2

1+3

1111-+L +-) 34n -1n

41⨯2

+

12⨯3

1n )

+

94

13⨯4

+L +

1(n -1) n

] =

+

+

=(1-∴当n ≥2时，

13

1a 2

2

1a 3

+L +2

1a n

*

94

2. 在数列{a n }中，a 1=

b n =

1a n

*

，并且对于任意n ∈N

n

，且n >1，都有a n ⋅a n -1=a n -1-a n 成立，令

(n ∈N )．(Ⅰ) 求数列{b

}的通项公式；

（Ⅱ）求数列⎨

⎧a n ⎫

⎬的前n 项和T n ，若对于任意的正整数n 都有T n ≥m 成立，试求常数m 的最大值． n ⎩⎭

解：（I ）当n =1时, b 1=

1a 11

=3, 当n ≥2时, b n -b n -1=

1a n

-

1a n -1

=

a n -1-a n a n ⋅a n -1

=1，

∴数列{b n }是首项为3，公差为1的等差数列，∴数列{b n }的通项公式为b n =n +2． （II ）

a n n =

1nb n +

=a 2

n (n +2) +a 3

=

111

(-) ， 2n n +2a n -1

+a n

∴T n =

a 1

123n -1n 1111111111=[(1-) +(-) +(-) +L +(-) +(-)] 232435n -1n +1n n +213111

+) ] 又 T n +1-T n = =[->0 ，

22n +1n +2(n +1)(n +3)

+ +

故 T n 的最小值为T 1=

13

，从而所求m 最大值为

13

．

1、设数列{a n }的前n 项和为S n =2n2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1, b 2(a 2-a 1) =b 1. （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n =

a n b n

，求数列{c n }的前n 项和T n 。

解：（1）：当n =1时, a 1=S 1=2;

当n ≥2时, a n =S n -S n -1=2n -2(n -1)

2

2

=4n -2,

故{a n }的通项公式为a n =4n -2, 即{a n }是a 1=2, 公差d =4的等差数列. 设{b n }的通项公式为q , 则b 1qd =b 1, d =4, ∴q =故b n =b 1q n -1-2⨯

b n

14

n -1

14

24

.

. ……………6分

, 即{b n }的通项公式为b n =

n -1

（2） c n =a n =4n -2=(2n -1) 4n -1,

24

n -1

∴T n =c 1+c 2+ +c n =[1+3⨯4+5⨯4+ +(2n -1) 44T n =[1⨯4+3⨯4+5⨯4+ +(2n -3) 4

1

2

3

12n -1

],

23n -1

+(2n -1) 4]

) +(2n -1) 4

n

n

[(6n -5) 4+5]

n

两式相减得

3T n =-1-2(4+4+4+ +4∴T n =

19

[(6n -5) 4+5].

n

n -1

=

13

2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n , 满足S n =2a n -2n (n ∈N +) ,

（1）求数列{a n }的通项公式a n ；

（2）若数列{b n }满足b n =log 2(a n +2), T n 为数列{

b n a n +2

的前n 项和，求证：T n ≥

12

.

（1）解：当n ∈N +时, S n =2a n -2n , 则当n ≥2, n ∈N +时, S n -1=2a n -1-2(n -1)

①－②，得a n =2a n -2a n -1-2，即a n =2a n -1+2 ∴a n +2=2(a n -1+2) ，∴

a n +2a n -1+2

=2，当n =1时，S 1=2a 1-2，则a 1=2.

n -1n +1

∴{a n +2}是以a 1+2=4为首项, 2为公比的等比数列, ∴a n +2=4⋅2=2, n +1

∴a n =2-2………………………6分 n +1

（1） 证明:b n =log 2(a n +2) =log 22=n +1. ∴

b n a n +2

=

n +12

n +1

,

则T n =

12T n =

22

2

++

32

3

+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+

n +12

n +1

,

+n +12

n +2

22

3

32121

4

n 2

n +1

…………………………④

1(1-1-

112

n

③－④，得

T n =

22

2

+

12

3

+

12

4

+⋅⋅⋅+

12

n +1

-

n +12

n +2

=

14

+) -

n +12

n +2

=

14

+

12

-

2

n +1

-

n +12

n +2

=

34

-

n +32

n +2

∴T n =

32

-

n +32

n +1

.

1n +3n +2n +1

当n ≥2时, T n -T n -1=-n +1+n =n +1>0, ∴{T n }为递增数列, ∴T n ≥T 1=

2

2

2

2

1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=

12

, a n +2S n S n -1=0(n ≥2)

⎧1⎫

（错误！未找到引用源。） 判断⎨⎬是否为等差数列？并证明你的结论；（错误！未找到引用源。） 求S n 和

S ⎩n ⎭

a n ；

（错误！未找到引用源。）求证：S 1+S 2+ +S n ≤解：(1)S 1=a 1=

222

12

-

14n

。

12

, ∴

1S 1

1

=2. 当n ≥2时，a n =S n -S n -1, 即S n -S n -1=-2S n S n -1，

⎧1

=2. 故⎨

⎩S n

⎫

⎬是以2为首项，以2为公差的等差数列。

S n S n -1

⎭

11

(2)由1）得=2+(n -1)⨯2=2n , S n =.

S n 2n

∴

1

-

当n ≥2时，a n =-2S n S n -1=-

1⎧

, n =1⎪⎪2 =⎨

1

, n ≥2⎪-

⎪⎩2n (n -1)

2

2

12n (n -1)

; 当n =1时, a 1=

12

.

∴a n

S 1+S 2+L +S n

2

=

14

+

14⨯21

2

+

14⨯3

2

+L +

14⨯n

2

=

14

(1+

12

2

+

13

2

+L +

1n

2

)

⎡11

≤⎢1+++L +

1⨯22⨯3⎣⎤1

⎥=

(n -1n )⎦4

11111⎫11⎛

+-+L +-- 1+1-⎪=223n -1n ⎭24n ⎝

2

2．已知等差数列{a n }满足：公差d >0. a n ⋅a n +1=4n -1(n=1,2,3,…)

①求通项公式a n ； ②求证:

2a 1a 2

+

2a 2a 3

+

2a 3a 4

+…+

2a n a n +1

2

解: ① ∵a n ⋅a n +1=4n -1 ∴a n =2n -1.

②∵

2a n a n +1

=(1-

1

=

24n -1

2

=

2(2n +1)(2n -1)

=

12n -1

-

12n +1

∴

2a 1a 2

1

+

2a 2a 3

+

2a 3a 4

+…+

2a n a n +1

11) +) L +33511

n 2-1n 2+1

) 1n +2

数列解答题专题训练4 班级_________姓名__________日期：

1．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+23a 3+ +2n a n =4n -1。

（1）求{a n }的通项；（2）设b n =

1a 2n

，求{b n }的前项和。

解：（1） 2a 1+22a 2+23a 3+L +2n a n =4n -1

n ≥2，2a 1+2a 2+2a 3+L +2

2

3

n -1

a n -1=4

n -1

-1，

∴2n a n =4n -4n -1=3⋅4n -1∴当n ≥2时，a n =

b n =

34

⋅2，又n=1时 2a1 =4-1得a 1=3/2,∴a n =

n 1

34

⋅2 （2）

n

1a 2n

=

134⋅2

2n

4⎛1⎫

=⋅ ⎪3⎝2⎭

2n

4⎛1⎫

= ⎪ 3⎝4⎭

n

n

1⎡⎛1⎫⎤⎢1- ⎪⎥n 34⎝⎭441⎢⎥11⎛⎫⎣⎦

=- ⎪ 故{b n }是以为首项，为公比的等比数列，∴S n =

199⎝4⎭34

1-

4

2、已知二次函数y =f (x ) 的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x ) =6x -2. 数列{a n }的前n 项和为S n ，点

(n , S n )(n ∈N ) 均在函数y =f (x ) 的图像上. （I ）求数列{a n }的通项公式；

*

（II ）设b n =

3a n a n +1

，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n

m 20

对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .

解：（I ）设这二次函数f (x ) =ax 2+bx (a ≠0), 则f (x ) =2ax +b ，

由于f (x ) =bx -2，得a =3, b =-2, 所以f (x ) =3x 2-2x

*2

又因为点(n , S n )(n ∈N ) 均在函数y =f (x ) 的图像上，所以S n =3n -2n .

22

当n ≥2时, a n =S n -S n -1=(3n -2n ) -[3(n -1) -2(n -1)]=6n -5.

（II ）由（I ）得知b n =

12

17

3a n a n +117-113

=

3

(6n -5)[6(n -1) -5]

16n -5

-

16n +1

=

1

26n -5

(

1

-

16n +1

).

故T n =

=12(1-

[(1-1

) +() + +()]

6n +112

).

16n +1

)

m 20

(n ∈N ) 成立的m ，必须且仅须满足

*

因此，要使(1-

12

≤

m 20

,

即m ≥10，

所以满足要求的最小正整数m 为10。

数列解答题专题训练5 班级_________姓名__________日期：

1. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 已知对任意的n ∈N + ，点(n , S n ) ，均在函数y =b x +r (b >0且

b ≠1, b , r 均为常数) 的图像上.

（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 b n =

n +14a n

(n ∈N ) 求数列{b n }的前n 项和T n

+

解:因为对任意的n ∈N +, 点(n , S n ) ，均在函数y =b x +r (b >0且b ≠1, b , r 均为常数) 的图像上. 所以得

S n =b +r , 当n =1时, a 1=S 1=b +r ,

n

当n ≥2时, a n =S n -S n -1=b n +r -(b n -1+r ) =b n -b n -1=(b -1) b n -1,

n -1

又因为{a n }为等比数列, 所以r =-1, 公比为b , 所以a n =(b -1) b

n -1n -1

（2）当b=2时，a n =(b -1) b =2, b n =

n +14a n 22

3

=

n +14⨯2+423

n -1

=

n +12

n +1

n +

n +

则T n =

22

2

+

32

3

+

42

4

+ +

n +12

n +1

；

12

T n =

+

4

+ +52

3

n

n +

2

+1

1

2

2

1

相减, 得

12

T n =

2212

n 2

+

12

3

+

12

4

+

12

5

+ +

12

n +1

-

n +12

n +2

=

12

+⨯(1-1-

1

1n -1

) -

n +12

n +2

=

34

-

12

n +1

-

n +12

n +2

2

所以T n =

32

--

n +12

n +1

=

32

-

n +32

n +1

2. 设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知a 1=1, S n +1=4a n +2

（I ）设b n =a n +1-2a n ，证明数列{b n }是等比数列（II ）求数列{a n }的通项公式。

解：（Ⅰ）由a 1=1, 及S n +1=4a n +2，

有a 1+a 2=4a 1+2, a 2=3a 1+2=5, ∴b 1=a 2-2a 1=3

由S n +1=4a n +2，．．．①

则当n ≥2时，有S n =4a n -1+2．．．．．②

②－①得a n +1=4a n -4a n -1, ∴a n +1-2a n =2(a n -2a n -1) 又 b n =a n +1-2a n ，∴b n =2b n -1

∴{b n }是首项b 1=3，公比为２的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n =a n +1-2a n =3⋅2

n -1

，∴

a n +12

n +1

-

a n 2

n

=

34

∴数列{a

2

n n

是首项为

12

，公差为

34

14

的等比数列．

∴

a n 2

n

=

12

+(n -1)

34

=

34

n -

，a n =(3n -1) ⋅2

n -2

数列解答题专题训练6 班级_________姓名__________日期：

1．已知各项均为正数的数列{an }的前n 项和为S n ，且S n , a n ,

2

（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n =2

-b n

1

，设C n =

2

b n

成等差数列.

求数列{C n }的前项和T n .

12∴a 1=

12

a n

解：（1）由题意知2a n =S n +当n ≥2时，S n =2a n -

整理得：

a n a n -1

n -1

12

, a n >0; 当n=1时，2a 1=a 1+

12

12

, S n -1=2a n -1-两式相减得a n =2a n -2a n -1（n ≥2）

12

=2（n ≥2） ∴数列{an }是

=12⨯2

n -1

为首项，2为公比的等比数列.

a n =a 1⋅2

=2

n -2

b a a a

=4-2n 2

n -2

2

（2）a n =2

-b n

=2

2n -4

∴b n =4-2n C n =24-8n

n -1

=

16-8n 2

n

T n =12

82

+82

2

02

2

+02

3

-82

3

+... +

T n =

++... +

12

2

224-8n 212

2n

+

216-8n 212

n n +1

+

16-8n

n

①

②

①－②得T n =4-8(

2

1

+

3

+... +) -

16-8n 2

n +1

1

=4-8⋅2

(1-1-

1212

n -1

) -

16-8n 2

n +1

=4-4(1-

12

) -n -1

16-8n 2

n +1

=

4n 2

n

∴T n =

8n 2

n

2. 已知函数f (x ) =

x ax +b

(a , b 为常数且a ≠0) 满足f (2) =1且f (x ) =x 有唯一解。

（1）求f (x ) 的表达式；（2）记x n =f (x n -1)(n ∈N 且n >1) ，且x 1＝f (1) 求数列{x n }的通项公式。

，

（３）记 y n =x n ⋅x n +1，数列｛y n ｝的前ｎ项和为S n ，求证S n

12

∴f

x ax +b

=x 即

2

43

2ax +1

2

ax +(b -1)x =0 有唯一解∴b =1又f (2)=

=1

(x )=

x 12x +1

=

2x x +2

(2)由x n =f (x n -1)=

x n -112x n -1+1

∴

1x n

=

1x n -1

+

12

又x 1=f (1)=

23

∴

1x 1

=

32

⎧1⎫2131n +231

∴x n = ∴数列⎨⎬是以首项为，公差为的等差数列 ∴=+(n -1)⨯=

n +2x n 22222⎩x n ⎭

(3)由y n =x n ⋅x n +1=

2n +2

⨯

2n +3

=4(

1n +2

-

1n +3

)

∴S n =y 1+y 2+y 3+... +y n =x 1x 2+x 2x 3+ +x n x n +1 =4⎢

⎡⎛1⎣⎝3

-

1⎫⎛1

⎪+ -4⎭⎝4

111⎫⎛⎫⎤1⎫4⎛1 -