第九章-梁的内力-习题答案
9−1 图示简支梁,已知:均布荷载q =245kN/m,跨度l =2.75m ,试求跨中截面C 上的剪力和弯矩。
解: 由
F R A
M C
习题9−1图
∑
得
F y =0
,
F R A -F S C -q
l 2
=0
F S C =F RA -q
l 2
=336. 875-336. 875=0kN
由
∑得
M C =F R A
l 2-18ql
2
M
O
=0,
-F R A
l 2
+
18
ql
2
+M
C
=0(矩心O 为C 截面的形心)
=
18
ql
2
=
18
⨯245⨯2. 75=231. 6kN.m
2
9−2 用截面法求下列梁中指定截面上的剪力和弯矩。 解: 由
M 1S1
(a)
∑F
得 由
∑得
y
=0,
F S 1-8-6=0
F S 1=8+6=14kN
M O =0, -M 1-8⨯1-6⨯3=0(矩心O 为1截面的形心)
M 1=-8-18=-26kN.m
解: 由
M
1
(b)
∑F
得 由
∑得
由
M 2y
=0,
F S 1-5=0
F S 1=5kN
M O =0, -M 1-5⨯1+2=0(矩心O 为1截面的形心)
M 1=-5+2=-3kN.m
∑F
由
∑得
2
y
=0,
F S 2=0kN
M O =0, -M 2+2=0(矩心O 为2截面的形心)
M 2=2kN.m
(c)
解:
F R B
支反力: F R A =2kN ,F R B =3kN
M 1
由
∑F
y
=0,
-F S 1+F R A =0
得 F S 1=F R A =2kN
由
∑M O =0, M 1-F R A . 3=0(矩心O 为1截面的形心)
得
M 1=F R A . 3=2⨯3=6kN.m
M 2 F R B
由
∑F
y
=0,
F S2+F R B =0
得 F S 2=-F R B =-3kN
由
∑M O =0, -M 2+F RB . 2=0(矩心O 为2截面的形心)得
M 2=F RB . 2=3⨯2=6kN.m
3
(d)
解: 支反力: 由
得 由
得
由
得 由
得
4
F
R B
F R A =4kN ,F R B =-4kN
M 1
∑F
y
=0,
-F S 1+F R A =0
F S 1=F R A =4kN
∑M O =0, M 1-F R A . 1=0(矩心O 为1截面的形心)
M 1=F R A . 1=4⨯1=4kN.m
M 2F F R B
∑F
y
=0,
F S2+F R B =0
F S 2=-F R B =4kN
∑M O =0, -M 2+F RB . 1. 5=0(矩心O 为2截面的形心)M 2=F RB . 1. 5=-4⨯1. 5=-6kN.m
9−3 用简便法求下列梁中指定截面上的剪力和弯矩。 (a)
解:
支反力: F e
e
R A =-
M
,F M
4a
R C =
4a
F =-
M
e
S 1=F R A 4a M M e
1=F R A . a =-
4
F e S 2=F R A =-
M
4a
M
2
=F R A . 4a =-M e F S 3=0 M
3
=-M e
(b)
B
解:
支反力: F R C =13kN , F R D =35kN
F S 1=F R C -6⨯3=13-18=-5 kN
M 2
1=F R C . 3-
12
⨯6⨯3+6=13⨯3-27+6=18kN . m 5
F S 2=12-F R D =12-35=-23kN
M 2=-12⨯2=-24kN.m
解:
支反力 F Ax =0,F Ay =
q 0l 2
(c)
B
B
,M
A
=
q 0l 6
2
q 0l 2
F S 1=F Ay =
2
M 1=-M
A
=-
q 0l 6
F S 2=
l ⎫⎛1q . ⎪0
2⎭⎝2
2
=
q 0l 8
2
M
2
q 0l l 2q 0l
=-. =-
8348
解:
(d)
支反力 F A =F B =q 0a
F S 1=F A -
q 0. 2a 2
=q 0a -q 0a =0
2
M 1=F A . 2a -q 0a .
2a 3
=2q 0a -
2q 0a 3
2
=
4q 0a 3
2
6
9−4 图示某工作桥纵梁的计算简图,上面的两个集中荷载为闸门启闭机重量,均布荷载为自重、人群和设备的重量。试求纵梁在C 、D 及跨中E 三点处横截面上的剪力和弯矩。
解:求支反 C 截面 F S C
-
习题9−4图
F B =51.5kN
=F A -q . 1. 7=51. 5-10⨯1. 7=34. 5kN
F S C +=F A -q . 1. 7-F =51. 5-10⨯1. 7-18. 5=16kN M
C
2
=F A ⨯1. 7-
12
⨯q ⨯1. 7
2
=51. 5⨯1. 7-
12
⨯10⨯1. 7=73. 1kN.m
D 截面
F S C -=-F B +q . 1. 7+F =-51. 5+10⨯1. 7+18. 5=-16kN
F S C
M
D
+
=-F B +q . 1. 7=-51. 5+10⨯1. 7=-34. 5kN =F B ⨯1. 7-
12
⨯q ⨯1. 7
2
=51. 5⨯1. 7-
12
⨯10⨯1. 7
2
=73. 1kN.m
E 截面
F S E -=F A -q . 3. 3=51. 5-10⨯3. 3=18. 5kN M
=F A ⨯3. 3-
12
⨯q ⨯3. 3-F ⨯1. 6=51. 5⨯3. 3-
2
12
E
⨯10⨯3. 3-18. 5⨯1. 6=85. 9kN.m
2
9−5 试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程,并画出剪力图和弯矩图。
解:
7
①支反力 F A =-2kN ,F B =22kN ②内力方程:
AC 段 F S (x )=F A =-2kN (0
M 图
q
(b) B
解: q
B
①支反力 F qa A =-,F 9qa 8
C =
8
②内力方程:
AC 段 F S (x )=F A =-
qa 8
8
(0
(
M (x )=F A . x =-
qa 8
x (0≤x ≤4a )
CB 段 F S (x )=-q (5a -x ) (4a
2
M (x )=-2
(4a ≤x ≤5a )
③内力图 F S 图
8
M 图 qa 2
(c)
解: F B
①支反力 F 11F A =12
,F F C =
12
②内力方程:
AC 段 F S (x )=F F A =
1112 (0
l 3) M (x )=F x =
11F
x (0≤x ≤
l
A . 123)
CD 段 F 11F S (x )=F A -F =12-F =-F l 2l
12 (3
) M (x )=
F A . x -F . ⎛
x -
l ⎫11F Fl Fx Fl
⎝
3⎪=
x -F . x +=-+ ⎭123123
9
(
DB 段 F S (x )=-F B =-
F 12
l
(
Fl 12
-Fx 12
32l
≤x
2l 3
)
M (x )=F B (l -x )=
③内力图 F S 图 M 图 (d)
A
解:
①支反力 F C =②内力方程:
3ql 4
11Fl 36
(
32l 3
≤x
12
18
q
q
3ql 4
,F D =
AC 段 F S (x )=-qx (0≤x
qx 2
2
l 4
)
(0≤x ≤
3ql 4
l 4
)
5l 4
CD 段 F S (x )=-qx +F C =-qx + M (x )=-
qx 2
2
(
2
l 4
2
)
l ⎫qx ⎛
+F C x -⎪=-
4⎭2⎝
+
3qlx 4
-
3ql 16
10
(
l l 4
≤x ≤
54
)
DB 段 F S (x )=-q
⎛3l
-x ⎫
⎪ (5l
422
q ⎛ 3l -x ⎫
M (x )=-⎝2⎪⎭
5l 3l 2
(
4
≤x ≤
)
2
③内力图 F S 图 ql
ql
M 图
2
3ql
32
9−6 用简便方法画出下列各梁的剪力图和弯矩图。
解:
①支反力 F A =3kN ,F B =-3kN ②F S 图 M 图
11
解: ②F S 图 M 图 解:
①支反力 F A =5kN ,M ②F S 图
12
A
8kN.m
20kN.m
①支反力 F A =10kN ,F B =10kN
10kN 10kN
(c)
B
F =15kN
M 图 q
(d)
解: q
A
F B
①支反力 F 3qa A =,F 3qa 2
B =
2
②F S 图 3qa 2
3qa
2
M 图 8
q =2kN/m
(e)
解: q =2kN/m
F B
①支反力 F A =1. 5kN.m ,F B =0. 5kN.m
13
②F S 图 M 图 解:
0.5625kN.m
(f)
5F 3
F 3
D
①支反力 F B =②F S 图 M 图 解:
14
,F D =
2F F
3
3
(g) A
B
A
B
①支反力 F C =28kN,F D =29kN ②F S 图
M 图
12.08kN.m
(h) 解: q
F B
①支反力F q 0l 3
,F q 0l A =B =
6
②F S 图 q 0l 3
q 0l
M 图 6
0.04067q 0l 2
15
解:
ql 4
q
(i)
q
,F B =
3ql 2
F D
,F D =
ql 4
①支反力F A =②F S 图 M 图 解:
(j) ql
4
ql
4
ql
32
ql
32
=qa 2
2
①支反力F Ax =0,F Ay =0,M ②F S 图
16
A
,F C =2qa
M 图 qa 2
0.59−7 用简便方法画出题9−2中各梁的剪力图和弯矩图。 (a)
解:
①支反力F Ax =0,F Ay =14kN ,M A
=-40kN
②F S 图 M 图
(b)
解:
17
①支反力F Ax =0,F Ay =5kN ,M ②F S 图 M 图 解:
(c)
A
=-8kN
2kN.m
F B
①支反力F Ax =0,F Ay =2kN ,F B =3kN ②F S 图 M 图
18
3kN.m
6kN.m
(d)
F B
解:
①支反力F Ax =0,F Ay =4kN ,F B =-4kN ②F S 图 4kN
M 图 4kN.m
9−8 用简便方法画出题9−3中各梁的剪力图和弯矩图。 (a)
F
解:
①支反力F M
e
M
e
Ax =0,F Ay =-4a
, F C =
4a
②F S 图 4a
M 图 M e
19
解:
(b)
B
①支反力F Cx =0,F Cy =13kN , F D =35kN ②F S 图 解:
①支反力F Ax =0, F Ay =②F S 图
20
(c)
B
q 0
F Ax 12
q 0l ,M
A
=
16
q 0l
2
1q 0l
③M 图 1 2
6
q 0l
(d)
F Ax
解:
①支反力F Ax =0, F Ay =q 0a , F B =q 0a ②F S 图 q 0a
③M 图 43
q 0a
2
9−9 解:
最大正弯矩在跨中
M
+m ax
=
ql (l -2a )2
qla 22-
ql l 24
=
ql 8
-
2
2
最大负弯矩在两个吊点处 M
-qa m ax
=-
2
由
M +
m ax =M -
m ax
得
21
ql 8
2
-
qla 2
=
qa 2
2
解得 a =0. 207l
9−10 已知简支梁的剪力图如图所示,试作梁的弯矩图和荷载图(已知梁上无集中力偶
作用)。
解:
荷载图 M 图 解: 荷载图 M 图
22
(a)
4kN
5kN
4kN
(b)
3.5kN
3.5kN
7kN.m
9−11 已知简支梁的弯矩图如图所示,试作梁的剪力图和荷载图。 (a)
解: 荷载图 M 图 10kN
(b)
解: 荷载图 M 图
23
9−12 试用叠加法画下列各梁的剪力图和弯矩图。 解: F S 图 M 图 解: F S 图 M 图
24
12kN.m
10kN
12kN.m
(c) 解: F S 图 M 图 解: F S 图 M 图
20kN.m
(d) B
10kN 10kN.m
25