求极限方法技巧

求

一、求函数极限的方法 1、利用极限的四则运算性质

x 2+3x +5

例：求 lim

x →2x +4

x 2+3x +522+3⋅2+55

= 解: lim =

x →22+42x +4

2、约去零因式（适用于x →x 0时, 型）

x 3-x 2-16x -20

例: 求lim 3

x →-2x +7x 2+16x +12

(x

解:原式=lim

x

x →-2

3

-3x 2-10x +(2x 2-6x -20)

322

+5x +6x +(2x +10x +12)

)

(x -5)(x +2) (x +2)(x 2-3x -10) (x 2-3x -10)

lim =lim == lim

x →-2(x +2)(x +3) x →-2(x +2)(x 2+5x +6) x →-2(x 2+5x +6)

=lim

3、通分法（适用于∞-∞型） 例:求 lim (

x →2x →-2

x -5

=-7 x +3

41

-)

4-x 22-x

解:原式=lim

114-(2+x ) (2-x )

= =lim =lim

x →22+x x →2(2+x ) ⋅(2-x ) x →2(2+x )(2-x ) 4

4、等价无穷小代换法

1-cos x 2

例:求极限lim 2

x →0x sin x 2

(x 2) 2

(x 2) 21-cos x 2222=1 lim 2 解: sin x ~x , 1-cos x ~ ∴ =

x →0x sin x 22x 2x 22

注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，

不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”

1

5、利用两个重要的极限。

(A ) lim

sin x x →0x =1 (B ) lim x →∞(1+1

x

) x =e

经常使用的是它们的变形：

(A ' ) lim

sin ϕ(x )

ϕ(x )

=1, (ϕ(x ) →0)

(B ' ) lim(1+1

ϕ(x ) ) ϕ(x ) =e , (ϕ(x ) →∞)

例：求下列函数极限

(1) 、lim a x -1

ln cos ax x →0x

(2) 、lim x →0ln cos bx 解：（1）令a x

-1=u , 则 x =ln(1+u ) ln a 于是a x -1u ln a

x =

ln(1+u )

又当x →0时，u →0

故有：lim a x -1u x →0x =lim ln a u →0ln(1+u ) =lim ln a u →0ln(1+u ) =lim ln a

u →0

1=ln a u

ln(1+u ) u

(2) 、原式=lim

ln[(1+(cosax -1)]

ln[(1+(cosax -1)]cos bx -1x →0ln[1+(cosbx -1)]=lim x →0cos ax -1⋅

cos ax -1

cos bx -1

=lim cos bx -1x →0cos ax -1

sin 2a x

-2sin 2αx (a x ) 2(b

x ) 2

=lim =lim ⋅=b 2sin 2x sin 2x (2

x →0-2b x →0b a a

2

x ) 2

22(b 2

x ) 26、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 例：求下列函数的极限

e x (1) 、lim

cos x +5

x →01+x 2+ln(1-x )

2

7、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：

lim

x →1

x -1x -1

n m

l k

=

m l

m、n 、k 、l 为正整数。 nk

例：求下列函数极限 ① lim

x →1

1-x 1-m x

(m 、n ∈N ) ②lim (

x →∞

2x +3x +1

) 2x +1

解: ①令 t=x 则当x →1 时 t →1, 于是

1-t m (1-t )(1+t +t 2+ +t m -1) m

原式=lim =lim = 2n -1t →11-t n t →1(1-t )(1+t +t + +t ) n

2x +3x +12x +1

) =lim (1+)

x →∞2x +1x →∞2x +12x +1111

= 则 x +1=+ 令：2t t 2

②由于lim (

+2x +3x +12x +1

t 2

) =lim (1+) =lim (1+t ) =lim (1+t ) t ⋅lim (1+t ) 2=e ⋅1=e ∴lim (

x →∞2x +1x →∞t →0t →0t →02x +1

11

1

1

8、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形) 。

⎧1-2e -x , x ≤0

⎪

⎪x -x

例：设f (x ) =⎨, 0

x →0x →1

x ⎪

⎪x 2, x ≥1⎩解： lim f (x ) =lim (1-2e -x ) =-1--

x →0

x →0

x →0+

lim f (x ) =lim (+

x →0

x →0

x -x x

) =lim (x -1) =-1+

x →0

x →0

f (x ) =lim f (x ) =-1 ∴lim f (x ) =-1 由lim -+

x →0

又 lim f (x ) =lim --

x →1

x →12

x -x x

=lim x -1) =0-

x →1

lim f (x ) =lim x =1 x →1+x →1+

由f (1-0) ≠f (1+0) ∴lim f (x ) 不存在

x →1

3

9、洛必达法则（适用于未定式极限）

注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点： （1） 要注意条件，也就是说，在没有化为

0∞

, 时不可求导。 0∞

（2） 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 （3） 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未

定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。

f ' (x )

（4）当lim 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方

x →a g ' (x )

法。 例： 求下列函数的极限

e x -(1+①lim 2x ) x →0ln(1+x 2)

②x lim

ln x

→+∞x a

(a >0, x >0)

解：①令f(x)= e x

-(1+2x )

, g(x)= ln(1+x 2)

f ' (x ) =e x -(1+2x )

-, g '

(x ) =

2x

1+x

2

f "

(x ) =e x

+(1+2x )

-, g "

(x ) =

2(1-x 2)

(1+x 2) 2

由于f (0) =f ' (0) =0, g (0) =g ' (0) =0 但f " (0) =2, g " (0) =2 从而运用洛必达法则两次后得到

--lim e x -(1+2x ) x →0ln(1+x 2)

=lim e x -(1+2x )

x →02x

=lim e x +(1+2x ) x →02(1-x 2)

=

2

2

=11+x 2

(1+x 2) 2

② 由lim ln x =∞, lim x a

x →+∞

=∞

x →+∞

∞ 故此例属于

∞

型，由洛必达法则有： 1

x lim ln x →+∞x =x lim x →+∞ax a -1=x lim 1a →+∞ax a

=0(a >0, x >0) 10、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况

4

(2x -3) 20(3x +2) 30

例：求下列函数的极限lim x +1) 50

x →∞(2 解: 分子，分母的最高次方相同，故

lim (2x -3) 20(3x +2) 30220⋅330

330x →∞(2x +1)

50=250=(2) (2)无理式的情况。 例：求x lim →+∞

(x +

x +x -x ) 解: x lim →+∞

(x +

x +x -x )

=x lim

x +x +x -x →+∞

x +x +x +x

=x +x

x lim

→+∞

x +x +x +x

+

1

=x 1x lim

→+∞

=

+

112

x

+x 3

+1 二、多种方法的综合运用

在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。lim 1-cos x 2

例:求 →0x 2sin x 2

x 1-cos x 2[解法一]: lim

x →0x 2sin x 2

lim 2x sin x 2x →02x ⋅x 2cos x 2+2x sin x 2 =lim sin x 2

=x →0x 2cos x 2+sin x 2 sin x 2

=lim 21x →02= cos x 2+

sin x

2x 2

注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。

5

[解法二]:

222

2

2

lim 1-cos x 2sin x sin x x x →0x 2sin x 2=lim 221sin

2x →0x 2sin x 2=lim x →0x 2⋅sin x 2⋅

x 2

=12 2x 2

2⋅

2注：此解法利用三角公式配合使用两个重要极限。

[解法三]:

1-cos x 21-cos x 22x sin x 22x sin x 2lim x 2lim x →0x ⋅x x →04x 3=lim x →04x ⋅12=22=lim x

2=2 x →0x sin 注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则

[解法四]:

(x 2) 2

1-cos x 21-cos x 2lim x 2x 21x →0x 2sin x 2=lim x →0x 4⋅sin x 2=lim x →0x 4⋅sin x

2=2 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。

[解法五]:

2

x 2x 2lim 1-cos x 2

2sin 2() 21x 4

→0x 2sin x 2=lim x →0x 2sin x 2=lim x →0x 2(x 2) =lim x →0x 4=12

x 注:此解法利用三角公式配合使用无穷小代换法。

[解法六]：

lim 1-cos x 21-cos u sin u 令u =x 2

，x →0x 2sin x 2=lim u →0u sin u =lim u →0sin u +u cos u =lim cos u 1

u →0cos u +cos u -u sin u =2

注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。

[解法七]:

6

lim 1-cos x 2sin x 211

x →0x 2sin x 2=lim x →0x 2cos x 2+sin x 2=lim x →0

1+

x 2

=2

tan x 2

注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。

所以求解极限问题时，可视问题本身而灵活运用各种方法。

三、习题 求下列极限：

2n +1+3n +1(-2) n +1+5n

(1)lim n →∞2n +3n (2) lim n →∞(-2) n +5n +1

(3) lim

⎛1

23n -1n →∞⎝n 2+n 2+n 2+⋅⋅⋅⎫n 2⎪⎭

(4) lim ⎡1111n →∞

⎢

⎣1⨯2+2⨯3+3⨯4

+⋅⋅⋅⎤

n (n +1) ⎥⎦ （5）lim n →∞⎢⎡1⎣1⨯3+13⨯5+15⨯7+⋅⋅⋅1

⎤(2n -1)(2n +1) ⎥⎦

(6)

lim 2⋅2⋅n

n →∞

2⋅⋅⋅2

) (7)

lim n →∞

(n +1-n )

（8）lim 3x 2-x +6

3x +6x →∞5x 2+7x -2

（9）lim x →∞5x 2+x -2

（10）lim 3x 3-2x +6x →∞5x 2+x -2 （11）lim x 2-5x +6

x →2x -2

（12）lim x →1

⎛1

3⎫⎝

1-x -1-x 3⎪⎭ （13）x lim →+∞x +a )(x +b ) -x )

（14）2

x lim →-∞

x

(x

+1+x )

（15）lim

+2x -3x →4

x -2

16）lim cos x -cos 3x x →0x 2

（17）lim sin 2（x

x →01-cos 3x

（18）lim

tan x -sin x x →0

sin 3x

（19）lim sin 5x -sin 3x

x →0sin x 7

（20）lim

sin 5x x →0x （21）lim tan 3x

x →02x

（22）lim sin 2x 1-cos 2x

x →0sin 3x （23）lim x →0x 2

（24）lim 1-cos x x →0x 2 （25）lim tan x -sin x

x →0x

3 （26）lim x →∞x sin 1x

（27）lim x -sin x

x →0x +sin x

x x

（28）lim sin x -sin a x →a x -a （29）lim ⎛1⎫⎛x ⎫x →∞ ⎝1-x ⎪⎭ （30）lim x →∞ ⎝x -1⎪⎭

3x 3x +1

（31）lim ⎛1⎛1⎫x →∞ ⎝1+⎫

x ⎪⎭ （32）lim x →∞ ⎝1-x ⎪

⎭

1

x +1

1（33）lim (1-2x x

⎛2x +3⎫

x →0

（34）lim x →∞ ⎝2x +1⎪

⎭

（35）lim x

x →0

(1+tan x )

（36）lim 3

1x 2+1

x →0x sin x

（37）lim x →∞x 3

+x -1(2+cos x ) （38）lim

8sin x +7cos x sin 2x tan 2x →∞x

（39）lim x

x →0arctan 3x （40）lim x →0arcsin 3x

（41）lim sin x 3x →0sin 2x （42）lim 1-cos 2x

x →0x ln(1+x )

（43）lim sin sin(x -1) x →1ln x （44）lim +x 2-1x →0x 2 （45）lim ln(1+2x ) +x sin x -1

x →0e x -1 （46）lim x →0e x 2-1

47）lim ln(2cos 2x ) （48）lim

tan x

x →

π

6

x →

π

2

tan 3x

lim e x （49）-1

ln(1+x ) x →0x 2-x （50）lim x →0x 2

（51）lim

x -sin x x →0

x 3

（52）x lim →+∞x (π2-arctan x ) （53）lim x →0

⎛11⎫⎝

x -e x -1⎪⎭ （54）x lim →0+

x x

tan x

（55）lim x →(1-sin x )

cot x

（56）⎛1⎫

x lim →0+ ⎝x ⎪

⎭

8

（