二次函数知识点总结与典型例题
二次函数知识点总结及典型例题
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地,如果y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) ,那么y 叫做x 的二次函数。
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) 叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x =-抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法: 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数,a ≠0) (2)顶点式:y =a (x -h ) 2+k (a , h , k 是常数,a ≠0)
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(3)当抛物线y =ax +bx +c 与x 轴有交点时,即对应二次好方程ax +bx +c =0
b
对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 2a
有实根x 1和x 2存在时,根据二次三项式的分解因式ax +bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) ,二
2
次函数y =ax +bx +c 可转化为两根式y =a (x -x 1)(x -x 2) 。如果没有交点,则不能这
2
样表示。
三、抛物线y =ax +bx +c 中,a , b , c 的作用
(1)a 决定开口方向及开口大小,这与y =ax 中的a 完全一样.
(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线
2
2
2
b b
,故:①b =0时,对称轴为y 轴所在直线;②>0(即a 、b 同号)时,2a a
b
对称轴在y 轴左侧;③
a x =-
(3)c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置.
2
当x =0时,y =c ,∴抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①c =0,抛物线经过原点; ②c >0, 与y 轴交于正半轴;③c
b
五、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的∆=b 2-4ac ,在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。 当∆>0时,图像与x 轴有两个交点; 当∆=0时,图像与x 轴有一个交点; 当∆
补充: 函数平移规律:左加右减、上加下减 六、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当
4ac -b 2b
x =-时,y 最值=。
2a 4a
如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2,那么,首先要看-
b
是否在自变量取值范围2a
4ac -b 2b
x 1≤x ≤x 2内,若在此范围内,则当x=-时,y 最值=;
2a 4a
若不在此范围内,则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性,
2
如果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当x =x 2时,当x =x 1y 最大=ax 2+bx 2+c ,2
时,y 最小=ax 1+bx 1+c ;
2
如果在此范围内,y 随x 的增大而减小,则当x =x 1时,y 最大=ax 1当x =x 2+bx 1+c ,2
时,y 最小=ax 2+bx 2+c 。
典型例题
2
⎧x -1-1(x ≤3)()⎪
1. 已知函数y =⎨,则使y=k成立的x 值恰好有三个,则k 的值为( )
2
⎪⎩(x -5)-1(x >3)
A .0 B .1 C .2 D .3
2. 如图为抛物线y =ax 2+bx +c 的图像,A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA =OC =1,
则下列关系中正确的是 ( )
A .a +b =-1 B . a -b =-1 C . b
3. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,则反比例函数y =在同一坐标系中的大致图象是(
).
a
与一次函数y =bx +c x
4. 如图,已知二次函数y =x +bx +c 的图象经过点(-1,0),(1,-2),当y 随x 的增大
而增大时,x 的取值范围是 .
2
+c
2
5. 在平面直角坐标系中,将抛物线y =x +2x +3绕着它与y 轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是( ).
A .y =-(x +1) +2 B .y =-(x -1) +4 C .y =-(x -1) +2 D .y =-(x +1) +4
2
6. 已知二次函数y =ax +bx +c 的图像如图,其对称轴x =-1,给出下列结果
2
2
2
2
2
①b >4ac ②abc >0③2a +b =0④a +b +c >0⑤a -b +c
( )
A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤
7.抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:
从上表可知,下列说法中正确的是 .(填写序号)
①抛物线与x 轴的一个交点为(3,0); ②函数y =ax 2+bx +c 的最大值为6; ③抛物线的对称轴是
x =
1
; ④在对称轴左侧,y 随x 增大而增大. 2
8. 如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点A 的坐标是(-2,4),过点A 作AB ⊥y 轴,垂足为B ,连结OA . (1)求△OAB 的面积;
(2)若抛物线y =-x 2-2x +c 经过点A . ①求c 的值;
②将抛物线向下平移m 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部(不包括△OA B 的边界),求m 的取值范围(直接写出答案即可).
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9.已知二次函数y = x 2+ x 的图像如图.
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(1)求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标;
(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移,设平移后的抛物线与x 轴、y 轴的交点分别
为A 、B 、C 三点,若∠ACB =90°,求此时抛物线的解析式;
(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M ,以AB 为直径,D 为圆心作⊙D ,试判断
直线CM 与⊙D 的位置关系,并说明理由.
10. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,AB 在x 轴上,AB =10,以AB 为直径的⊙O′与y 轴正半轴交于点C ,连接BC ,AC . CD 是⊙O′的切线,AD ⊥CD 于点D ,tan ∠CAD =线y =ax +bx +c 过A ,B ,C 三点. (1)求证:∠CAD =∠CAB ; (2)①求抛物线的解析式;
②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上,并说明理由;
(3)在抛物线上是否存在一点P ,使四边形PBCA 是直角梯形. 若存在,直接写出点P 的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
2
1
,抛物2
11. 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是直角梯形,BC ∥AD ,∠BAD = 90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 是BC 的中点,A 、B 、D 三点的坐标分别是A (-1,0),B ( -1,2) ,D ( 3,0) ,连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ,若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N .
(1)求抛物线的解析式
(2)抛物线上是否存在点P .使得P A = PC .若存在,求出点P 的坐标;若不存在.请
说明理由。
(3)设抛物线与x 轴的另—个交点为E .点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点,当点
Q 在什么位置时有QE QC 最大?并求出最大值。
12.如图,抛物线y =
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x +bx -2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,且A (一1,0). 2
⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; ⑵判断△ABC 的形状,证明你的结论;
⑶点M (m ,0) 是x 轴上的一个动点,当CM +DM 的值最小时,求m 的值.
13. 在平面直角坐标系中,如图1,将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ,相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上,设抛物线y =ax 2+bx +c (a
(2)当n =2时,如图2,在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ,使EF 在线段CB 上,如果M ,N 两点也在抛物线上,求出此时抛物线的解析式;
(3)将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转,使得点B 落到x 轴的正半轴上,如果该抛物线同时经过原点O ,
①试求出当n =3时a 的值; ②直接写出a 关于n 的关系式.